2017-2018学年云南省玉溪市一中高二下学期期末考试数学理试题解析版-

2017-2018学年云南省玉溪市一中高二下学期期末考试数学（理）试题此卷此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．已知A={x|x>1}，B={x|x2-2x-3<0}，则AA．{x|x<-1或x≥1}B．{x|1<x<3}C．{x|x>3}D．{x|x>-1}2．复数-2i1+iA．-1-iB．-1+iC．1+iD．1-i3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4A．20B．35C．45D．904．设x∈R，则“x-34<14”A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A．34AB-14ACB．16．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．28πD．32π7．(1-x)(1+x)5展开式中A．4B．5C．8D．128．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=A．B．C．D．9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是A．210B．336C．84D．34310．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC,PA=AB=2，AC=22,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球OA．12πB．16πC．20πD．24π11．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2A．22B．3-12C．312．已知函数f(x)=ex(3x-1)-ax+a（a<1），若有且仅有两个整数xi(i=1，A．[-2e，1）B．[73e2，1）C二、填空题13．在区间[-3，5]上随机取一个实数x，则事件“1≤(114．已知x，y∈R+，且4x+y=1，则15．若实数x，y满足条件x≥1x-2y+3≥0y≥x，则16．函数f(x)=sin2x+23cos2x-3，函数g(x)=mcos(2x-π6)-2m+3三、解答题17．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sin（1）求A．（2）若a=4，求ΔABC面积S的最大值．18．已知某厂生产的电子产品的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布N(1000，σ2)，且（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在1200，（2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在800，1200的件数为Y，求Y的分布列和数学期望19．如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，DE=3CF，BE与平面ABCD所成的角为450（1）求证：平面ACE⊥平面BDE；（2）求二面角F-BE-D的余弦值．20．已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P,Q两点（点P,Q均在第一象限），且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.21．已知函数f(x)=x-alnx，（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，（2）设g(x)=-a+1x，若不等式f(x)>g(x)对任意x∈1，22．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为(2，0)，半径为2，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：x=-ty=1+t（（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为(1，π2)，直线l与圆C相交于A，23．已知f(x)=x-（1）证明：f(x)≥2；（2）若f(-32)<32017-2018学年云南省玉溪市一中高二下学期期末考试数学（理）试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到B={x|x2-2x-3<0}=x|-1<x<3【详解】B={x|x2-2x-3<0}=x|-1<x<3,A={x|则A∪B={x|x>-1}.故答案为:D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．2．A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】复数-2i1+i=故答案为：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3．C【解析】【分析】利用等差数列的前n项和的性质得到S9=92【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a6=10，∴S9=9故选：C．【点睛】这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知Sn和an的关系，求an表达式，一般是写出S4．B【解析】【分析】根据绝对值不等式和三次不等式的解法得到解集，根据小范围可推大范围，大范围不能推小范围得到结果.【详解】解x-34<14得到12<x<1，解x3<1，得到x<1，由12<x<1则一定有x<1；反之x<1,则不一定有故答案为：B.【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．A【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【详解】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EBAB故选：A．【点睛】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.6．C【解析】【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是23，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【详解】由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是23，∴在轴截面中圆锥的母线长是12+4∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．【点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7．B【解析】【分析】把（1+x）5按照二项式定理展开，可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x2项的系数．【详解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出现的有1*10x2和﹣x*5x，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x2项的系数是10﹣5=5，故选：B．【点睛】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。8．C【解析】试题分析：由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.【考点】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.9．B【解析】【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【详解】由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：B．【点睛】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务．10．A【解析】【分析】求解底图形角ABC为直角，底面外接圆的圆心是斜边AC的中点，PA⊥平面ABC，球心在过底面圆心并且和PA平行的直线上，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．【详解】由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=22，因为平面ABC，和平面PBC都是是直角三角形，则角ABC为直角，此时满足BC垂直于PA，BC垂直于AB进而得到BC垂直于PB，此时满足面PBC为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC的中点，球心在过底面圆心并且和PA平行的直线上，并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为r=2．∴R2=r2+1，即R=3．∴球O的表面积S=4πR2=12π．故选：A．【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.11．D【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．