2.7导数的应用课件高二下学期数学北师大版选择性

第二章导数及其应用7导数的应用北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.能理解并能解释实际问题中导数的意义.2.能利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.基础落实·必备知识一遍过知识点1

实际问题中导数的意义1.功与功率:在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特.2.降雨强度:在气象学中,通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.3.边际成本:在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.思考辨析降雨强度是什么含义?提示

单位时间内的降雨量.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知物体运动的路程s与时间t的函数关系为s=f(t),则瞬时速度v=f'(t).(

)(2)已知做的功W与时间t的函数关系W=W(t),则W'(t)的实际意义为t时刻单位时间内做的功.(

)√√知识点2

利用导数解决最优化问题1.最优化问题在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题通称为最优化问题.2.最优化问题的求解步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).(2)求导函数f'(x),解方程f'(x)=0.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.(4)依据实际问题的意义给出答案.名师点睛解决最优化问题的一般步骤(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多、信息量较大、涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.(4)根据函数问题的答案去回答实际问题中的最优化问题.在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?提示

根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.过关自诊

自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)磁盘的最大存储量问题是最优化问题.(

)(2)求某长方体容器的容积最大问题是最优化问题.(

)(3)汽油的使用效率的提高问题是最优化问题.(

)(4)制作一水箱的用料最省问题是最优化问题.(

)√√×√重难探究·能力素养速提升探究点一实际问题中导数意义的应用【例1】

(1)一个质量m=5kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+t2表示,并且物体的动能Ek=mv2(m为物体质量,v为物体运动速度),则物体开始运动后第7s时的动能是(

)A.160J B.165J C.170J D.175JA(2)在高台跳水运动中,ts时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=4.9t2+6.5t+10.求运动员在t=1s时的瞬时速度.解

h'(t)=9.8t+6.5,∴h'(1)=9.8+6.5=16.3(m/s),∴运动员在t=1

s时的瞬时速度为16.3

m/s.规律方法

在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.如:加速度是速度关于时间的导数、速度是路程关于时间的导数、功率是功关于时间的导数等.变式训练1(1)火车开出车站一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,当加速度为2.8m/s2时,火车开出去(

)B解析

由题意可知,v'(t)=0.4+1.2t,令0.4+1.2t=2.8,可得t=2

s.(2)设x(单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离,y(单位:km)表示这一点的海拔高度,y是x的函数,满足解析式

y=f(x),若函数y=f(x)在x=100处的导数f'(100)=-0.1.试解释它的实际意义.解

f'(100)=-0.1表示从源头流到100

km处的海拔高度的瞬时变化率,如果保持这一速度,每经过1

km,该河流的海拔高度下降0.1

km.探究点二导数在几何中的应用角度1.平面几何中的最值问题【例2】

如图所示,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值.解

设点B的坐标为(x,0),且0<x<2,∵f(x)=4x-x2的图象的对称轴为直线x=2,∴点C的坐标为(4-x,0),∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2.∴设矩形ABCD的面积为y,则y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3,∴y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8).规律方法

平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题.一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值.变式训练2如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于A,B,C三点处,AB=AC,A到线段BC的距离AO=40,∠ABO=.今计划建一个生活垃圾中转站P,为方便运输,P准备建在线段AO(不含端点)上.(1)设PO=x(0<x<40),试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数,并求S的最小值;(2)设∠PBO=α(0<α<),试将P到三个小区的距离之和y表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y最小.角度2.立体几何中的最值问题【例3】

现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?(2)设A1B1=a

m,PO1=h

m,则0<h<6,O1O=4h

m.连接O1B1.规律方法

1.立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际相关的问题.2.解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.变式训练3为了应对某比赛,大会组委会将对长方体泳池进行检修,已知泳池深度为2m,其容积为2500m3,如果池底每平方米的维修费用为150元,设入水处的较短池壁长度为x,且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比,且比例系数为k(k>0),较长的池壁总维修费用满足代数式,则当泳池的维修费用最低时,x的值为

.

25探究点三导数在经济生活中的应用【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(1≤x≤10),设f(x)为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和.(1)求f(x)的表达式;(2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.∴当1≤x<6时,f'(x)<0;当6≤x≤10时,f'(x)≥0.∴f(x)在[1,6)内单调递减,在[6,10]上单调递增.∴当x=6时,f(x)取得最小值f(6)=112,∴当隔热层修建6

cm厚时,总费用最小,最小值为112万元.规律方法

利润最大问题的求解策略利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:(1)利润(收益)=收入-成本;(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.变式训练4经过市场调查,某小微企业计划生产一款小型电子产品.已知生产该产品需投入固定成本2万元,每生产x(x>0)万件,需另投入流动成本P(x)(单位:万元),当年产量小于9万件时,P(x)=x2+2x;当年产量不小于9万件时,P(x)=6x+ln

x+-22,每件产品售价为6元,假若该企业生产的电子产品当年能全部售完.(1)写出年利润Q(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)当年产量约为多少万件时,该企业的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(参考数据:e3≈20)本节要点归纳1.知识清单:(1)实际问题中导数的意义.(2)导数在几何中的应用.(3)导数在经济生活中的应用.2.方法归纳:数学建模、数形结合.3.常见误区:不能理清各个变量之间的关系,从而无法正确地建立函数模型.学以致用·随堂检测促达标12345678910111213141516A级必备知识基础练1.[探究点三]已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(

