第8讲 电场与磁场的基本性质 拔高练习

学而优·教有方PAGEPAGE45专题三电场与磁场第8讲电场与磁场的基本性质1.（2021年·全国甲卷）（多选）某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则（）A.一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功B.一电子从a点运动到d点，电场力做功为4eVC.b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右D.a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大2.（2021·全国甲卷）两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与在一条直线上，与OF在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为（）A．B、0 B．0、2B C．2B、2B D．B、B3.（2021·全国乙卷）如图（a），在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图（b）中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为和，相应的电势能分别为和，则（）A. B.C. D.4.（多选）（2020·江苏卷）如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球（不计重力）。开始时，两小球分别静止在A、B位置。现外加一匀强电场E，在静电力作用下，小球绕轻杆中点O转到水平位置。取O点的电势为0。下列说法正确的有（）A．电场E中A点电势低于B点B．转动中两小球的电势能始终相等C．该过程静电力对两小球均做负功D．该过程两小球的总电势能增加电场力的性质1．电场中的各个物理量的关系2．电场强度的计算(1)定义式：E＝eq\f(F,q).电场中某点的电场强度是确定值，其大小和方向与试探电荷q无关．(2)真空中点电荷：E＝keq\f(Q,r2).E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定．(3)匀强电场：E＝eq\f(U,d).式中d为两点间沿电场方向的距离．例题1.如图所示，匀强电场中有一个与电场线平行的平面，平面中有一个直角三角形ABC，其中∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2m．若在B处有一个放射源，能沿平面向各方向射出动能为10eV的电子，电子经过A、C两点时的动能分别为11eV和7eV.不考虑电子间的相互作用，则该电场的电场强度大小为()A．1N/C B．2N/CC．3N/C D．4N/C夯实成果练1.如图所示，在xOy坐标系中以O为中心的椭圆上有A、B、C、D、E五个点，在其一个焦点P上放一负点电荷，下列判断正确的是()A．B、E两点电场强度相同B．A点电势比D点电势高C．将一负点电荷由B沿BCDE移到E点，电场力做功为零D．同一正点电荷在D点的电势能小于在C点的电势能例题2.）如图所示，匀强电场中A、B、C三点间距离均为L，构成一个等边三角形，等边三角形所在平面与匀强电场方向平行，若在A处放一正电荷+q，在B处放一负电荷－q，则C点场强为0，现将A、B处的电荷互换位置，匀强电场保持不变，则C点场强大小为(设正负电荷不影响匀强电场的分布)（）A． B． C． D．夯实成果练2.如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒。每根细棒均匀带上正电。现将电荷量为+Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零。若移走+Q及AB边上的细棒，则O点强度大小为(k为静电力常量)(不考虑绝缘棒及+Q之间的相互影响)A．B．C．D．电场能的性质1．电势高低的判断方法(1)根据电场线方向，沿着电场线方向，电势越来越低；(2)根据电势的定义式φ＝eq\f(W,q)，即将＋q从电场中的某点移至无穷远处，电场力做功越多，则该点的电势越高；(3)根据电势差UAB＝φA－φB，若UAB＞0，则φA＞φB，反之，φA＜φB.2．电场中带电粒子轨迹的判断(1)分析电荷受电场力情况时，首先明确电场的电场线分布规律，再利用电场线的疏密分布规律或场强的叠加原理判定场强的强弱．(2)分析电势的高低常根据电场线的指向进行判断．(3)比较电势能的大小或分析电势能的变化，可以根据电场力做正功，电势能减小；做负功，电势能增大判断，也可根据正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大来判断．例题3.如图所示，在光滑绝缘水平面上P点正上方的O点固定了一电荷量为＋Q的点电荷，在水平面上的N点，由静止释放一质量为m、电荷量为－q的带电小球，小球经过P点时速度为v，图中θ＝60°，则在点电荷形成的电场中()A．N点电势高于P点电势B．UPN＝eq\f(mv2,2q)C．P点电场强度大小是N点的2倍D．带电小球从N点到P点的过程中电势能减少了eq\f(1,2)mv2夯实成果练3.（多选）如图所示，a、b两点处分别固定有电荷量相同的正点电，c是线段ab的中点，g是ab的垂直平分线上的一点，且cd=ce=cg。下列说法正确的是（）A．a、b两点的连线上，c点的电场强度最大B．d、e两点的电场强度大小相等、方向相反C．c点的电势比g点的低D．将一正点电荷从c点沿直线移到g点，其电势能减少例题4.(多选)(2020·全国卷Ⅱ)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则()A．a、b两点的场强相等B．a、b两点的电势相等C．c、d两点的场强相等D．