高中数学：导学案：合情推理 (一)

2.1.1合情推理

学习1标

1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；

2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

学习过程

一、课前准备

（预习教材0P72,找出疑惑之处）

在日常生活中我们常常遇到这样的现象：

（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨;

（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.

以上例子可以得出推理是________________________

_________________________________的思维过程.

二、新课导学

学习探究

探究任务：归纳推理

问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,

18=11+7,20=13+7,...,50=13+37,...,100=3+97,猜想：

问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出

新知：归纳推理就是由某些事物的，推出该类事物的

的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是

由的推理.

典型例题

例1观察下列等式：1+3=4=22,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=4?,

1+3+5+7+9=25=52,

你能猜想到一个怎样的结论?

变式：观察下列等式：1=1

1+8=9,

1+8+27=36,

1+8+27+64=100,

你能猜想到一个怎样的结论?

例2已知数列｛风｝的第一项4=1,且am试归纳出这个数列

1+4

的通项公式.

变式：在数列｛0｝中，«„=1(«„+-L)(«>2),试猜想这个数列的通项公式.

24

动手试试

练1.应用归纳推理猜测7111---1-222---2的结果.

练2.在数列｛%｝中，4=1,q（〃eN*）,试猜想这个数列的通项公式.

2+%

三、总结提升

学习小结

1.归纳推理的定义.

2.归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同的性质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.

知识拓展

1.费马猜想：法国业余数学家之王一费马（1601-1665）在1640年通过对

223

=2°+1=3,6=2味+1=5,g=2"+1=17,F3=2+1=257,居=2?"+1=65537

的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数“，任何形如£=2,+1

的数都是素数.后来瑞士数学家欧拉发现

居=2哀+1=4294967297=641x6700417不是素数,推翻费马猜想.

2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单

位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着

色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的

问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子

计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

学习评价

当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.下列关于归纳推理的说法错误的是().

A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程

B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程

C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确

D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2.若/(〃)=/+"+41,下列说法中正确的是().

A./⑺可以为偶数B./⑺一定为奇数

C./(〃)一定为质数D.7(〃)必为合数

3.已知/(x+l)="⑴，川)=1(无wN*),猜想/(%)的表达式为().

/(尤)+2

4B

A./(x)=------『加高

2*+2

C-"止占D./(尤)=--—

2x+l

4.f(n)^l+-+-+---+-(neN)经计算得

23n+

357

/(2)=-,/(4)>2,/(8)>-,/(16)>3,/(32)>-猜测当n>2时有

5.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是

课后作业

1.对于任意正整数n,猜想(2〃-1)与(“+1)2的大小关系.

2.已知数列｛应｝的前〃项和S“，％=二，满足5“+工+2=g（〃22）,计算

3S"

耳㈤偈㈤，并猜想S“的表达式.

3.在等差数列｛qj中，若4[0=0,则有

4+a2H---Fa”=a1+为+—F匍-<19,〃eN）成AL,类比上述性质，在等比数列｛6.｝

中，若d=1,则存在怎样的等式？

11

4.在各项为