初中数学基础知识及经典题型

例题讲解

【例1】如图10,平行四边形相切中，5,80=10,8。边上得高/AM,£

为比1边上得一个动点(不与8、。重合).过£作直线48得垂线，垂足为£F

E与。。得延长线相交于点G,连结DE,DFO

(1)求证：ABEF^ACEG.

(2)当点£在线段a1上运动时，△应'尸与△0%得周长之间有什么关系？并

说明您得理由.

(3)设2?E=x,△龙尸得面积为y,请您求出y与x之间得函数关系式,并求

出当x为何值时，y有最大值，最大值就是多少？

“D一

"(a>0)与坐标轴交于点ABC且OA=1

(1)求此二次函啰修析式.(2)写出顶点坐标与对称轴方程.

陆焉图展上(点N在点M得右边)且MN〃x轴求以

Mg为直径直与切得圆增径

D.v

］已知两个关于得二次函数与当时，；且二次函数得

1唱象得对称轴就是直线.

II(1)求得值；

击----k-------%(2)求函数得表达式；

\/(3)在同一直角坐标系内，问函数得图象与得图象就

ly是否有交点?请说明理由.

【例4】如图，抛物线与x轴分别相交于点B、0,它得顶点为A,

I连接AB,把AB所得直线沿y轴向上平移,使它经过原点0,得到直

线1,设P就是直线1上一动点、

(1)求点A得坐标；

(2)以点八、B、0、P为顶点得四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接

写出这些特殊四边形得顶点P得坐标；

(3)设以点人、B、0、P为顶点得四边形得面积为S,点P得横坐标为x,当时，求x得取

值范围、

【例4］随着绿城南宁近几年城市建设得快速发展，对花木得需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测，种植树木得利润

与投资量成正比例关系，如图①所示;种植花卉得利润与投资量成二次函数关系,

如图②所示(注:利润与投资量得单位:万元)

(1)分别求出利润与关于投资量得函数关系式；

(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉与树木，她至少获得多少利

润？她能获取得最大利润就是多少？

【例5】如图，已知，，现以A点为位似中心,相似比为9:4,将0B向右侧放大,B

点得对应点为C.

(1)求C点坐标及直线BC得解析式；

(2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线得解析式

并画出函数图象；

(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有

满足到直线AB距离为得点P.

【例6】如图,抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点、抛物线向右平移2个单位后得到抛物

线,交轴于C、D两点、

(1)求抛物线对应得函数表达式；

(2)抛物线或在轴上方得部分就是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点得四边形就是平行

四边形、若存在，求出点N得坐标;若不存在,请说明理由；

(3)若点P就是抛物线上得一个动点(P不与点A、B重合)，那么点P关于原点得对称

点Q就是否在抛物线上,请说明理由、

解析过程及每步分值

(2)存在.

令工・0,得y=3..,.M(0,3).

\,抛物线L2是L向右平移2个单位得到的，

点,N(2,3)在Lt上，且MN^2,MN//AC.

又：AC=2,；.MN=AC

四边形ACNM为平行四边形.

同理,〃上的点N'(-2,3)满足N'M//AC,N'M=AC.

四边形ACMN'是平行四边形•

...N(2,3)，N'(-2,3)即为所求•

【例7】如图,在矩形中，，，点就是边上得动点(点不与点，点重合)，过点作直线,

交边于点，再把沿着动直线对折,点得对应点就是点,设得长度为,与矩形重叠部

分得面积为.

(1)求得度数；

(2)当取何值时,点落在矩形得边上？

(3)①求与之间得函数关系式；

②当取何值时,重叠部分得面积等于矩形面积得？

(备用图2)

解析过程及每步分值

解：(1)如图，四边形就是矩形,.

又，，，

(2)如图1,由轴对称得性质可知,,

由(1)知，，

在中，根据题意得:，

解这个方程得：.

(3)①当点在矩形得内部或边上时,

，，

，当时，

当在矩形得外部时(如图2),,

在中，，

又,‘

在中,

当时,.