c、d两点的电势相等夯实成果练4.(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是()A．电场强度的大小为2.5V/cmB．坐标原点处的电势为1VC．电子在a点的电势能比在b点的低7eVD．电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV磁场与安培力问题1．电流产生的磁场的合成对于多个电流在空间某点的合磁场方向，首先应用安培定则判断出各电流在该点的磁场方向(磁场方向与该点和电流连线垂直)，然后应用平行四边形定则合成．2．安培力公式：F＝BILsinα(α为B、I间的夹角)．（1）．公式只适用于匀强磁场中的通电直导线或非匀强磁场中很短的通电导线．（2）．当I、B夹角为0°时F＝0.当电流与磁场方向垂直时，安培力最大，为F＝BIL.（3）．L是有效长度．闭合的通电导线框在匀强磁场中受到的安培力F＝0.（4）．安培力的方向利用左手定则判断．3．磁场性质分析的两点技巧(1)判断电流磁场要正确应用安培定则，明确大拇指、四指及手掌的放法．(2)分析磁场对电流的作用要做到“一明、一转、一分析”．即：4．安培力作用下的平衡与运动问题的求解思路例题5.如图所示，a、b、c为水平面内的三点，其连线构成一个等边三角形，两根长直导线竖直放置且过a、b两点，两导线中分别通有方向相反的电流I1和I2。已知通电直导线产生磁场的磁感应强度可用公式B＝keq\f(I,r)表示，公式中的k是常数、I是导线中电流强度、r是该点到直导线的距离。若两根长导线在c点产生的磁场的磁感应强度方向沿图中虚线由c点指向a点，则电流I1∶I2值为()A.1∶2 B.1∶5C.2∶1 D.3∶1夯实成果练5.如图所示，在直角三角形acd中，∠a＝60°，三根通电长直导线垂直纸面分别放置在a、b、c三点，其中b为ac的中点．三根导线中的电流大小分别为I、2I、3I，方向均垂直纸面向里．通电长直导线在其周围空间某点产生的磁感应强度B＝eq\f(kI,r)，其中I表示电流强度，r表示该点到导线的距离，k为常数．已知a点处导线在d点产生的磁感应强度大小为B0，则d点的磁感应强度大小为()A．B0B．2B0C.eq\r(3)B0D．4B0例题6.（多选）如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2，L1中的电流方向向左，L2中的电流方向向上；L1的正上方有a、b两点，它们相对于L2对称．整个系统处于匀强外磁场中，外磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向外．已知a、b两点的磁感应强度大小分别为eq\f(1,3)B0和eq\f(1,2)B0，方向也垂直于纸面向外．则 ()A．流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为eq\f(7,12)B0B．流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为eq\f(1,12)B0C．流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为eq\f(1,12)B0D．流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为eq\f(7,12)B0夯实成果练6.电流天平是一种测量磁场力的装置，如图所示．两相距很近的通电平行线圈Ⅰ和Ⅱ，线圈Ⅰ固定，线圈Ⅱ置于天平托盘上．当两线圈均无电流通过时，天平示数恰好为零．下列说法正确的是（）A．当天平示数为负时，两线圈电流方向相同B．当天平示数为正时，两线圈电流方向相同C．线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力大于线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的作用力D．线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力与托盘对线圈Ⅱ的作用力是一对相互作用力洛伦兹力问题1．洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，即洛伦兹力永不做功．(2)仅电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向．2．洛伦兹力的大小(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.例题7.(多选)如图所示，方向垂直纸面向外的长方形匀强磁场区域abcd的对角线ac与ab边的夹角θ＝30°，e是ab的中点，若一带正电粒子P从a点沿ac方向以初速度v射入磁场中，经时间t恰好从e点射出磁场．下列说法正确的是 ()A．若P的初速度增大为2v，则从b点射出磁场B．若P的初速度增大为2v，则经时间2t射出磁场C．若带负电粒子Q(比荷与P的相等)从a点沿ac方向射入磁场中并从d点射出磁场，则其初速度为eq\f(2,3)vD．若带负电粒子Q(比荷与P的相等)从a点沿ac方向射入磁场中并从d点射出磁场，则经过的时间为t夯实成果练7.如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是 ()A．电子将向右偏转B．电子打在MN上的点与O′点的距离为dC．电子打在MN上的点与O′点的距离为eq\r(3)dD．电子在磁场中运动的时间为eq\f(πd,3v0)例题8.如图，在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为eq\f(B,2)的匀强磁场．一带负电的粒子从原点O以与x轴成60°角的方向斜向上射入磁场，且在上方运动半径为R(不计重力)，则()A．粒子经偏转一定能回到原点OB．粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为2∶1C．粒子再次回到x轴上方所需的时间为eq\f(2πm,Bq)D．粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进了3R夯实成果练8.如图所示，半径为R的圆形区域里有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，M、N是磁场边界上两点且M、N连线过圆心，在M点有一粒子源，可以在纸面内沿各个方向向磁场里发射质量为m、电荷量为q、速度大小均为v＝eq\f(qBR,2m)的带正电的粒子，不计粒子的重力，若某一个粒子在磁场中运动的时间为t＝eq\f(πR,2v)，则该粒子从M点射入磁场时，入射速度方向与MN间夹角的正弦值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,5)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(4,5)1.(多选)某条直线电场线上有O、A、B、C四个点，相邻两点间距离均为d，以O点为坐标原点，沿电场强度方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示。一个带电荷量为＋q的粒子从O点由静止释放，仅考虑电场力作用。则下列说法正确的是()A．若O点的电势为零，则A点的电势为eq\f(E0d,2)B．粒子从A到B做匀速直线运动C．粒子运动到B点时动能为eq\f(3E0qd,2)D．粒子在OA段的电势能变化量大于在BC段的电势能变化量2.(多选)两个点电荷Q1和Q2固定在x轴正半轴上，其中Q2所在位置为坐标原点。将一电子放在x正半轴上，该电子的电势能Ep随位置x变化的曲线如图所示，其中x＝x0是电势能为零的点的横坐标，x＝x1是电势能为极值的点的横坐标。由图象可知()A．Q2一定带负电B．两个点电荷可能为同种电荷C．两个点电荷在x0处的合场强为零D．Q1带电荷量的绝对值必小于Q2带电荷量的绝对值3.如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O为半圆弧的圆心，在O点存在的垂直纸面向里运动的匀速电子束．∠MOP＝60°，在M、N处各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒定电流，方向如图所示，这时O点的电子受到的洛伦兹力大小为F1.若将M处长直导线移至P处，则O点的电子受到的洛伦兹力大小为F2.那么F2与F1之比为()A.eq\r(3)∶1 B.eq\r(3)∶2C．1∶1 D．1∶24.(多选)将平行板电容器两极板之间的距离、电压、电场强度大小、电容和极板所带的电荷量分别用d、U、E、C和Q表示．下列说法正确的是()A．保持U不变，将d变为原来的两倍，则E变为原来的一半B．保持E不变，将d变为原来的一半，则U变为原来的两倍C．保持C不变，将Q变为原来的两倍，则U变为原来的两倍D．保持d、C不变，将Q变为原来的一半，则E变为原来的一半5.(多选)如图所示，在倾角为α的光滑斜面上，垂直斜面放置一根长为L、质量为m的直导体棒，当通以图示方向电流I时，欲使导体棒静止在斜面上，可加一平行于纸面的匀强磁场，当外加匀强磁场的磁感应强度B的方向由垂直斜面向上沿逆时针方向转至水平向左的过程中，下列说法中正确的是 ()A．此过程中磁感应强度B逐渐增大B．此过程中磁感应强度B先减小后增大C．此过程中磁感应强度B的最小值为eq\f(mgsinα,IL)D．此过程中磁感应强度B的最大值为eq\f(mgtanα,IL)6.空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为0，则（）A．e点的电势大于0B．a点和b点的电场强度相同C．b点的电势低于d点的电势D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加7.在匀强磁场中有粗细均匀的同种导线制成的等边三角形线框abc，磁场方向垂直于线框平面，ac两点间接一直流电源，电流方向如图所示。则()A．导线ab受到的安培力大于导线ac受到的安培力B．导线abc受到的安培力大于导线ac受到的安培力C．线框受到安培力的合力为零D．线框受到安培力的合力方向垂直于ac向下8.一通电直导线与x轴平行放置，匀强磁场的方向与xOy坐标平面平行，导线受到的安培力为F.若将该导线做成eq\f(3,4)圆环，放置在xOy坐标平面内，如图所示，并保持通电的电流不变，两端点ab连线也与x轴平行，则圆环受到的安培力大小为()A．F B.eq\f(\r(2),3π)F C.eq\f(2\r(2),3π)F D.eq\f(3\r(2)π,2)F9.（多选）如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场。在该区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘固定圆环，环上套有一个带正电的小球。O点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，bOd沿水平方向。已知小球重力为电场力的2倍。现将小球从a点由静止释放，则小球（）A．不能越过d点继续沿环向上运动B．在c点受到的洛伦兹力比在b点受到的洛伦兹力大C．从a点到b点过程中，重力势能减小，电势能增大D．从c点到d点过程中，电势能变化量小于重力势能变化量10.如图，仅在第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的微粒a从坐标处射入磁场，射入方向与轴正方向夹角为，经时间与静止在坐标处的不带电微粒b发生碰撞，碰后瞬间结合为微粒c。已知a、b质量相同（重力均不计），则在磁场中运动的时间为（）A． B． C． D．