2021届内蒙古呼伦贝尔市高三二模数学理试题解析版

2021届内蒙古呼伦贝尔市高三二模数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先通过解不等式求出集合，进而求得.【详解】，则．故选：C.2．已知复数，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复数的运算法则进行计算即可求得结果.【详解】由题意可得.故选：A.3．设等差数列的前项和为，且，则（）A．35 B．65 C．95 D．130【答案】B【分析】由等差数列的性质可得，然后可算出答案.【详解】由等差数列的性质可知，则，故．故选：B4．函数图象的对称中心是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】令可得结果.【详解】令，解得，则图象的对称中心为．故选：D.5．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（）A．24 B．48 C．72 D．96【答案】A【分析】根据分成抽样的定义进行计算即可.【详解】由题意可知小学生应抽取的人数是人，中学生应抽取的人数是人，则小学生应抽取的人数与中学生的人数的差是人.故选：A.6．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用圆柱底面圆半径r表示出其高h，由侧面积列式求出r，进而求得体积.【详解】设该圆柱的底面圆半径为，则其高(母线)为，而圆柱的轴截面是正方形，则，圆柱侧面积为，从而，，故该圆柱的体积是．故选：A7．在等比数列中，，是方程的两个根，则（）A．3 B．3或 C． D．【答案】D【分析】由条件可得，然后利用等比数列的性质可得答案.【详解】因为，是方程的两个根，所以因为，所以．故选：D8．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若型火箭的喷流相对速度为，当总质比为500时，型火箭的最大速度约为（，）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意把数据代入已知函数可得答案.【详解】．故选：C.9．已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，点为坐标原点，则（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】首先根据椭圆的定义设，则，根据余弦定理可解得，进而可得点与椭圆的上顶点重合，所以可得结果.【详解】设，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，即，即，解得，所以，即点与椭圆的上顶点重合，所以.故选：A.10．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，问题转化为：求在上单调递减，且恒成立时的范围.【详解】令，因为是增函数，所以，要使在上单调递减，只需在上单调递减，且恒成立.故，解得．故选：D.11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作与其中一条渐近线平行的直线与交于点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义，利用边角关系列方程求解，即可求出结论．【详解】如图，设，，由题意可得，解得，则．故选：A12．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先构造函数，则题目转化为有4个不同的实数根，又根据是偶函数可将题目转化为在上有2个零点，写出的表达式，对化简整理可得，设，对其进行求导判断大致图象，根据性质可得结果.【详解】构造函数，由题可知的定义域为，且，即是偶函数，故关于的方程有4个不同的实数根等价于在上有2个零点.当时，，则等价于，令，则，令，则且不恒等于0，故在区间上单调递增，又，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得极小值且，当时，；当时，，故当时，关于的方程在区间上有两个不同的实数根，即关于的方程有4个不同的实数根.故选：B.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.二、填空题13．已知向量，，若，则___________.【答案】【分析】由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，由此可求得实数的值.【详解】由已知条件可得，，因为，则，解得.故答案为：.14．设，满足约束条件则的最大值是______．【答案】8【分析】首先根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，将最优解代入目标函数即可得出答案.【详解】由约束条件作出可行域如图所示，联立，解得，由得，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时有最大值.故答案为：8.15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这个景点中任选个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为元/位，“象山景区”的门票为元/位，其他个景点的门票均为元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为__________元．【答案】【分析】根据门票组合，以及期望公式求解.【详解】由题可知，甲同学所需支付的门票费的期望值为元．故答案为：16．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球的截面，截面面积最小为______．【答案】【分析】首先根据三视图可在长方体中画出该三棱锥的直观图，进而利用长方体求出该三棱锥的外接球的半径；设最短的棱的中点为，当该截面时，截面的面积最小，由此可计算出截面圆半径的最小值，可得截面面积的最小值.【详解】由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的各顶点都在球的表面上，即球为三棱锥的外接球，∴球也是长方体的外接球.设球的半径为，则，解得，由三棱锥的直观图可得三棱锥的最短棱为，设的中点为，∵是的中点，∴，当截面面积最小时，截面，设截面圆半径为，则，解得，此时，截面面积为.