高考数学总复习课后限时练习16 导数的综合应用

高考数学总复习课后限时练习16导数的综合应用

1.已知函数,/(工)=丁+加+卧;+。在工=■:与x=l处都取得极值.

(1)求。，b的值及函数«工)的单调区间；

(2)若对于Vx£[-1,2],不等式/(x)vc2恒成立，求c的取值范围.

i

解析：(1)j(x)=x+a^+bx+cf

•t•f(x)=3x1+2ax+B.

又/(x)在x=与x=1处都取得极值，

•••/'(-9=£一%什方=0,/(1)=3+2。+匕=0，

两式琰立解得。=b=-2,

，贝幻才-吴~2x+c,

八幻=3/-x-2=(3x+2)(x-1),

令八1)=0，得加=-：，及=1，

当％变化时，八的，兀t)的变化情况如下表：

X21(1,4-00)

(-,-|)3(IJ)

f(x)+0-0+

yw极大值极小值7

工函数«X)的递增区间为(・8,・：)与(1，+8)；递减区间为(・：，1).

(2)/(X)=A^~2x+Ct-1,2],

当尸]时，O=^+c为极大值，而足)=2+小

则<2)=2+c为最大值，要使用:)Vc2(x£|7,2|)怛成立，只需/>(2)=2+c,解得eV-1或c>2.

工。的取值范围为(-8,-1)U(2,4-00).

2.设函数段)=e2r-aln*

(1)讨论/)的导函数八x)的零点的个数；

(2)证明：当。>0时，J(x)>2a+a\n

答案：(1)解火幻二楙-Hnx的定义域为(0,+co),

.\/(A：)=2e2t-p

当时，八1)>0恒成立，

故八外没有零点.

当“>0时，,产e?'>在区间(0,+8)内单调递增，在区间(0,+8)内单调递增，

・・・/(力在区间(0,+8)内单调递增.

■:当x—>0时,y=elv—►1,y-—・8，,W)T

又；A〃)>o，，当。>0时，导函数/V)存在唯一的零点.

(2)证明由(1)知，可设导函数/U)在区间(0,+8)内的唯一零点为即，

当xe(0,项)时，/(x)<0；

当工£(即，+8)时，/(x)>0,

・・・4r)在区间(0,向)内单调递减，在区间(a，+8)内单调递增，

:.当X=XO时，兀0取得最小值，最小值为/xo).

・.・2e2xo-W=O,

出

•**Avc)=-^-+2aro+«ln->2a+a\n当且仅当工()二工时等号成立，此时a=e.

2XQdCL2

故当a>OBt,J(x)>2a+a\n*

3.已知函数危)=alnx(a>0)，e为自然对数的底数.

(1)若过点A(2,12))的切线斜率为2,求实数。的值；

(2)当xA0时，求证：-1)；

(3)若在区间(1,e)内，8>1恒成立，求实数。的取值范围.

答案：⑴解・•・八2)4=2,・・・a=4.

(2)证明令g(x)=a(\nxT+》

则g«)二°G-爰).

令g'a)>。，得”>i；

g'(x)<0,得0Vx<1；

所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,+8)内单调递增.

所以g(x)的最小值为g(l)=0,

所以-x)2a(l-[).

(3)解要使也>1在区间(1,e)内恒成立，即使如7>0在区间(1,e)内恒成立，即胆里二>0在区间(1,

x-1x-1x-1

e)内恒成立.

令h(x)=a\nx+1-x,则h'(x)=^-1.

令人3>0,解得x〈A.

当a>e时，〃(X)在区间(1,e)内单调递增，

所以mx)>%(1)=0.

当l<aWe时，/心)在区间(1,。)内单调递噌，在区间(。，e)内单调递减，

所以只需〃(。心0,即所以

当0<把1时，力⑶在区间(1，e)内单调递减，则需力(e)K),而Me)=a+1-e<0,不符合题意.

综上，实数。的取值范围为[e-1,+00).

4.已知函数/)=〃+f-Hna(a>0,t#l).

(1)当。>1时，求证：函数段)在区间(0,+8)内单调递增：

⑵若函数产依)7|-1有三个零点，求f的值.

答案：⑴证明/(x)=avlna+2x-Ina=2x+(ar-l)lna,

由于>1,当x£(0,+oo)时，Ina>0,-1>0,

所以f(x)>0,故函数_/(%)在区间(0,+8)内单调递增.

(2)解当u>0,即时,

f(x)=2x+(ax-l)Intz,

，［/W=2+d(lna)?>o,

.\ra)在R上单调递增，

V/(0)=0,故戊0=0有唯一解户0,

・・・x,f(x),«r)的变化情况如下表所示：

X(-00,0)0(0,+oo)

-04-

递减极小值递增

又函数y=|/(x)-1有三个零点，

・•・方程大x)二/±1有三个根，

而什1>［-1,所以1-1Mx)minM0)=l，解得Z=2.

5.已知函数危)=加+取-c-ln«r>0)在x=l处取极值，其中a,b为常数.

(1)若。>0,求函数凡K)的单调区间；

(2)若函数“T)在x=l处取极值-1-C,且不等式凡ra-2,恒成立，求实数C的取值范围；

(3)若。>0,且函数段)有两个不相等的零点汨，如证明：汨+刈>2.