专题三电场与磁场第8讲电场与磁场的基本性质（解析）1.（2021年·全国甲卷）（多选）某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则（）A.一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功B.一电子从a点运动到d点，电场力做功为4eVC.b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右D.a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大【答案】BD【解析】A．由图象可知φb=φe则正电荷从b点运动到e点，电场力不做功，A错误；B．由图象可知φa=3V，φd=7V根据电场力做功与电势能的变化关系有Wad=Epa-Epd=(φa-φd)(-e)=4eVB正确；C．沿电场线方向电势逐渐降低，则b点处的场强方向向左，C错误；D．由于电场线与等势面处处垂直，则可画出电场线分布如下图所示由上图可看出，b点电场线最密集，则b点处的场强最大，D正确。故选BD。2.（2021·全国甲卷）两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与在一条直线上，与OF在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为（）A．B、0 B．0、2B C．2B、2B D．B、B【答案】B【解析】两直角导线可以等效为如图所示的两直导线，由安培定则可知，两直导线分别在M处的磁感应强度方向为垂直纸面向里、垂直纸面向外，故M处的磁感应强度为零；两直导线在N处的磁感应强度方向均垂直纸面向里，故M处的磁感应强度为2B；综上分析B正确。故选B。3.（2021·全国乙卷）如图（a），在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图（b）中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为和，相应的电势能分别为和，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由图中等势面的疏密程度可知根据可知由题可知图中电场线是由金属板指向负电荷，设将该试探电荷从M点移到N点，可知电场力做正功，电势能减小，即故选A。4.（多选）（2020·江苏卷）如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球（不计重力）。开始时，两小球分别静止在A、B位置。现外加一匀强电场E，在静电力作用下，小球绕轻杆中点O转到水平位置。取O点的电势为0。下列说法正确的有（）A．电场E中A点电势低于B点B．转动中两小球的电势能始终相等C．该过程静电力对两小球均做负功D．该过程两小球的总电势能增加【答案】AB【解析】A．沿着电场线方向，电势降低，A正确；B．由于O点的电势为0，根据匀强电场的对称性又，，所以B正确；CD．A、B位置的小球受到的静电力分别水平向右、水平向左，绝缘轻杆逆时针旋转，两小球静电力对两小球均做正功，电场力做正功，电势能减少，CD错误；故选AB。电场力的性质1．电场中的各个物理量的关系2．电场强度的计算(1)定义式：E＝eq\f(F,q).电场中某点的电场强度是确定值，其大小和方向与试探电荷q无关．(2)真空中点电荷：E＝keq\f(Q,r2).E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定．(3)匀强电场：E＝eq\f(U,d).式中d为两点间沿电场方向的距离．例题1.如图所示，匀强电场中有一个与电场线平行的平面，平面中有一个直角三角形ABC，其中∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2m．若在B处有一个放射源，能沿平面向各方向射出动能为10eV的电子，电子经过A、C两点时的动能分别为11eV和7eV.不考虑电子间的相互作用，则该电场的电场强度大小为()A．1N/C B．2N/CC．3N/C D．4N/C【答案】A【解析】由B到A由动能定理得φB＝0，则－eUBA＝EkA－EkB＝1eVUBA＝－1V＝φB－φA，得φA＝1V同理，－eUBC＝EkC－EkB＝－3eVUBC＝3V＝φB－φC得φC＝－3VBO连线与AC垂直，AC为电场线方向E＝eq\f(UAO,dOA)＝eq\f(1,1)N/C＝1N/C.夯实成果练1.如图所示，在xOy坐标系中以O为中心的椭圆上有A、B、C、D、E五个点，在其一个焦点P上放一负点电荷，下列判断正确的是()A．B、E两点电场强度相同B．A点电势比D点电势高C．将一负点电荷由B沿BCDE移到E点，电场力做功为零D．同一正点电荷在D点的电势能小于在C点的电势能【答案】：C【解析】：由电场线的分布情况和对称性可知，B、E两点电场强度大小相等，但方向不同，所以电场强度不同，故A错误．D点到负电荷的距离大于A点到负电荷的距离，离负电荷越远电势越高，则知D的电势高于A点的电势，故B错误．B、E两点电势相等，负点电荷在B、E两点的电势能相等，所以负点电荷由B沿BCDE移到E点，电场力做功为零，故C正确．D点的电势高于C点电势，而正电荷在电势高处电势能大，则知同一正电荷在D点的电势能大于在C点的电势能，故D错误．例题2.）如图所示，匀强电场中A、B、C三点间距离均为L，构成一个等边三角形，等边三角形所在平面与匀强电场方向平行，若在A处放一正电荷+q，在B处放一负电荷－q，则C点场强为0，现将A、B处的电荷互换位置，匀强电场保持不变，则C点场强大小为(设正负电荷不影响匀强电场的分布)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若在A处放一正电荷+q，在B处放一负电荷－q，正负电荷分别在C点产生的电场强度大小相等，方向如图1，由电场叠加后合场强大小与匀强电场强度大小相等，匀强电场方向如图1中红色所示，由几何关系可知，则匀强电场大小为，将A、B处的电荷互换位置，如图2所示，由几何关系可知，此时A、B处的电荷在C处产生的场强的合场强与匀强电场方向相同，大小相等，则此时C点的场强为，故D正确，ABC错误。