综上所述,与之间得函数解析式就是

②矩形面积，当时，函数随自变量得增大而增大，所以得最大值就是，而矩形面积得得

值，

而，所以，当时,得值不可能就是矩形面积得；

当时，根据题意，得：

，解这个方程，得，因为，

所以不合题意，舍去.

所以.

综上所述,当时,与矩形重叠部分得面积等于矩形面积得.

第四章兴趣练习

4、1代数部分

1、已知:抛物线与无轴交于A、B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴得负半轴上,

点。在y轴得负半轴上，线段。。得长(OA<OC)就是方程得两个根，且抛物线得

对称轴就是直线.

(1)求/、B、C三点得坐标；

(2)求此抛物线得解析式；

(3)若点。就是线段A8上得一个动点(与点/、6不重合)，过点D作交AC

于点E,连结C。，设得长为得面积为S,求S与相得函数关系式,

并写出自变量功得取值范围.S就是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D

点坐标;若不存在,请说明理由.

(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四也形面用

2、已知，如图1,过点作平行于轴得直线，抛物线上得两点得横坐标分别为1与4,直线交轴

于点，过点分别作直线得垂线，垂足分别为点、，连接.

(1)求点得坐标；

⑵求证:；

(3)点就是抛物线对称轴右侧图象上得一动点，过点作交轴于点，就是否存在点使得与相

似?若存在，请求出所有符合条件得点得坐标;若不存在，请说明理由.

«3、已知矩形纸片得长为4,宽为3,以长所在得直线为轴，为坐标原点建

立平面直角坐标系;点就是边上得动点(与点不重合)，现将沿翻折

得到,再在边上选取适当得点将沿翻折，得到，使得

直线重合./

⑴若点落在边上,如图用，求点得符标，并求过此三点中抛物线得函数X系式；

(2)若点落时形纸片得扉如图②，设当为何,时，取得最/值？

(3)在(1)得情况*,过点刃W抛物线上就是否存在%使就是明直角边得直角三角形?若

不存在，说明理队承分名/求出点得坐标._________________

4如图,已知抛麻涌最A、8两鬲交轴于点G%硒得对称轴交轴于点E二点B

得坐标为(,0)/c,£DICED

1/1)求抛物线得蝴轴及,&L得坐标;本〉备用图

B

Cr-

CD中就是否存在点p,与三点构成一个平行四边形？若存在,

请写出点存在，请说明理由;

Q)连结CA导对称触交于点D,在抛物线府直线CM把

子藩不/在，请说明理

四边衫分成息两部分?若存在，请求出直线

I

由,。>\

PAx0PAx

*5、如图①，已知抛物线(aW0)与轴交于点A(1,0)与点2(—3,0),与y轴衮于点C

(1)求抛物线得脚箭式;图

(2)设抛物线得对称轴与轴交于点M,问在对称轴上就是否存在点使为等腰三

形？若存在，请直接写出所有符合条件得点尸得坐标;若不存在，请I说明理由.

值，并求此时E点得坐标.

D

2

*二、动态几何

6、如图，在梯形中，厘/厘来照坡度动点从出发以觎娜得速度酒泉扇点位般动点°

度沿:加向点运动，两个

从点出发以3厘米/秒得孤点同晒、出发，当其中一个瑜索到达终点

时，另一个动点也随之便止.碳动点阜动得时间为秒.

M>

(1)求边得长；——\QV>—O

(2)当为何值时，与相互平分；O'”x

(3)连结设得面积为探求与鳏数关系式，求为何值时，然M直？最大值就是多少？

7、已知:直线与轴交于A,与轴交于D,抛物।线与直线交于4、5两点，与轴交于B、C两点,

且B点坐标为(1,0).

(1)求抛物线得解析式；

(2)动点P在轴上移动，当就是直角三月形时，求点P得坐标.

(3)在抛物线得对称轴上找一点使得值谩大，求出点跖标.

B

P

*8、已知:抛物线得对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、\V1/

(1)求这条抛物线得函数表达式.\

(2)已知在对称轴上存在一点P,使得得周长最小.请求出点。得坐自、

(3)若点就是线段上得一个动点(不与点0、点C重合).过点D•站迂点专的、.设隼长

为，得面积为.求与之间得函数关系式.试说明就是否存在最大管磊福宙录输大值；毒不

存在，请说明理由.

