考研数学二分类模拟205

考研数学二分类模拟205一、选择题1.

二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]按可微性定义，f(x，y)在(0，0)处可微，因此

从而其中A，B是与x，y无关的常数。

题中的C项即A=B=0的情形。故选C。

2.

设函数z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F'2≠0，则A.xB.zC.-xD.-z正确答案：B[解析]对已知的等式两边求全微分可得

所以

整理可得

因此

故选B。

3.

已知函数则______A.f'x-f'y=0B.f'x+f'y=0C.f'x-f'y=fD.f'x+f'y=f正确答案：D[解析]由复合函数求导法则

故f'x+f'y=f。

4.

设其中函数f可微，则

A．2yf'(xy)

B．-2yf'(xy)

C．

D．正确答案：A[解析]先根据函数求出偏导数的表达式，再将结果代入

故选A。

5.

设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是______A.f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B.f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C.f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D.f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B[解析]因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有f'x(x0，y0)=0，f'y(x0，y0)=0。又由故选B。

6.

设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是______A.x1＞x2，y1＜y2B.x1＞x2，y1＞y2C.x1＜x2，y1＜y2D.x1＜x2，y1＞y2正确答案：D[解析]由需对x和y分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数f(x，y)关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。

因此，当x1＜x2，y1＞y2时，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)。故选D。

7.

设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是______。A.f"(0)＜0，g"(0)＞0B.f"(O)＜0，g"(0)＜0C.f"(0)＞0，g"(0)＞0D.f"(0)＞0，g"(0)＜0正确答案：A[解析]由z=f(x)g(y)，得

而且=f(0)g'(0)=0，f(0)＞0，g(0)＜0。

当f"(0)＜0，g"(0)＞0时，B2-AC＜0，且A＞0，此时z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值。故选A。

二、填空题1.

设其中函数f(u)可微，则正确答案：0[解析]因为

所以

2.

设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1[解析]由z=(x+ey)x，故z(x，0)=(x+1)x，则

将x=1代入得

3.

设函数z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y确定，则正确答案：2[解析]方法一：偏导数法。在z=e2x-3z+2y的两边分别对x，y求偏导，z为x，y的函数。

从而

所以

方法二：全微分法。利用全微分公式，得

dz=e2x-3z(2dx-3dz)+2dy=2e2x-3zdx+2dy-3e2x-3z=dz，

所以

(1+3e2x-3z)dz=2e2x-3zdx+2dy，

因此

从而

4.

若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz|(0,0)=______。正确答案：[解析]直接在方程两端对x，y求偏导数有

则

5.

正确答案：[解析]设则z=uv，所以

因此

这类具体的二元函数偏导数的计算实质上与一元函数导数的计算没有任何区别，对一个变量求导时，只需要把另一个变量看成常数，其余的计算公式就和一元函数求导数完全一样了。

6.

设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足则dz=______。正确答案：(2x-y)dx-xdy[解析]利用变量替换，设xy=u，则有

即f(x，y)=x2-xy，因此dz=(2x-y)dx-xdy。

7.

设函数z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy确定，则正确答案：2-2ln2[解析]把点(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy两边同时对x求偏导数，有

将x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得

8.

设z=z(x，y)是由方程确定的隐函数，则在点(0，-1，1)的全微分dz=______。正确答案：2dx+dy[解析]方程两边微分，有

将x=0，y=-1，z=1代入上式，得即有dz=2dx+dy。

三、解答题1.

设z=f[xy，yg(x)]，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1，求正确答案：解：由题意

由g(x)在x=1处取得极值g(1)=1，可知g'(1)=0。

故有

2.

设z=z(x，y)是由方程x2+y2-z=φ(x+y+z)所确定的函数，其中φ具有二阶导数且φ'≠-1。

(Ⅰ)求dz；

(Ⅱ)正确答案：解：(Ⅰ)对方程两端同时求导得2xdx+2ydy-dz=φ'(x+y+z)·(dx+dy+dz)，

整理得

(φ'+1)dz=(-φ'+2x)dx+(-φ'+2y)dy，

因此

(Ⅱ)由第(Ⅰ)问可知，所以

3.

设对任意的x和y，有用变量代换将f(x，y)变换成g(u，v)，试求满足的常数a和b。正确答案：解：由题意

因此，有

利用(f'1)2+(f'2)2=4，即(f'2)2=4-(f'1)2，得

(a+b)(v2-u2)(f'1)2+2(a+b)uvf'1f'2+4au2-4bv2=u2+v2，

因此

a+b=0，4a=1，-4b=1，

所以

4.

设函数u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b的值，使等式通过变换ξ=x+ay，η=x+by可化简为正确答案：解：根据已知有

将相关表达式分别代入等式，可得

根据题意，令解方程组得

根据10ab+12(a+b)+8≠0，舍去

因此可知a=-2，，b=-2。

5.

设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程求f(u)。正确答案：解：由题意

代入方程中，得到f"(u)-f(u)=0，解得

f(u)=C1eu+C2e-u，

其中C1，C2为任意常数。

6.

设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且满足等式

(Ⅰ)

(Ⅱ)若f(1)=0，f'(1)=1，求函数f(u)的表达式。正确答案：解：(Ⅰ)设则

因此

将得

(Ⅱ)令f'(u)=p，则分离变量得两边积分得

lnp=-lnu+lnC1，

解得

由f'(1)=1可得C1=1。对等式两边积分得

f(u)=lnu+C2，

由f(1)=0可得C2=0，故f(u)=lnu。

7.

求函数的极值。正确答案：解：对于函数先求函数的驻点：令

解得驻点为(1，0)，(-1，0)。又

对点(1，0)，有

所以，，A1＜0，故f(x，y)在点(1，0)处取得极大值对点(-1，0)，有

所以，A2＞0，故f(x，y)在点(-1，0)处取得极小值[解析]求二元函数无条件极值的基本步骤：先求出函数所有的驻点；对每一个驻点，分别算出它的三个二阶偏导数，确定A，B，C的取值，再通过充分条件判断该点是否取极值。

8.

已知函数f(x，y)满足f"xy(x，y)=2(y+1)ex，f'x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值。正确答案：解：先求出f(x，y)。

在函数f"xy(x，y)两端对y求不定积分，可得

f'x(x，y)=(y2+2y)ex+φ1(x)。

由于f'x(x，0)=(x+1)ex，所以有

φ1(x)=(x+1)ex，f'x(x，y)=(y2+2y)ex+(x+1)ex。

再对函数f'x(x，y)两端对x求不定积分，可得

f(x，y)=(y2+2y)ex+xex+φ2(y)。

由于f(0，y)=y2+2y，所以有φ2(y)=0，f(x，y)=(y2+2y)ex+xex。

下面求f(x，y)的极值。

解得x=0，y=-1，而

A=f"xx(0，-1)=1，B=f"xy(0，-1)=0，C=f"yy(0，-1)=2。

由于AC-B2＞0，A＞0，所以取得极小值f(0，-1)=-1。

9.

已知函数z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x，y)的极值。正确答案：解：在已知方程两边分别同时对x和y求偏导得

令代入方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0可得，

解得z=1，故x=y=-1。

方程(1)(2)两边再分别同时对x，y求导，得

将x=-1，y=-1，z=1，代入，可得

由AC-B2＞0，A＜0可知，z(-1，-1)=1为极大值。

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