10.3复数的三角形式及其运算课件高中数学人教B版

第十章复数*10.3复数的三角形式及其运算人教B版

数学

必修第四册课标要求1.理解复数的模和辐角的定义.2.能求复数的模和辐角主值.3.能求出复数的三角形式.4.能进行复数三角形式的乘除运算.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1复数的三角形式一般地,如果非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量

的模,θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角,则r=|z|=

,由图可以看出,a=rcosθ,b=rsinθ,从而z=a+bi=(rcosθ)+(rsinθ)I=r(cosθ+isinθ),上式的右边称为非零复数z=a+bi的

(对应地,a+bi称为复数的

,其中的θ称为z的

.

显然,任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地,在[0,2π)内的辐角称为z的

,记作argz.

三角形式

代数形式辐角辐角主值过关自诊

BCDD知识点2复数的三角形式与代数形式的互化1.复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ)化为复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),只要计算出三角函数值(应用a=rcosθ,b=rsinθ)即可.2.非零复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数的三角形式一般步骤:(3)写出复数的三角形式.3.每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等,即名师点睛复数三角形式的判断依据和变形步骤(1)依据:三角形式的结构特征“模非负,角相同,余弦前,加号连”.(2)步骤:首先确定复数z的对应点所在象限,其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.可简记为“定点→定名→定角”.过关自诊[人教A版教材习题]将下列复数表示成三角形式:(1)6;(2)1+i;解(1)6=6(cos

0+isin

0).知识点3复数三角形式的乘法及运算律1.复数三角形式的乘法若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=

.这就是说,由两个复数z1,z2的三角形式可以便捷地得到z1z2的三角形式:z1的模乘以z2的模等于z1z2的模,z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角.简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模相乘,辐角相加.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]2.复数乘法运算的几何意义

3.复数的三角形式乘法法则的推论(1)有限个复数的三角形式相乘,结论亦成立,即z1z2…zn=r1(cosθ1+isinθ1)×r2(cosθ2+isinθ2)×…×rn(cosθn+isinθn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时,zn=[r(cosθ+isinθ)]n=

(n∈N).这就是复数三角形式的乘方法则,即模乘方,辐角n倍.

(3)在复数三角形式的乘方法则中,当r=1时,则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(n∈N).这个公式称为棣莫弗公式.rn[cos(nθ)+isin(nθ)]过关自诊1.[2023江苏秦淮校级期中]已知复数D知识点4复数三角形式的除法及运算律1.复数三角形式的除法运算若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)(z2≠0),2.复数除法运算的几何意义

过关自诊计算下列各式:(2)原式=9(cos

360°+isin

360°)=9(1+0)=9.重难探究·能力素养全提升探究点一复数的模与辐角【例1】

(1)若复数z满足

=1,当复数z的辐角为30°时,复数z的模是(

)A.1 B.2

C.3

D.4ABB探究点二复数的三角形式与代数形式的互化【例2】

[人教A版教材例题]把下列复数表示成三角形式:(2)1-i.变式训练2将下列复数化为三角形式:(2)sinθ+icosθ.探究点三复数三角形式的乘、除运算及其几何意义BBC成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718192021A级必备知识基础练C123456789101112131415161718192021C故选C.123456789101112131415161718192021A1234567891011121314151617181920214.[探究点三]（多选题）2÷[2(cos60°+isin60°)]=(

)

BC1234567891011121314151617181920215.[探究点三]9(cos3π+isin3π)÷[3(cos2π+isin2π)]=(

)

B解析

9(cos

3π+isin

3π)÷[3(cos

2π+isin

2π)]=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]=3(cos

π+isin

π)=-3.故选B.1234567891011121314151617181920216.[探究点三]复数z=(sin25°+icos25°)3的三角形式是(

)A.cos195°+isin195° B.sin75°+icos75°C.cos15°+isin15° D.cos75°+isin75°A解析

z=(sin

25°+icos

25°)3=(cos

65°+isin

65°)3=cos

195°+isin

195°.故选A.1234567891011121314151617181920217.[探究点二、三]复数z=(cos40°+isin40°)6的结果是(

)

D123456789101112131415161718192021=2(cos

15°+isin

15°)×5(cos

30°+isin

30°)=10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)]=10(cos

45°+isin

45°)12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202110.[探究点二、三]2(cos210°+isin210°)×5(-sin30°+isin60°)

=

.

解析

2(cos

210°+isin

210°)×5(-sin

30°+isin

60°)=10(cos

210°+isin

210°)×(cos

120°+isin

120°)=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]=10(cos

330°+isin

330°)12345678910111213141516171819202111.[探究点三]在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.123456789101112131415161718192021B级关键能力提升练12.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于(

)

D解析

复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,12345678910111213141516171819202113.[2023江西南昌校级期中]复数(sin10°+icos10°)×(sin10°+icos10°)的三角形式是(

)A.sin30°+icos30° B.cos160°+isin160°C.cos30°+isin30° D.sin160°+icos160°B解析

(sin

10°+icos

10°)×(sin

10°+icos

10°)=sin210°-cos210°+2sin

10°cos

10°i=-cos

20°+sin

20°I=cos

160°+isin

160°.故选B.123456789101112131415161718192021A123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限D12345678910111213141516171819202117.6÷[3(cos135°+isin135°)]=

.

解析

6÷3[(cos

135°+isin

135°)]=6(cos

0°+isin

0°)÷[3(cos

135°+isin

135°)]=2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)]=4[cos(-135°)+isin(-135°)]12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202119.复数z=16(cos40°+isin40°)的四次方根分别是____________________________________________

.

2(cos

10°+i