9、如图1,已知抛物线经过坐标原点与轴上另一点，顶点得坐标为;矩形得双中点重合，分

别在轴、轴上,且,.\：/

(1)求该抛物线所对应得函数关系式；\,

(2)将矩形以每秒1个单位长度得速度从图1所示得位置沿轴箱即向匀逋平行喇同面

一动点也以相同得速度从点出发向匀速移动.设它们运动得时间为沟，直境与演械线得交

点为(如图2所示).\：/

①当时，判断点就是否在直线上，并说明理由；c

②设以为顶点得多边形面积为，试问就是否存在最大值？若存在，求出这个最大&；若不存在,

请说明理由.

io、己知抛物线:.丫人yK

M

(1)求抛物线得顶点坐示.M

N

(2)将抛物线向沂落户海位反向上平移1个单位“由物线金抛物线得解析式.

(3)如下图，抛物线得引声为P,轴占有一动点M在、这电周牛列线上?t是否存在点N,使

为不边得平行四野的耳存在不

。(原点)、P、帽嗡昌构成以0奇点得坐标;若不

X

存在,请说明理由.m

_图1、..图2

【提示：抛物线0得对称盘;就是顶点坐标就是】

11、如图，已知抛物线G：得顶点为P,与x轴相交于A、2两点（点A在点B得左边），点B

得横坐标就是1.

（1）求尸点坐标及。得值；（4分）

（2）如图（1）,抛物线C与抛物线G关于x轴对称，将抛物线。2向右平移，平移后得

抛物线记为。3,C3得顶点为〃，当点P、M关于点8成中心对称时，求C3得解析式；（4分）

（3）如图（2）,点Q就是x轴正半轴上一点，将抛物线j绕点Q旋转180。后得到抛物

线.抛物线C4得顶点为N,与x轴相交于E、尸两点（点E在点户得左边）,当以点P、N、F

为顶点得三角形就是直角三角形时，求点Q得坐标.（5分）

如图,在六前直角坐标系中，已知矩形得三个顶点、、.线过两点.

(if1

接写出点得A；

（2）动甫从点自发声2I•点运动，同时点从点出饯，沿线段向终点运动N均为每秒1

个单位运动时'回为秒.过呼交于点.

.一…年何甯寸，线段最90

①过点点，交.

②连接在叔揖动阂程中,判断俞L个醉刻使得就是等龊三角考

请直接再出才口

匕c3

AF2P

■3、如图1,已知正比例函数与反比例函数得图像都经过点M-2,一项力双曲线上

得一点为坐标嗣上一动点,P4垂直于无轴，QB垂直于y车|曝

分别就庶AB.

（1）写出正比例函数与反比例函数得关系式；P1E

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上就是否存在这样得点，使得小。万沿QAP面

积相等?如果存在，请求出点得坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2,当点Q在第一象限中得双曲线上运动时，作以O网O

PC0,求平行四边形OPCQ周长得最小值.'

喝2

14、如图，矩形中,=6cm,4。=3cm，点E在边。。上，且。万=4cm.

动点。从点A开始沿着A-B—CTE得路线以2cm/s得速度移动，动点Q从点A开始沿

着NE以1cm/s得速度移动，当点。移动到点E时,点尸停止移动.若点尸、。从点力同时出

发，设点Q移动时间为f(s),P、Q两点运动路线与线段PQ围成得图形面积为S(cm2)，求S与

/得函数关系式.

15、如图,已知二次函数得图串与轴相交于两尹而得点

、，与轴得交点为.设得外接圆得圄心为点.

⑴求与轴得另一个交点D得坐标；

(2)如果恰好为得直径，且得面积管/幽得值.