【详解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直线OP的斜率为3故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=3c又|PF1|+|PF2|=2a=c+3c∴ca故选：D．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)12．D【解析】【分析】设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数xi使得g（xi）在直线h（x）=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，求得a的取值范围．【详解】设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，则g′（x）=ex（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣23），g′（x）＜0，g（xx∈（﹣23，+∞），g′（x）＞0，g（x∴x=﹣23，取最小值-∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，直线h（x）=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a＜0，∴a＜2eg（﹣2）=﹣7e2，h（﹣2）=﹣由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得：a≥73故答案为：[73e故选：D.【点睛】本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。13．1【解析】【详解】由1≤(12)x≤4，得﹣∵1≤(12)x∵在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x，∴由几何概型概率计算公式得：事件“1≤(12)x≤4”故答案为：14【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．14．9【解析】【分析】直接将代数式4x+y与1x+1【详解】由基本不等式可得1x+1y=4x+y1故答案为：9．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15．1【解析】【分析】作出平面区域，则z=y-1x表示过（0，【详解】作出实数x，y满足条件x≥1x-2y+3≥0y≥x由平面区域可知当直线z=y-1x过解方程组x=1x-2y+3=0得A（1，2∴z的最大值为2-1故答案为：1．【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax+by型）、斜率型（y+bx+a型）和距离型（x+a(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.16．1【解析】【分析】分别求得f（x）、g（x）在[0，π4]上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m【详解】∵f（x）=sin2x+3（2cos2x﹣1）=sin2x+3cos2x=2sin（2x+π3当x∈[0，π4]，2x+π3∈[π3，5π6]，∴sin（2x+π3）∈[1，2]，∴f（x）对于g（x）=mcos（2x﹣π6）﹣2m+3（m＞0），2x﹣π6∈[﹣π6，π3]，mcos（2x﹣π6）∈∴g（x）∈[﹣32m+3，3﹣由于对所有的x2∈[0，π4]总存在x1∈[0，π4]，使得f（x1）=g（x可得[﹣3m2+3，3﹣m]⊆[1，2]故有3﹣m≤2，﹣3m2+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，43故答案为：1，【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x2∈[0，π4]总存在x1∈[0，π4]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含义，转化为f（x）的值域是g（17．（1）A=π3；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到b2+c2-a2=bc，再由余弦定理得到cosA=b2+c2-a【详解】（1）根据正弦定理可知：(a+b)(a-b)=c(c-b)，整理得b2由余弦定理的推论得cosA=∵0<A<π，∴A=π（2）根据余弦定理可知：a2∵b2+c∴16≥2bc-bc=bc，即bc≤16.∴ΔABC面积S=12bc故ΔABC面积S的最大值为43【点睛】1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“a+b,ab,a2+b2”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题18．（1）0.08；（2）分布列见解析，期望为125【解析】【分析】（1）X～正态分布N（1000，σ2），且P（X＜800）=0.1，P（X≥1300）=0.02．可得P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）=P（X≥1200）=P（X＜800）．即可得出P（1200≤X＜1300）;（2）P（800≤X＜1200）=1﹣2P（X＜800）=45．可得Y～B(3,45)．P（Y=k）=C3k45k15【详解】（1）∵X～正态分布N(1000，σ2)，∴P(1200≤X<1300)+P(X≥1300)=P(X≥1200)=P(X≤800)=0.1．∴P(1200≤X<1300)=0.1-0.02=0.08即从该厂随机抽取一件产品，其使用寿命在1200，1300的概率为（2）∵P(800<X<1200)=1-2P(X≤800)=1-2×0.1=0.8=4∴Y～B(3，故P（Y=k）P（Y=0）P（Y=2）则Y分布列为：Y0123P(Y)1124864E(Y)=3×4【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.19．（1）证明见解析；（2）1919【解析】【分析】（1）DE⊥平面ABCD，可得到DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到AC⊥BD，进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面BEF和面BDE的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．∴DE⊥AC．又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDE．（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，∵BE与平面ABCD所成的角为45°，即∠EBD=45°，∴DE=BD=2AD=32，CF=DE=2．∴A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，32），F（0，3，2∴=（﹣3，0，2），=（0，3，-22），设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，即-3x+2z=03y-22z=0，令则=（2，4，32）．又AC⊥平面BDE，∴=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．∴cos＜＞==638⋅32=19∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为1919【点睛】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.20．(1)x24+【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于a,b,c的方程组，解得a,b,c后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+mm≠0，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线OP,OQ的斜率，再根据题意可得k2=试题解析：（1）由题意可得ca=3故椭圆C的方程为x2（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+mm≠0由y=kx+mx24+y∵直线l与椭圆交于两点，∴Δ=64k设点P,Q的坐标分别为x1则x1∴y1∵直线OP,l,OQ的斜率成等比数列，∴k2整理得kmx∴-8k又m≠0，所以k2结合图象可知k=-12，故直线点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．（1）x+y-2=0；（2）(-2，【解析】【分析】(1)把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2)设h(x)=f(x)-g(x)=x+1+ax-alnx,即h(x)>0恒成立，对函数求导，分a≥e-1，【详解】（1）当a=2时，f(x)=x-2lnx，f(1)=1，切点为∴f∴k=f∴曲线y=f(x)在点处的切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.（2）设h(x)=f(x)-g(x)=x+1+ah'(x)=1-1+ax不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1