故选D。夯实成果练2.如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒。每根细棒均匀带上正电。现将电荷量为+Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零。若移走+Q及AB边上的细棒，则O点强度大小为(k为静电力常量)(不考虑绝缘棒及+Q之间的相互影响)A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对称性，AF与CD上的细棒在O点产生的电场强度叠加为零，AB与ED上的细棒在O点产生的电场强度叠加为零.BC中点的点电荷在O点产生的电场强度为，因EF上的细棒与BC中点的点电荷在O点产生的电场强度叠加为零，EF上的细棒在O点产生的电场强度为，故每根细棒在O点产生的电场强度为，移走+Q及AB边上的细棒，O点的电场强度为EF与ED上的细棒在O点产生的电场强度叠加，这两个场强夹角为60°，所以叠加后电场强度为，选项D正确；电场能的性质1．电势高低的判断方法(1)根据电场线方向，沿着电场线方向，电势越来越低；(2)根据电势的定义式φ＝eq\f(W,q)，即将＋q从电场中的某点移至无穷远处，电场力做功越多，则该点的电势越高；(3)根据电势差UAB＝φA－φB，若UAB＞0，则φA＞φB，反之，φA＜φB.2．电场中带电粒子轨迹的判断(1)分析电荷受电场力情况时，首先明确电场的电场线分布规律，再利用电场线的疏密分布规律或场强的叠加原理判定场强的强弱．(2)分析电势的高低常根据电场线的指向进行判断．(3)比较电势能的大小或分析电势能的变化，可以根据电场力做正功，电势能减小；做负功，电势能增大判断，也可根据正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大来判断．例题3.如图所示，在光滑绝缘水平面上P点正上方的O点固定了一电荷量为＋Q的点电荷，在水平面上的N点，由静止释放一质量为m、电荷量为－q的带电小球，小球经过P点时速度为v，图中θ＝60°，则在点电荷形成的电场中()A．N点电势高于P点电势B．UPN＝eq\f(mv2,2q)C．P点电场强度大小是N点的2倍D．带电小球从N点到P点的过程中电势能减少了eq\f(1,2)mv2【答案】：BD【解析】：N点距离正电荷较远，根据顺着电场线方向电势降低可知，N点电势低于P点电势，故A错误．带电小球由N到P的过程，由动能定理得－qUNP＝eq\f(1,2)mv2，解得UNP＝－eq\f(mv2,2q)，则UPN＝－UNP＝eq\f(mv2,2q)，故B正确．P点电场强度大小是EP＝eq\f(kQ,rP2)，N点电场强度大小是EN＝eq\f(kQ,rN2)，则EP∶EN＝rN2∶rP2＝4∶1，故C错误．带电小球从N点到P点的过程中，电场力做正功eq\f(1,2)mv2，则电势能减少了eq\f(1,2)mv2，故D正确．夯实成果练3.（多选）如图所示，a、b两点处分别固定有电荷量相同的正点电，c是线段ab的中点，g是ab的垂直平分线上的一点，且cd=ce=cg。下列说法正确的是（）A．a、b两点的连线上，c点的电场强度最大B．d、e两点的电场强度大小相等、方向相反C．c点的电势比g点的低D．将一正点电荷从c点沿直线移到g点，其电势能减少【答案】BD【解析】根据等量同种电荷的电场分布可知，a、b两点的连线上，c点的电场强度最小，大小为零，选项A错误；由对称性可知，d、e两点的电场强度大小相等、方向相反，选项B正确；因c点到两正电荷的距离比g点到两正电荷的距离都近，由电势叠加可知，c点的电势比g点的高，选项C错误；两点荷连线中垂线上侧的场强由中点c指向g，则将一正点电荷从c点沿直线移到g点，电场力做正功，则其电势能减少，选项D正确。故选BD。例题4.(多选)(2020·全国卷Ⅱ)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则()A．a、b两点的场强相等B．a、b两点的电势相等C．c、d两点的场强相等D．c、d两点的电势相等【答案】ABC【解析】沿竖直方向将圆环分割成无穷个小段，关于水平直径对称的两小段构成等量异种点电荷模型，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点场强方向由正点电荷指向负点电荷，根据对称性可知a、b两点的场强相等，A项正确；取无穷远处电势为零，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点电势均为零，故a、b两点的电势相等，B项正确；沿水平方向将圆环分割成无穷个小段，关于竖直直径对称的两小段构成等量同种点电荷模型，在等量同种点电荷的垂直平分线上各点场强方向垂直于连线，根据对称性可知c、d两点的场强相等，C项正确；在等量异种点电荷模型中，距离正点电荷近的点电势高，故φc>φd，D项错误。夯实成果练4.(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是()A．电场强度的大小为2.5V/cmB．坐标原点处的电势为1VC．电子在a点的电势能比在b点的低7eVD．电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV解题关键(1)读题①看到“匀强电场”想到“沿任一不垂直于电场线的直线电势均匀变化”。②看到“三点的电势分别为10V、17V、26V”想到“找等势面，画电场线”。