ApB

16、如图,点坐标分别为(4,0)、(0,8),点就是线段上一动点，点在轴正半轴上，四边形就

是矩形，且.设，矩形与重合部分得面积为.根据上述条件，回答下列问题：

(1)当矩形得顶点在直线上时，求得值；

(2)当时，求得值；v

(3)直接写出与得函数关系式；(不必写出解题过程)

(4)若，则______________.\

17、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止*沿线段。运动,

速度为每秒1个单位长度，点沿路线一一运动.\

(1)直接写出两点得坐标；c__入

(2)设点得运动时间为秒，得面积为，求出与之间得函数关系式；———LX-——>

(3)当时,求出点得坐标，并直接写出以点为顶点得平行四边形得第四个顶外坐点.\"

18、如图1,过△/6C得三个顶点分别作出与水平线垂直得三条直线,外侧两条直线之间得

距离叫△力6c得“水平宽”(a),中间得这条直线在内部得线段得长度叫△46。得

“铅垂高”(血.我们可得出一种计算三角形面积得新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅

垂高乘积得一半.

解答下列问题：

如图2,抛物线顶点坐标为点C(l,4),交x轴于点火3,0),交y

轴于点B.

(1)求抛物线与直线/万得解析式；

(2)求△。台得铅垂高及；

(3)设点P就是抛物线(在第一象限内)上得一个动点，就是否存在一点已使SMAFSACAB,

若存在，

求出。点得坐标;若不存在,请说明理由.

*19、如图，在平面直角坐标系中，点得坐标分别为点在轴上.已知某二次函数得图象经

过、、三点，且它得对称轴为直线点为直线下方得二次函数图象上得一个动点(点与、不重合),

(1

(2表示线段得长.

(坐标.

I-

2(!米，.从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/

O

秒/秒得速度沿得方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止

运得面积为平方厘米(这里规定:点与线段就是面积为

得三角形),解答下Bx

(1)点、从出发到相嘲网寸,吸是.・秒;

(2)点、从开始运动到甲坤行程中，当就是等边三角形时得值就是.秒;

(3)求与之间得函数关|系公

D._________f

21、定义一种毕耳)/线得到抛物线，使经过得顶点.设得对称轴分别交于点，点就是点

关于直线得对称,//\

(1)如图1,若:，套跟换后，魂抖:，点得坐标为，则①得值等于;

②四边形为(4Q--------

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)如图2,若:，经过变换后，点得坐标为，求得面积；

(3)如图3,若:，经过变换后,，点就是直线上得动点,求点到点得距离与到直线得距离之与得最

小值.

y''Fi

2、如图，欧口直线交坐标

于两点，以线段为边向上作正方形，迎点得抛物线线另三

''F,D

D

点声坐标；

狮!物线得撕式;

°(部)著正方形座毒秒个单位长度得速澄沿射2

ih方

轴下方部分得面积为，求美.行时间得函数关系式，并写出相应变量得r

OBx

OX

(图1)(图2)(S3)

取值范围；

(4)在(3)得条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间得抛物线弧

所扫过得面积.

23、如图,点坐标分别为(4,0)、(0,8),点就是线段上一动点，点在轴正半轴上，四边形就是

矩形，且.设，矩形与重合部分得面积为.根据上述条件，回答下列问题：

(1)当矩形得顶点在直线上时，求得值；

(2)当时，求得值；

(3)直接写出与得函数关系式;(不必写出解题过程)V

(4)若，则_______________.治

24、如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形得空地进行生态环境工/事已知得边长120

米，高长80米.学校计划将它分割成、、与矩形四部分(如图).其中矩形得一跳边上，其余两个

顶点、分别在边、上.现计划在上种草，每平米投资6元;在、上都种花,每平如投资10元;

在矩形上兴建爱心鱼池,每平方米投资4元.C—外

(1)当长为多少米时，种草得面积与种花得面积相等？——----->

(2)当矩形得边为多少米时，空地改造总投资最小？最小值为多少？\'

25、已知:就是方程得两个实数根，且，抛物线得图象经过点.

(1)求这个抛物线得解析式；

(2)设点就是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形就是以为对角线得平行四边形,求得面

积与之间得函数关系式,并写出自变量得取值范围；

(3)在(2)得条件下，当得面积为24时，就是否存在这样得点，使为正方形？若存在，求

出点坐标；若不存在，说明理由.

