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新编经济应用数学（微分学积分学）第五版PAGEPAGE10.1.5无穷小量与无穷大量课题0.1.5无穷小量与无穷大量（2学时）时间年月日教学目的要求理解无穷小和无穷大的概念及相互关系。理解和掌握无穷小的性质和无穷小的阶。会比较两个无穷小的大小。重点无穷小和无穷大的概念。难点会比较无穷小。教学方法手段对比讲解主要内容时间分配一、无穷小量20分钟定理1二、无穷大量15分钟三、无穷小量与无穷大量的关系10分钟四、无穷小的性质15分钟五、无穷小的比较15分钟六、等价无穷小15分钟作业备注一、无穷小量如果（或）时，函数的极限为零，则称为（或）时的无穷小量，简称无穷小。注意：⑴无穷小是以零为极限的变量，不要把一个很小的数认为是无穷小。⑵无穷小是与极限过程相联系的。⑶当，，，时可得到相应的无穷小的定义。无穷小的定义对数列也适用。定理1的充分必要条件是其中，是一个无穷小量。证明：必要性设，则所以充分性设，则所以注：⑴定理1对，等其它情况都成立。⑵意义：①将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）②给出函数在附近的近似表达式，误差为。二、无穷大量如果（或）时，无限增大，则称为（或）时的无穷大量，简称无穷大。记作（或）注：⑴无穷大是变化的量，不要把一个很大的数认为是无穷大。⑵无穷大是与极限过程相联系的。⑶当，，，时可得到相应的无穷大的定义。无穷大的定义对数列也适用。⑷切勿将认为极限存在，因为极限必须是常数，而不是数，只表示一种状态。（5）无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量未必是无穷大。三、无穷小量与无穷大量的关系在自变量的同一过程中，无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。【例1】求解时分母的极限为0，分子的极限不为0，即所以四、无穷小的性质1、有限个无穷小的代数和仍是无穷小。2、有限个无穷小的乘积仍是无穷小。3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。4、常数与无穷小的乘积仍是无穷小。五、无穷小的比较设，是同一过程中的两个无穷小，且，⑴，则称是比的高阶无穷小，记作；⑵，则称是比的低阶无穷小；⑶，则称是比的同阶无穷小，特别地，如果，则称是比的等价无穷小；⑷，则称是比的阶无穷小。【例2】（1），即所以当时，是比高阶无穷小；（2），即所以当时，是的等价无穷小；六、等价无穷小定理2设，，，是同一过程中的无穷小，且，，存在，则证明：几个常用的等价无穷小：当时有【例3】求下列极限：（1），（2）解（1）当时，，（2）当时，小结：（1）若未

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