(2)文图转换【答案】ABD【解析】如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则eq\f(ad,dc)＝eq\f(10－17,17－26)＝eq\f(7,9)，所以d点的坐标为(3.5cm，6cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得，cf的长度为3.6cm，电场强度的大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(26－17,3.6)V/cm＝2.5V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，可知坐标原点O处的电势为1V，故选项B正确；a点电势比b点电势低7V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV，故选项D正确。磁场与安培力问题1．电流产生的磁场的合成对于多个电流在空间某点的合磁场方向，首先应用安培定则判断出各电流在该点的磁场方向(磁场方向与该点和电流连线垂直)，然后应用平行四边形定则合成．2．安培力公式：F＝BILsinα(α为B、I间的夹角)．（1）．公式只适用于匀强磁场中的通电直导线或非匀强磁场中很短的通电导线．（2）．当I、B夹角为0°时F＝0.当电流与磁场方向垂直时，安培力最大，为F＝BIL.（3）．L是有效长度．闭合的通电导线框在匀强磁场中受到的安培力F＝0.（4）．安培力的方向利用左手定则判断．3．磁场性质分析的两点技巧(1)判断电流磁场要正确应用安培定则，明确大拇指、四指及手掌的放法．(2)分析磁场对电流的作用要做到“一明、一转、一分析”．即：4．安培力作用下的平衡与运动问题的求解思路例题5.如图所示，a、b、c为水平面内的三点，其连线构成一个等边三角形，两根长直导线竖直放置且过a、b两点，两导线中分别通有方向相反的电流I1和I2。已知通电直导线产生磁场的磁感应强度可用公式B＝keq\f(I,r)表示，公式中的k是常数、I是导线中电流强度、r是该点到直导线的距离。若两根长导线在c点产生的磁场的磁感应强度方向沿图中虚线由c点指向a点，则电流I1∶I2值为()A.1∶2 B.1∶5C.2∶1 D.3∶1【答案】A【解析】由右手螺旋定则可知I1在c点产生的磁场方向垂直于ac指向右下方，I2在c点产生的磁场方向垂直于bc指向左下方；由题可知，二者的合磁感应强度方向沿着ca；由公式B＝keq\f(I,r)可得I2在c点产生的磁感应强度大小B2＝keq\f(I2,r)，方向与ca成30°角，在垂直于ca的方向，其分量大小B2′＝keq\f(I2,r)×sin30°＝keq\f(I2,2r)，I1在c点产生的磁感应强度大小B1＝keq\f(I1,r)，方向与ca垂直，所以有B1＝B2′，即keq\f(I2,2r)＝keq\f(I1,r)，解得I1∶I2＝1∶2，故选项A正确。夯实成果练5.如图所示，在直角三角形acd中，∠a＝60°，三根通电长直导线垂直纸面分别放置在a、b、c三点，其中b为ac的中点．三根导线中的电流大小分别为I、2I、3I，方向均垂直纸面向里．通电长直导线在其周围空间某点产生的磁感应强度B＝eq\f(kI,r)，其中I表示电流强度，r表示该点到导线的距离，k为常数．已知a点处导线在d点产生的磁感应强度大小为B0，则d点的磁感应强度大小为()A．B0B．2B0C.eq\r(3)B0D．4B0【答案】D【解析】设直角三角形的ad边长为r，则ac边长为2r，根据直导线产生的磁感应强度公式可得a点处导线在d点产生的磁感应强度大小为B0＝keq\f(I,r)，由安培定则知方向水平向左；同理有c点处导线在d点产生的磁感应强度大小为B1＝keq\f(3I,\r(3)r)＝eq\r(3)B0，方向竖直向下；b点处导线在d点产生的磁感应强度大小为B2＝keq\f(2I,r)＝2B0，方向垂直于bd斜向左下方；如图所示：因eq\f(B1,B0)＝eq\r(3)＝tan60°，可知B1和B0的合磁感应强度沿B2的方向，故d点的磁感应强度大小为B合＝B2＋eq\r(B\o\al(02,)＋B\o\al(12,))＝4B0，方向垂直于bd斜向左下方，故选D.例题6.（多选）如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2，L1中的电流方向向左，L2中的电流方向向上；L1的正上方有a、b两点，它们相对于L2对称．整个系统处于匀强外磁场中，外磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向外．已知a、b两点的磁感应强度大小分别为eq\f(1,3)B0和eq\f(1,2)B0，方向也垂直于纸面向外．则 ()A．流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为eq\f(7,12)B0B．流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为eq\f(1,12)B0C．流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为eq\f(1,12)B0D．流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为eq\f(7,12)B0【答案】AC【解析】原磁场、电流的磁场方向如图所示，由题意知在b点：eq\f(1,2)B0＝B0－B1＋B2在a点：eq\f(1,3)B0＝B0－B1－B2由上述两式解得B1＝eq\f(7,12)B0，B2＝eq\f(1,12)B0.夯实成果练6.电流天平是一种测量磁场力的装置，如图所示．两相距很近的通电平行线圈Ⅰ和Ⅱ，线圈Ⅰ固定，线圈Ⅱ置于天平托盘上．当两线圈均无电流通过时，天平示数恰好为零．下列说法正确的是（）A．当天平示数为负时，两线圈电流方向相同B．当天平示数为正时，两线圈电流方向相同C．