三、说理题

26、如图，抛物线经过三点.

(1)求出抛物线得解析式。

(2)P就是抛物线上一动点，逑工作轴,垂足为就是否存在P点,使得以为顶点得

三角形与相似？若存在，请求出符行条件得点P得坐标;若不存在,请说明理由；

(3)在直线AC上方得抛物线上；"♦点£>,使得得面积最大,求出点。得坐标.

A°x

P

27、如图，在平面直角坐标系中，半径为1得圆得圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于

四点.抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点与点.

(1)求抛物线得解析式;

(2)抛物线得对称轴交轴于点,连结，并延长交圆于，求得长.

(3)过点作圆得切线交得延长线于点，判断点就是否在抛物线上，说明理由.

28、如图1,己知:抛物线与轴交于两点，与轴交于点，经过两点得直线就是,连结.

上金,抛物线得&数关系式为.

(1)两点坐标分别为(..）、C

D

(2)判断得形状,并说明理由；

(3)若内部能否截出面积最大得矩形(顶点在各边」)湃射洞在跳上得?形顶点得坐标;

若不能，请说明理由.Ax

［抛物线得顶点坐标就是］

*29、己知:如图，在平面直角坐标系中，矩形夕么串办04在y车由得正半轴上,0C在x

轴得正半轴上，0线铲。=3.过原点。作得平分蠹交N2于点D,连接。C,过点。

(1)求过点及⑦、。得抛物线得解析式；

(2)将/aC绕旋转后，角得一审.,铀得正为利交寻点£另一边与线段

0C交于点G.痂"♦粒物变交于另点他标为，那么EF=2G。就是

否成立?若成立，请正明;若不成立，请说明理由；(

(3)对于(2)中徼发伸位于第一象限内得该抛物级4就是否存在点。，使得直线G。与A6

得交点尸与点。、倒勾成得△PCG就是等腰三角喷2斯市，请求出点。得坐标;若不存在,

请说明理由.

Ty

*30、如图所示，将矩形沿折叠，使点恰好落在上处，以为边作正方形,延长至，使，再以、

为边作矩形.A-------------，--------，B

(1)试比较、得大小，并说明理由.

(2)令,请问就是否为定值?若就是，请求出得值;若不就是，请说明孑!\

(3)在(2)得条件下，若为上一点且,抛物线经过、两点，请求出旧畛血得解析式\

(4)在(3)得条件下，若抛物线与线段交于点，试问在直线上就是徐在点.吏得以,融顶点得x

三角形与相似?若存在，请求直线与轴得交点得坐标;若不存在隅说明理由.0

44V2几何部分

H-------\G

经典难题F

1已知:如图，。就是半圆得圆心,C、E就是圆上得两点,|CDJ_AN：EIFXAB,$G±CO.

求证：CD=GF.(初二)

2、已知：如图,P就是正方形ABCD内点,NPAD=/PD)

求证:APBC就是正三角形.(初二)-

如图，已知四边形ABCD、人出《21都就是正方形八2,85

3、2、

Bi、CCi、DDi得中点./

A1-------4B

求证：四边形AzB2c2D2就是正方形.(初二)

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别就是1/德中关

B

B2

C得延长线交MN于E、F.

求证:NDEN=NF.

经典难题（二）

1、已知:AABC中,H为垂心（各边高线得交点）,0为外心，且OMLBC于M.

（1）求证:AH=20M;A

（2）若NBAC=60°,求证：AH=AO.（初二）

2、设MN就是圆O外一直线，过。作OALMN于A,自A引圆得两条直线,交圆子B、4及

D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.°G

求证:AP=AQ.（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN就是圆0得弦，过MN得中点A任作两弦BC、D忘

HP、Q.

求证:AP=AQ.（初二）C

、

4如图,分别以△ABC得AC与BC为一边，在^ABC得外侧作正M】N

P

CBFG点P就是EF得中点.

求证：点P到边AB得距离等于AB得一半.（初二）_0]B

经典难题（三）

1、如图,四边形ABCD为正方形，DE〃AC,AE=AC,D相父于1.