)A.3万件 B.1万件 C.2万件

D.7万件C解析

函数的定义域为(0,+∞),y'=-x2+4=-(x-2)(x+2),由y'=0得x=2或x=-2(舍),当x>2时,y'<0,当0<x<2时,y'>0,即当x=2时,函数取得极大值,同时也是最大值,即该生产厂家获取最大年利润的年产量为2万件.123456789101112131415162.[探究点一]某公司的盈利y(单位:元)和时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设f'(x)>0恒成立,且f'(10)=10,f'(20)=1,则这些数据说明第20天与第10天比较(

)A.公司已经亏损B.公司的盈利在增加,但增加的幅度变小C.公司在亏损且亏损幅度变小D.公司的盈利在增加,且增加的幅度变大B解析

因为f'(x)>0恒成立,f'(10)>f'(20)>0,所以公司的盈利在增加,且增加的幅度变小.123456789101112131415163.[探究点二(角度2)]将周长为4的矩形ABCD绕直线AB旋转一周所得圆柱体积最大时,线段AB长为(

)B123456789101112131415164.[探究点三]某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一件产品,成本增加100元,若总收入R与月产量x(单位:件)的关系是

则当总利润最大时,每月生产产品的件数是(

)A.150 B.200C.250 D.300D123456789101112131415165.[探究点三]电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为,为使耗电量最小,则其速度应定为

.

40解析由题设知y'=x2-39x-40(x>0),令y'>0,解得x>40或x<-1,故函数

在[40,+∞)内单调递增,在(0,40]上单调递减.∴当x=40时,y取得最小值.所以为使耗电量最小,则其速度应定为40.123456789101112131415166.[探究点三]某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件,生产过程中总成本w(x)(单位:万元)是关于x(单位:百件)的一次函数,且w(1)=57,w(10)=120.预计生产的产品能全部售完,且当年产量为x百件时,每百件产品的销售收入G(x)(单位:万元)满足(1)写出该企业今年生产这种产品的利润F(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百件)的函数关系式;(2)当年产量为多少百件时,该企业在这种产品的生产中获利最大?最大利润是多少?(参考数据:ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln5≈1.61,ln7≈1.95)12345678910111213141516令F'(x)>0,解得0<x<7,F'(x)<0,解得x>7,所以F(x)在(0,7)内单调递增,在(7,+∞)内单调递减,所以当x=7时,有F(x)max=F(7)=20ln

7+12≈20×1.95+12=51.答:当产量为7百件时,该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元.12345678910111213141516123456789101112131415167.[探究点二(角度1)·2024四川绵阳检测]剪纸是一种镂空艺术,是中国古老的民间艺术.如图,一张圆形纸片,直径AB=20cm,需要剪去菱形EFGH,可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到.若CF=EF,要使镂空的菱形EFGH面积最大,试求菱形的边长EF.12345678910111213141516解

设圆心为O,由圆的性质可知,点A,E,O,G,B共线,点C,F,O,H,D共线.由菱形性质可知,EG⊥FH,设OF=m,OE=n,又半径为10,则1234567891011121314151612345678910111213141516B级关键能力提升练B123456789101112131415169.(多选题)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时,则有(

)A.年产量为9000件 B.年产量为10000件C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元AD1234567891011121314151610.现有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,甲地与乙地之间的距离约为500海里.运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.为了使全程运输成本最低,轮船行驶速度应为(

)A.25海里/时 B.35海里/时C.20海里/时 D.30海里/时B1234567891011121314151611.某企业生产甲、乙两种产品,根据以往经验和市场调查,甲产品的利润与投入资金成正比,乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比,已知甲、乙产品分别投入资金4万元时,所获得利润(单位:万元)情况如下:投入资金甲产品利润乙产品利润412.5该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品,那么可获得的最大利润(单位:万元)是(

)B1234567891011121314151612.(多选题)声音是由物体振动产生的声波,可以用正弦函数描述.纯音的数学模型是函数y=Asinωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+sin2x,则(

)C.f(x)在[0,2π]上有3个零点D.f(x)在[0,2π]上有3个极值点BC12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151613.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数解析式可以表示为

且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以

千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.

8012345678910111213141516令f'(x)=0,得x=80,当x∈(0,80)时,f'(x)<0,该函数单调递减;当x∈(80,120]时,f'(x)>0,该函数单调递增,所以当x=80时,f(x)取得最小值.1234567891011121314151614.已知函数f(x)=-lnx,x∈(0,e).在曲线y=f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A,B两点,设O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为

.

1234567891011121314151615.

一艘渔船在进行渔业作业的过程中,产生的主要费用有燃油费用和人工费用,已知渔船每小时的燃油费用与渔船速度的立方成正比,已知当渔船的速度为10海里/小时时,燃油费用是600元/小时,人工费用是4050元/小时,记渔船的航行速度为v(单位