线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力大于线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的作用力D．线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力与托盘对线圈Ⅱ的作用力是一对相互作用力【答案】A【解析】当两线圈电流相同时，表现为相互吸引，电流方向相反时，表现为相互排斥，故当天平示数为正时，两者相互排斥，电流方向相反，当天平示数为负时，两者相互吸引，电流方向相同，A正确B错误；线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力与线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的作用力是一对相互作用力，等大反向，C错误；静止时，线圈II平衡，线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力与托盘对线圈Ⅱ的作用力是一对平衡力，D错误．洛伦兹力问题1．洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，即洛伦兹力永不做功．(2)仅电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向．2．洛伦兹力的大小(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.例题7.(多选)如图所示，方向垂直纸面向外的长方形匀强磁场区域abcd的对角线ac与ab边的夹角θ＝30°，e是ab的中点，若一带正电粒子P从a点沿ac方向以初速度v射入磁场中，经时间t恰好从e点射出磁场．下列说法正确的是 ()A．若P的初速度增大为2v，则从b点射出磁场B．若P的初速度增大为2v，则经时间2t射出磁场C．若带负电粒子Q(比荷与P的相等)从a点沿ac方向射入磁场中并从d点射出磁场，则其初速度为eq\f(2,3)vD．若带负电粒子Q(比荷与P的相等)从a点沿ac方向射入磁场中并从d点射出磁场，则经过的时间为t【答案】AC【解析】P分别以速度v、2v射入，在磁场中做圆周运动的半径分别为r1＝eq\f(mv,qB)、r2＝eq\f(m·2v,qB)，如图所示根据几何关系，α＝β＝θ＝30°，速度增加为2v之后从b点射出，A正确；由周期T＝eq\f(2πm,qB)知两种情况下周期相等，t＝eq\f(2αT,2π) ，速度增加为2v之后t2＝eq\f(2βT,2π)＝t，B错误；根据几何关系，γ＝2(90°－θ)＝120°，Q在磁场中的运动时间t3＝eq\f(γT,2π)＝2t，D错误；Q运动轨迹半径r3＝eq\f(mv3,qB)，r3＝eq\f(ad,2sin60°)，ad＝abtanθ，ab＝2r1，解得v3＝eq\f(2,3)v，C正确．夯实成果练7.如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是 ()A．电子将向右偏转B．电子打在MN上的点与O′点的距离为dC．电子打在MN上的点与O′点的距离为eq\r(3)dD．电子在磁场中运动的时间为eq\f(πd,3v0)【答案】：D【解析】：电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示，A错误；设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－eq\r(r2－d2)＝2d－eq\r(2d2－d2)＝(2－eq\r(3))d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sinθ＝eq\f(d,2d)＝0.5，得θ＝eq\f(π,6)，则电子在磁场中运动的时间为t＝eq\f(θr,v0)＝eq\f(πd,3v0)，故D正确．例题8.如图，在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为eq\f(B,2)的匀强磁场．一带负电的粒子从原点O以与x轴成60°角的方向斜向上射入磁场，且在上方运动半径为R(不计重力)，则()A．粒子经偏转一定能回到原点OB．粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为2∶1C．粒子再次回到x轴上方所需的时间为eq\f(2πm,Bq)D．粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进了3R【答案】C【解析】根据R＝eq\f(mv,Bq)可知粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为1∶2，则B错误；根据对称性，作出粒子的运动轨迹如图所示，则由图可知A选项错误；根据轨迹可知，粒子完成一次周期性运动的时间为t＝eq\f(1,3)×eq\f(2πm,Bq)＋eq\f(1,3)×eq\f(2πm,\f(B,2)q)＝eq\f(2πm,Bq)，则C选项正确；粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进的距离为x＝2R×cos30°＋4R×cos30°＝3eq\r(3)R，则D选项错误．夯实成果练8.