4.3.1等比数列的概念（第1课时）课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式人教A版

数学

选择性必修第二册课程标准1.理解等比数列的概念,理解等比中项的概念.2.掌握等比数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.3.掌握等比数列的判断与证明方法.基础落实·必备知识全过关知识点1

等比数列一般地,如果一个数列从

起,每一项与它的前一项的比都等于

,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的

,公比通常用字母q表示(显然q≠0).

第2项

同一个常数公比名师点睛对等比数列定义的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.(4)等比数列中的任何一项均不能为零.(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.过关自诊1.常数列可以是等比数列吗?提示

各项不为0的常数列是等比数列;各项为0的常数列不是等比数列.(2)0,1,2,4,8;2.判断下列数列是否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;解

所给数列是首项为1,公比为1的等比数列.解

因为0不能作除数,所以这个数列不是等比数列.解

所给数列是首项为1,公比为-的等比数列.知识点2

等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时

.

G2=ab名师点睛等比中项概念的理解(1)只有同号的两个实数才有等比中项.(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.过关自诊1.等比中项与等差中项有什么区别?提示

(1)任意两个数都存在等差中项,但不是任意两个数都存在等比中项,当且仅当两数同号且均不为0时,才存在等比中项.(2)任意两个数的等差中项是唯一的,而若两个数有等比中项,则这两个数的等比中项有两个,且互为相反数.2.[人教B版教材习题]求下列各组数的等比中项.(1)4,9;答案

±6.知识点3

等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=

.

名师点睛已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.a1qn-1过关自诊[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.序号a1qnan(1)3-25

(2)

4

(3)-2

4-32(4)3

548(5)32

2448±24重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一等比数列通项公式的应用【例1】

在等比数列{an}中,求解下列问题:分析

先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题.(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.解

由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.规律方法

等比数列的计算(1)等比数列的基本量是a1,q和n,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.变式训练1在等比数列{an}中,(1)已知a1=3,q=-2,求a6;(2)已知a3=20,a6=160,求an.

解

由等比数列的通项公式,得a6=3×(-2)6-1=-96.探究点二等比中项及其应用【例2】

(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.分析

可由等比中项的定义建立关于x的方程求解;解

因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.(2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.分析

先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.规律方法

涉及3个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解,使用等比中项时,要注意只有同号的两个数才有等比中项,要注意根据题意选择等比中项的符号.变式训练2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=(

)A.2 B.4 C.6 D.8B解析

依题意,得

=a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).

解

因为lg

a1,lg

a2,lg

a4成等差数列,所以2lg

a2=lg

a1+lg

a4,即

=a1·a4,设{an}的公差为d,所以(a1+d)2=a1·(a1+3d)⇒d2=a1d⇒d=0或d=a1.①当d=0时,{an}为常数列且各项均为正数,所以{bn}也为常数列且各项均为正数.所以{bn}为等比数列.所以{bn}为等比数列.综合①②可知,{bn}为等比数列.规律方法

判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下:变式训练3已知数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,令bn=,求证:数列{bn}是等比数列.证明依题意得an=3+(n-1)×2=2n+1,∴bn=52n+1,探究点四构造等比数列求通项公式【例4】

(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求通项公式an.分析

配常数.解

由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),∵a1=1,∴a1+1=2≠0,∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.∴an+1=2×2n-1=2n,即an=2n-1.分析

取对数.规律方法

构造新数列的技巧有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列.常见的构造方法有:(1)取倒数法;(2)配常数法;(3)取对数法;(4)配函数法等.变式训练4数列{an}满足an+1-3=4an,且a1=1,求此数列的通项公式.解

由an+1-3=4an,可得an+1+1=4(an+1),由a1=1可知an+1≠0,则

=4.又a1=1,所以a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,4为公比的等比数列,则有an+1=2×4n-1=22n-1,即an=22n-1-1.本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列的概念.(2)等比中项的概念.(3)等比数列通项公式的推导及应用.(4)等比数列的判定或证明.2.方法归纳:定义法、累乘法、通项公式法、方程(组)思想.3.常见误区:(1)由a,G,b成等比数列能推出G2=ab,但由G2=ab不能推出a,G,b成等比数列;(2)当公比用分数、负数表示时,易忽略对公比加上括号.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练171819201.[探究点一]在等比数列{an}中,a3=1,a7=3,则a15的值为(

)A.9 B.27

C.81

D.243B解析

设等比数列{an}的公比为q,由a7=a3q4,得q4=3,所以a15=a3q12=a3(q4)3=33=27.故选B.12345678910111213141516171819202.[探究点一·2023福建福州月考]在数列{an}中,an+1=-2an,且a2=1,则an=(

)A.2n-2

B.(-2)n-2 C.2n-1

D.(-2)n-1B解析

∵an+1=-2an,a2=1,12345678910111213141516171819203.[探究点三·2023广东佛山月考](多选题)已知函数f(x)=lgx,则下列说法正确的是(

)B.f(2),f(4),f(8)成等差数列C.f(2),f(4),f(16)成等比数列D.f(2),f(12),f(72)成等比数列ABC1234567891011121314151617181920A.①

B.②

C.③

D.④

AB12345678910111213141516171819205.[探究点二]在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为

.

80,40,20,10解析

设这6个数所成等比数列的公比为q,∴这4个数依次为80,40,20,10.12345678910111213141516171819206.[探究点一]在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=

.

12345678910111213141516171819207.[探究点二]在等比数列{an}中,若a1=,公比q=2,则a4与a8的等比中项是

.

±4解析

依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819209.[探究点四]已知在数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*).(2)求数列{an}的通项公式.B级关键能力提升练1234567891011121314151617181920A.唯一解

B.无解C.无数多组解

D.不能确定C1234567891011121314151617181920C1234567891011121314151617181920A123456789101112131415161718192013.(多选题)已知{an}为等比数列,下列结论正确的是(

)C.若a3=a5,则a1=a2

D.若a5>a3,则a7>a5ABD1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192014.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它后两项的和,则它的公比q=

.

12345678910111213141516171819203212345678910111213141516171819202n-1所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,所以bn=1×2n-1=2n-1.123456789101112131415161718192017.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.∴由

=2知{an}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.1234567891011121314151617181920(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.123456789101112131415161718192018.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n·(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;