第六节向量法求空间角与距离课件高三数学一轮复习

第六节向量法求空间角与距离1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平

行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的

作用.目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.已知直线

l

1的方向向量

s

1＝（1，0，1），直线

l

2的方向向量

s

2＝

（－1，2，－2），则

l

1和

l

2夹角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.

2.在空间直角坐标系中，已知

A

（1，－1，0），

B

（4，3，0），

C

（5，4，－1），则

A

到

BC

的距离为（

）A.3B.

C.

D.

最小角定理如图，若

OA

为平面α的一条斜线，

O

为斜足，

OB

为

OA

在平面α内的

射影，

OC

为平面α内的一条直线，其中θ为

OA

与

OC

所成的角，θ1为

OA

与

OB

所成的角，即线面角，θ2为

OB

与

OC

所成的角，那么cosθ

＝cosθ1cosθ2.

已知

AO

为平面α的一条斜线，

O

为斜足，

OB

为

OA

在平面α内的射

影，直线

OC

在平面α内，且∠

AOB

＝∠

BOC

＝45°，则∠

AOC

的大小

为

⁠.

60°PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练直线与平面所成的角【例1】

（2024·全国甲卷18题）如图，在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

A

1

C

⊥平面

ABC

，∠

ACB

＝90°，

AA

1＝2，

A

1到平面

BCC

1

B

1的距离

为1.（1）证明：

A

1

C

＝

AC

；解：证明：如图，过

A

1作

A

1

D

⊥

CC

1，垂足为

D

，∵

A

1

C

⊥平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，∴

A

1

C

⊥

BC

，又∠

ACB

＝90°，∴

AC

⊥

BC

，∵

A

1

C

，

AC

⊂平面

ACC

1

A

1，且

A

1

C

∩

AC

＝

C

，∴

BC

⊥平面

ACC

1

A

1，∵

A

1

D

⊂平面

ACC

1

A

1，∴

BC

⊥

A

1

D

，又

CC

1，

BC

⊂平面

BCC

1

B

1，且

CC

1∩

BC

＝

C

，∴

A

1

D

⊥平面

BCC

1

B

1，∴

A

1

D

＝1.由已知条件易证△

CA

1

C

1是直角三角形，

又

CC

1＝

AA

1＝2，

A

1

D

＝1，∴

D

为

CC

1的中点，又

A

1

D

⊥

CC

1，∴

A

1

C

＝

A

1

C

1，又在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AC

＝

A

1

C1，∴

A

1

C

＝

AC

.

（2）已知

AA

1与

BB

1的距离为2，求

AB

1与平面

BCC

1

B

1所成角

的正弦值.

解题技法向量法求直线与平面所成角的2种方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转

化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向

量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所

成的角.

（1）证明：

BD

⊥

PA

；解：证明：如图所示，取

AB

中点为

O

，连接

DO

，

CO

，则

OB

＝

DC

＝1.又

DC

∥

OB

，所以四边形

DCBO

为平行四

边形.又

BC

＝

OB

＝1，所以四边形

DCBO

为菱形，所以

BD

⊥

CO

.

同理可得，四边形

DCOA

为菱形，所以

AD

∥

CO

，所以

BD

⊥

AD

.

因为

PD

⊥底面

ABCD

，

BD

⊂底面

ABCD

，所以

PD

⊥

BD

，又

AD

∩

PD

＝

D

，

AD

，

PD

⊂平面

ADP

，

所以

BD

⊥平面

ADP

.

因为

PA

⊂平面

ADP

，所以

BD

⊥

PA

.

（2）求

PD

与平面

PAB

所成的角的正弦值.

平面与平面的夹角（二面角）【例2】

（2024·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥

A

-

BCD

中，

DA

＝

DB

＝

DC

，

BD

⊥

CD

，∠

ADB

＝∠

ADC

＝60°，

E

为

BC

的中点.（1）证明：

BC

⊥

DA

；解：证明：如图，连接

DE

，

AE

.

因为

DC

＝

DB

，

E

为

BC

的中点，所以

BC

⊥

DE

.

因为∠

ADB

＝∠

ADC

＝60°，

DA

＝

DC

＝

DB

，所以△

ABD

≌△

ACD

，所以

AB

＝

AC

.

又

E

为

BC

的中点，所以

BC

⊥

AE

.

又

AE

⊂平面

ADE

，

DE

⊂平面

ADE

，

AE

∩

DE

＝

E

，所以

BC

⊥平面

ADE

.

又

DA

⊂平面

ADE

，所以

BC

⊥

DA

.

解题技法向量法求平面与平面夹角（二面角）的方法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，

然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注

意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与

棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大

小就是二面角的大小.