如图所示，半径为R的圆形区域里有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，M、N是磁场边界上两点且M、N连线过圆心，在M点有一粒子源，可以在纸面内沿各个方向向磁场里发射质量为m、电荷量为q、速度大小均为v＝eq\f(qBR,2m)的带正电的粒子，不计粒子的重力，若某一个粒子在磁场中运动的时间为t＝eq\f(πR,2v)，则该粒子从M点射入磁场时，入射速度方向与MN间夹角的正弦值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,5)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(4,5)【答案】A【解析】粒子在磁场中运动轨迹半径r＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(R,2)，由于该粒子在磁场中运动的时间t＝eq\f(πR,2v)＝eq\f(πr,v)＝eq\f(1,2)T，因此该粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由几何关系可知，△MOP为正三角形，粒子从M点射入的速度方向与MN的夹角为30°，夹角正弦值为eq\f(1,2)，A正确．1.(多选)某条直线电场线上有O、A、B、C四个点，相邻两点间距离均为d，以O点为坐标原点，沿电场强度方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示。一个带电荷量为＋q的粒子从O点由静止释放，仅考虑电场力作用。则下列说法正确的是()A．若O点的电势为零，则A点的电势为eq\f(E0d,2)B．粒子从A到B做匀速直线运动C．粒子运动到B点时动能为eq\f(3E0qd,2)D．粒子在OA段的电势能变化量大于在BC段的电势能变化量【答案】CD【解析】根据电势差与电场强度的关系U＝Ed，可知E－x图象与x轴围成的面积表示电势差，取O点电势为零，则O、A间的电势差UOA＝eq\f(E0d,2)，又UOA＝φO－φA，解得φA＝－eq\f(E0d,2)，选项A错误；由图可知，A、B之间是匀强电场，因为粒子从O到A速度不断增加，所以粒子从A到B做匀加速直线运动，选项B错误；由图可知，O、B间的电势差UOB＝eq\f(E0d,2)＋E0d＝eq\f(3E0d,2)，根据动能定理得qUOB＝EkB－0，得EkB＝eq\f(3E0qd,2)，选项C正确；由图可知，OA段E－x图象与横轴围成的面积大于BC段E－x图象与横轴围成的面积，即UOA>UBC，根据W＝qU，可知OA段电场力做功更多，故OA段的电势能变化量大于BC段的电势能变化量，选项D正确。2.(多选)两个点电荷Q1和Q2固定在x轴正半轴上，其中Q2所在位置为坐标原点。将一电子放在x正半轴上，该电子的电势能Ep随位置x变化的曲线如图所示，其中x＝x0是电势能为零的点的横坐标，x＝x1是电势能为极值的点的横坐标。由图象可知()A．Q2一定带负电B．两个点电荷可能为同种电荷C．两个点电荷在x0处的合场强为零D．Q1带电荷量的绝对值必小于Q2带电荷量的绝对值【答案】AD【解析】电子在坐标原点附近的电势能为正无穷大，则电势为负无穷大，Q2一定带负电，A正确；在x＝x0处，Ep为零，电势为零，两个点电荷一定为异种电荷，B错误；Ep－x图象的切线斜率为零的位置场强为零，即x＝x1处合场强为零，C错误；由x＝x1处合场强为零，可知Q1带正电荷且应该位于x正半轴上x1左侧的某位置，则Q1与x1的距离小于Q2与x1的距离，又由库仑定律可知Q1电荷量的绝对值小于Q2电荷量的绝对值，D正确。3.如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O为半圆弧的圆心，在O点存在的垂直纸面向里运动的匀速电子束．∠MOP＝60°，在M、N处各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒定电流，方向如图所示，这时O点的电子受到的洛伦兹力大小为F1.若将M处长直导线移至P处，则O点的电子受到的洛伦兹力大小为F2.那么F2与F1之比为()A.eq\r(3)∶1 B.eq\r(3)∶2C．1∶1 D．1∶2【答案】：B【解析】：长直导线在M、N、P处时在O点产生的磁感应强度B大小相等，M、N处的导线在O点产生的磁感应强度方向都向下，合磁感应强度大小为B1＝2B，P、N处的导线在O点产生的磁感应强度夹角为60°，合磁感应强度大小为B2＝eq\r(3)B，可得，B2∶B1＝eq\r(3)∶2，又因为F洛＝qvB，所以F2∶F1＝eq\r(3)∶2，选项B正确．4.(多选)将平行板电容器两极板之间的距离、电压、电场强度大小、电容和极板所带的电荷量分别用d、U、E、C和Q表示．下列说法正确的是()A．保持U不变，将d变为原来的两倍，则E变为原来的一半B．保持E不变，将d变为原来的一半，则U变为原来的两倍C．保持C不变，将Q变为原来的两倍，则U变为原来的两倍D．保持d、C不变，将Q变为原来的一半，则E变为原来的一半【答案】：ACD【解析】：保持U不变，将d变为原来的两倍，根据E＝eq\f(U,d)可得E变为原来的一半，A正确；保持E不变，将d变为原来的一半，根据U＝Ed可得U变为原来的一半，B错误；根据公式C＝eq\f(Q,U)可知将Q变为原来的两倍，则U变为原来的两倍，C正确；根据C＝eq\f(Q,U)可得C不变，将Q变为原来的一半，U变为原来的一半，根据公式E＝eq\f(U,d)可知d不变，U变为原来的一半，E变为原来的一半，D正确．5.(多选)如图所示，在倾角为α的光滑斜面上，垂直斜面放置一根长为L、质量为m的直导体棒，当通以图示方向电流I时，欲使导体棒静止在斜面上，可加一平行于纸面的匀强磁场，当外加匀强磁场的磁感应强度B的方向由垂直斜面向上沿逆时针方向转至水平向左的过程中，下列说法中正确的是 ()A．此过程中磁感应强度B逐渐增大B．此过程中磁感应强度B先减小后增大C．此过程中磁感应强度B的最小值为eq\f(mgsinα,IL)D．此过程中磁感应强度B的最大值为eq\f(mgtanα,IL)【答案】：AC【解析】：导体棒受重力、支持力和安培力作用而处于平衡状态，当外加匀强磁场的磁感应强度B的方向由垂直斜面向上沿逆时针方向转至水平向左的过程中，安培力由沿斜面向上转至竖直向上，可知安培力逐渐增大，即此过程中磁感应强度B逐渐增大，A对，B错；刚开始