求证:CE=CF.（初二）

D

2、如图,四边形ABCD为正方形，DE//AC,且CE=CA,直线上

求证:AE=AF.（初二）

A

3、设P就是正方形ABCD一边声1任一点，PF，AP,CF平7

求证:（初二）

PA=PF.A

4、如图,PC切圆。于C,AC为圆得直径,PEF为圆得割戋F与亶名

D.求证:AB=DC,BC=AD.（初三）

3A

经典难题（四）

1、已知:AABC就是正三角形,P就是三角形内一点，PA=3,PB=4

求：NAPB得度数.（初二）P

2、设P就是平行四边形ABCD内部得一点，且NPBA=N

求证:NPAB=NPCB.（初二）

3、Ptolemy（托勒密）定理:设ABCD为圆内接凸四边形，求证:AB-CD+

（初三）

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别就是BC、AB上得一点,AE

AE=CF.求证:NDPA=NDPC.（初二）

经典难题（五）

1、设P就是边长为1得正4ABC内任一点,1=PA+PB+PC,求证:Wl<2：

A

C

★重点★实数得有关概念及性质，实数得运算

☆内容提要☆

一、重要概念

1.数得分类及概念

数系表：

「正整数

说明：“分类”得原

整数0

,（有限或无限循环性数）I负整数则：1）相称（不重、

工正分数

分数不漏）

实数v工负分数

I无理数（无限不循环小数）｛负嚏理事

2）有标准

2.整数非负数:正实数与零得统称。（表为：x20）

「有理数｛常见得非负数有：

1

性「正数Jr■分数质：若干个非负数得与为0,

则［不拜"似为一切实数）每个非负担数均为0。

-倒数：①定义及表示法

②性质:A、a¥1

/a（a#±l）;B、1/a中，aW0;C、0<a<1

1/a〉l;a>1时，1/a<1;D、积为1。

4.相反数：①定义及表示法

②性质:A、aWO时,a#—a;B、a与一a在数轴上得位置;C、与为

0,商为T。

5.数轴:①定义（“三要素”）

②作用:A、直观地比较实数得大小；B、明确体现绝对值意义；C、建立点与

实数得一一对应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数（正整数一自然数）

定义及表示：

奇数:2nT

偶数：2n（n为自然数）

7.绝对值:①定义（两种）：

代数定义：ra（a>0）

几何定义：数।㊀I=t_a（a<0）a得绝对值顶得几何意义就是实数a在

数轴上所对应得点到原点得距离。

②Ia|'0,符号“||”就是“非负数”得标志；③数a得绝对值只有一个;

④处理任何类型得题目，只要其中有出现，其关键一步就是去掉

符号。

二、实数得运算

1.运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2.运算定律（五个一加法［乘法］交换律、结合律；［乘法对加法得］

分配律）

3.运算顺序:A、高级运算到低级运算;B、（同级运算）从“左”

到“右''（如5+X5）;C、（有括号时）由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例（略）

附:典型例题

1.已知:a、b、x在数轴上得位置如下图,求证：|x-a|+|x—b|

a、___..________.a

2、已知:a-b=-2且ab〈0,（aWO,b"WO）,判断a、b

得符号。

第二章代数式

★重点★代数式得有关概念及性质,代数式得运算

☆内容提要☆

一、重要概念

「籁比J单项式分类：

1、代数式与「有理式」走式I多项式有理式

用运算符号代数式匕理尸分式

把数或表示数得字母连结而成

得式子，叫做代数式。单独

得一个数或字母也就是代数式。

整式与分式统称为有理式。

2、整式与分式

含有加、减、乘、除、乘方运算得代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母得有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母得有理式叫做公式。

3、单项式与多项式

没有加减运算得整式叫做单项式。（数字与字母得积一包括单独得一个数或字母）

几个单项式得与，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式与分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单