故答案为：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题17．某公司为了解服务质量，随机调查了位男性顾客和位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这位顾客所打分数均在之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数男性顾客人数女性顾客人数（1）求这位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若顾客所打分数不低于分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意根据所给数据，完成下列列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附：【答案】（1）；（2）填表见解析；有．【分析】(1)由频数分布表，先求出各组的频率，再求它们与对应组的区间中点值的积的和即为所求；(2)按条件填写列联表，再计算K2观测值并与给定相关值比对回答而得.【详解】(1)由题可知，落在区间，，，，的频率分别为：，这位顾客所打分数的平均值为：，故这位顾客所打分数的平均值为．(2)根据所给数据，可得列联表：满意不满意男性顾客女性顾客根据列联表得．因为，所以有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求边上的中线的长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先利用余弦定理将角转化为边，之后化简再利用余弦定理可得的值，再根据角的范围可得角的值；（2）利用余弦定理列方程可得，在中，再利用余弦定理可得中线的长.【详解】（1）因为，所以，即，由余弦定理可得，因为，所以.（2）由（1）可知，由余弦定理可得，则，解得或（舍去）．在中，，，，则，故.19．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．点，分别在棱，上（不包含端点），且．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）过点作，，连接，则，再结合已知条件可得，而，，所以，，所以四边形是平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以为原点，过作垂直的直线为轴，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】（1）证明：过点作，，连接．因为，所以．因为，所以，所以．因为四边形是菱形，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，则．因为平面，平面，所以平面．（2）解：以为原点，过作垂直的直线为轴，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，从而，，．设平面的法向量为，则，令，得．设平面的法向量为，则，令，得．设二面角为，由图可知为钝角，故．【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查二面角的求法，解题的关键是正确的建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查计算能力，属于中档题20．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点到的距离比点到轴的距离大1．过点作抛物线的切线，设其斜率为.（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线相交于不同的两点，（异于点），若直线与直线的斜率互为相反数，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）设点，由抛物线的定义列出关于的等式，求出的值，即可得到抛物线的方程；（2）设，，直线的斜率为，直线的斜率为，利用两点间斜率公式表示出两个斜率，由两个斜率的关系以及点，均在抛物线上，化简展开，可得直线的斜率，再利用导数的几何意义求出，即可证明.【详解】（1）解：设点，由点到的距离比点到轴的距离大1，可得，即，所以，即抛物线的方程为.（2）证明：设，，直线的斜率为，直线的斜率为，则，.因为直线与直线的斜率互为相反数，所以，即，又点，均在抛物线上，可得，化简可得，因为，，所以，即，故，因为，所以，所以，则，故.【点睛】本题要证明的是，关键是首先要找到与的表达式，利用直线与直线的斜率互为相反数及点在抛物线上可得，再利用两点间的斜率公式可得；利用导数的几何意义可得的表达式，进而可得证，本题属于较难的题目，考查运算能力、逻辑思维能力.21．设函数．（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）函数在R上是增函数，只需在R上恒成立，建立不等式组，求出实数a的取值范围；（2）由题意构造函数，利用导数研究单调性，求得，即可证明.【详解】解：（1）由题意，在R上恒成立，即不等式在R上恒成立从而有或解得：即（2）当时，令，则当时，单调递减：当时，单调递增；当时，单调递减即当时，又当时，综上可知，当时，.【点睛】（1）函数的单调性与导数的关系：已知函数在某个区间内可导，①如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；②函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；（2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，求点到直线的距离的最大值．【答案】（1）直线的直角坐标方程为（或）；曲线的普通方程为；（2）．【分析】（1）由，消去参数，得到曲线的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可化简得到直线的直角坐标方程；（2）设，得出点到直线的距离，利用三角函数的性质，即可求解到直线的距离的最大值.【详解】（1）由（为参数），得，即曲线的普通方程为．由，得，即直线的直角坐标方程为（或）．（2）由题意可设，则点到直线的距离．因为，所以，所以，即．故点到直线的距离的最大值为．【点睛】关键点点睛：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的