（2024·新高考Ⅰ卷18题）如图，在正四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝2，

AA

1＝4.点

A

2，

B

2，

C

2，

D

2分别在棱

AA

1，

BB

1，

CC

1，

DD

1上，

AA

2＝1，

BB

2＝

DD

2＝2，

CC

2＝3.（1）证明：

B

2

C

2∥

A

2

D

2；

（2）点

P

在棱

BB

1上，当二面角

P

-

A

2

C

2-

D

2为150°时，求

B

2

P

.

距离问题【例3】如图，正三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，各棱长均为4，

N

是

CC

1

的中点.（1）求点

N

到直线

AB

的距离；

（2）求点

C

1到平面

ABN

的距离.

解题技法利用向量法求点到平面的距离的步骤

1.四面体

OABC

满足∠

AOB

＝∠

BOC

＝∠

COA

＝90°，

OA

＝1，

OB

＝2，

OC

＝3，点

D

在棱

OC

上，且

OC

＝3

OD

，点

G

为△

ABC

的重

心，则点

G

到直线

AD

的距离为（

）A.

B.

C.

D.

2.（2024·黄冈模拟）已知正方形

ABCD

的边长为4，

CG

⊥平面

ABCD

，

CG

＝2，

E

是

AB

的中点，

F

是

AD

上靠近

A

的四等分点，

则点

B

到平面

GEF

的距离为

⁠.

PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习

A.

B.

C.

D.

－

12345678910111213141516171819202122232425262728

2.已知三棱锥

S

-

ABC

中，底面

ABC

为边长等于2的等边三角形，

SA

垂

直于底面

ABC

，

SA

＝3，那么直线

AB

与平面

SBC

所成角的正弦值

为（

）A.

B.

C.

D.

3.正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为2，

E

，

F

，

G

分别是

CC

1，

D

1

A

1，

AB

的中点，则点

A

到平面

EGF

的距离为

⁠.

4.如图，四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的所有棱长都相等，

AC

∩

BD

＝

O

，

A

1

C

1∩

B

1

D

1＝

O

1，四边形

ACC

1

A

1和四边形

BDD

1

B

1均为矩形.（1）证明：

O

1

O

⊥底面

ABCD

；解：证明：由题意得，

CC

1⊥

AC

，

DD

1⊥

BD

，又

CC

1∥

DD

1∥

OO

1，所以

OO

1⊥

AC

，

OO

1⊥

BD

，因为

AC

∩

BD

＝

O

，

AC

，

BD

⊂平面

ABCD

，所以

O

1

O

⊥底面

ABCD

.

（2）若∠

CBA

＝60°，求平面

C

1

OB

1与平面

OB

1

D

夹角的余弦值.解：因为四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的所

有棱长都相等，所以四边形

ABCD

为菱

形，

AC

⊥

BD

，又

O

1

O

⊥底面

ABCD

，

所以

OB

，

OC

，

OO

1两两垂直.如图，

以

O

为坐标原点，

OB

，

OC

，

OO

1所在

直线分别为

x

轴，

y

轴，

z

轴建立空间直

角坐标系.

（2）求

AD

到平面

PBC

的距离.

（1）证明：平面

ABC

⊥平面

ABB

1

A

1；

（2）设点

P

是棱

BB

1的中点，求直线

BC

与平面

A

1

PC

所成角θ的正

弦值.

7.如图，六面体

ABCDEFG

中，

BE

⊥平面

ABC

，且

BE

⊥平面

DEFG

，

DG

∥

EF

，

ED

＝

DG

＝

GF

＝1，

AB

＝

BC

＝

CA

＝

EF

＝2.（1）求证：

DF

⊥平面

ABED

；解：证明：因为

BE

⊥平面

ABC

，且

BE⊥平面

DEFG

，所以

DE

⊥

BE

，且

AB

⊥

BE

，又

AB

，

DE

⊂平面

ABED

，所以

DE

∥

AB

，同理，

EF

∥

BC

，所以∠

DEF

＝∠

ABC

＝60°，又

EF

＝2

DE

，所以

DF

⊥

DE

，由

BE

⊥平面

DEFG

，知

DF

⊥

BE

，又因为

ED

∩

BE

＝

E

，所以

DF

⊥平面

ABED

.

解：取

AB

中点

O

，由题可知，

DE

∥

OB

且

DE

＝

OB

，所以四边形

OBED

为平行四边形，所以

OD

∥

BE

，于是

OD

⊥平面

ABC

，又△

ABC

为正三角形，

所以

OC

，

OA

，

OD

两两垂直.以

O

为坐标原点，