项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，就是以所给得代数式为对象，而非以变形后得

代数式为对象。划分代数式类别时，就是从外形来瞧。如，

=X,=IXI等。

4、系数与指数

区别与联系:①从位置上瞧;②从表示得意义上瞧

5、同类项及其合并

条件：①字母相同；②相同字母得指数相同

合并依据:乘法分配律

6、根式

表示方根得代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算得代数式叫做无理式。

注意:①从外形上判断;②区别：、就是根式，但不就是无理式（就是无理数）。

7、算术平方根

⑴正数a得正得平方根（［aNO—与“平方根”得区别］）;

⑵算术平方根与绝对值

①联系:都就是非负数，=Ia|

②区别：Ia|中，a为一切实数；中,a为非负数。

8、同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同得二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数得因数就是整数，因式就是整式；②被开方数中不含有开得尽方

得因数或因式。

把分母中得根号划去叫做分母有理化。

9、指数

⑴a.a...a=（一暴，乘方运算）

①a>0时,〉0;②a<0时，>0（n就是偶数），<0（n就是奇

n个数）

⑵零指数：=l（a=0）

负整指数:=1/（aWO,p就是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1,分式得加、减、乘、除、乘方、开方法则

2.分式得性质

⑴基本性质：=（mWO）

⑵符号法则：

⑶繁分式:①定义；②化简方法（两种）

3.整式运算法则（去括号、添括号法则）

4.累得运算性质:①•=；②+=;③十④个⑤

技巧：

5.乘法法则:⑴单X单;⑵单又多;（3）多义多。

6.乘法公式：（正、逆用）

（a+b）（a-b）=

（a+b）=

7.除法法则:⑴单+单;⑵多小单。

8.因式分解:⑴定义;⑵方法:A、提公因式法；B、公式法；C、十字相乘法;D、分组分

解法;E、求根公式法。

9.算术根得性质:=;;（aNO,bNO）；（a^O,b>0）（正用、逆用）

10.根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）；⑵乘、除法法则；⑶分母有理

化:A、；B、；C、、

11.科学记数法：（1Wa<10,n就是整数=

三、应用举例（略）

四、数式综合运算（略）

第三章统计初步

★重点★

☆内容提要介

一、重要概念

1、总体：考察对象得全体。

2、个体：总体中每一个考察对象。

3、样本:从总体中抽出得一部分个体。

4、样本容量:样本中个体得数目。

5、众数:一组数据中，出现次数最多得数据。

6、中位数:将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置得一个数（或最中间位置得两

个数据得平均数）

二、计算方法

1、样本平均数:⑴;⑵若,，…,，则（a一常数,，，•••，接近较整得常数a）;⑶加权平均数：;

⑷平均数就是刻划数据得集中趋势（集中位置）得特征数。通常用样本平均数去估计总体平

均数,样本容量越大，估计越准确。

2.样本方差:⑴；⑵若，，…,，则（a—接近、、…、得平均数得较“整”得常数）；若、、…、

较“小”较“整”，则；⑶样本方差就是刻划数据得离散程度（波动大小）得特征数，当样本

容量较大时,样本方差非常接近总体方差,通常用样本方差去估计总体方差。

3.样本标准差：

三、应用举例（略）

第四章直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形得有关概念、判定、性质。

☆内容提要介

一、直线、相交线、平行线

1.线段、射线、直线三者得区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2.线段得中点及表示

3.直线、线段得基本性质（用“线段得基本性质”论证“三角形两边之与大于第三边”）

4.两点间得距离（三个距离:点-点;点一线;线-线）

5.角（平角、周角、直角、锐角、钝角）

6.互为余角、互为补角及表示方法

7.角得平分线及其表示

8.垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）

9.对顶角及性质

10.平行线及判定与性质（互逆）（二者得区别与联系）

11.常用定理:①同平行于一条直线得两条直线平行（传递性）；②同垂直于一条直线

得两条直线平行。

12.定义、命题、命题得组成

13.公理、定理

14.逆命题

二、三角形

分类:⑴按边分；

⑵按角分

1.定义（包括内、外角）

2.三角形得边角关系:⑴角与角:①内角与及推论;②外角与;③n边形内角与;④n边形

外角与。⑵边与边：三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边:在同一三

角形中,

3.三角形得主要线段小边