答案：⑴解因为J(x)=axi+bx-c-InM3>0)，

所以F(x)=2or+b-i(x>0).

因为函数40在x=l处取极值，所以"1)=2。+6-1=0,所以b=l-2a,

所以f(x)=2or+l-2a~~=(x-1)Q+2a)(x>0).

当a>0时，：+2a>0,则当x£(0,1)时，八幻<0；

当工£(1,+oo)时，/(x)>0.

所以函数人%)的单调递增区间为(1,+oo),单调递减区间为(0,1］,

(2)解由(1)知凡1)=加+(1-2a)x-c-Inx

因为函数/(x)在x=l处取极值-1-c,所以贝1)=-a+1-c--1-c,可得4=2.

因为>0,由(1)可知函数人的在区间(1,+8)内单调递增，在区间(0,1］内单调递减，所以於)minXD=-

1-C.

因为不等式/)2-2c2恒成立，

所以有-1-6-2d,解得企1或日-%所以实数c的取值范围是c>\或谈

⑶证明由⑴知危)=加+(1-2a)x-cTnx,函数於)在区间(0,1］上单调递减，在区间(1,+8)内单调递

增.

因为函数/(X)有两个不相等的零点即，X2，所以人为)可(X2)=O.

若设曾<X2，则即£(0，1),%2e(1»+8),

构造函数9⑴守⑴-人2-x),A-e(o,I),

则(p(x)=2x-2+ln(2-x)-Inx,,(x)=2~=?〈0’

所以尸Mx)在区间(0,1)内单调递减，所以，当x£(0,1)时，⑴=0.

所以其DM2-X).

因为曾£(0,1),所以於|)次2』).

又因为“书)=/52)=0，

所以e2)42F),

而2-X],X2€(1»+8),

画数其T)在区间(1,+8)内单调递增，所以也>2-X[,即X]+X2>2,得证.

6.设函数段)=/+以-«lnx.

(I)若x=2是函数儿:)的极值点，1和xo是函数/(x)的两个不同零点，且出£(〃，〃+1),〃WN,求〃.

⑵若对任意b£[-2,-1],都存在x£(l,e),使得/(x)<0成立，求实数。的取值范围.

解析：⑴+bx-alnxf

：.f(x)=2x+b_*x>0).

Vx=2是函数/(x)的极值点，・\f(2)=4+6-^=0.

•二是函数«r)的零点，/.y(l)=l+/?=0.

4+b--=0»

由2解得a=6,b=-L

1十人=0,

=/~x-61nx,f(x)=2x-1

令人处<0,得0vxv2,

令人x)>。，得x>2,

・\/U)在区间(0,2)内单调递减，在区间(2,+oo)内单调递增.

故函数«r)至多有两个零点，其中1£(0,2),M)W(2,+oo).

•・7(2)</U)<0,,43)=6(1-ln3)<0,/(4)=6(2-In4)=12(1-In2)>0,

4),故〃=3.

(2)令8(。)二灿+f-alnx,b^[-2»-1],则g(b)为关于力的一次函数，且为增函数，

根据题意，对任意b£[-2,-1],都存在x£(l,e),使得贝x)<0成立，

则g(b)max招(-Dr2-x-alnxvO在x£(l,e)有解，

令h(x)=jr-x-6»lnx,只需存在的£(1,e)使得人(沏)〈0即可，

工，，/、-.a2x2-x-a

由于"(x)-2v-1----------------,

令口(的二房一x-a,x£(l,e),则夕'(x)=4x-1>0,

故8(工)在区间(1,e)内单调递增，°(x)>0(l)=1-A.

①当1-a>0,即好1时，3(x)>0,即〃。)>0,〃(幻在区间(1,e)内单调递增，

：.h(x)>h(1)=O,不符合题意.

②当1-a<0,即a>l时，夕(1)=1-a<0,^(e)=2e2-e-a,

若«>2e2-e>l,则3(e)<0,

:.在区间(1,e)内p(x)<0恒成立，即〃'(x)<0恒成立，

工力在)在区间(1,e)内单调递减，

；・存在&£(1,e),使得/z(xo)v/i(l)=O,符合题意.

若2e?-e>a>l,则0(e)>O,

，在区间(1,e)内一定存在实数m,使得9(m)=0，

:.在区间(1,⑼内8(%)<0恒成立，即力(*)<0恒成立,人㈤在区间(1,m)内单调递减，

工存在x()W(l，m),使得人(%0)</7(。=0,符合题意.

综上所述，当。>1时，对任意b£[-2,-1],都存在x£(l,e),使得|x)<0成立.

7.已知函数危)=e，-ax2.

(1)若4=1,证明：当后0时，兀T巨1；

(2)若人外在区间(0,+8)内只有一个零点，求A.

答案：⑴证明当。=1时，等价于(f+De*・1W0.

设函数g(x)=Qct+\)t'x-1>

则g'a)=-(1-2v+l)er=-(X-l)2ex.

当今1时，gQ)<0,所以g(x)在区间(0,+oo)单调递减.而g(0)=0,故当后0时，g(x)WO,即於巨1.

(2)解设函数，G)=1-ar%-*.

1工)在区间(0,+00)只有一个零点当且仅当力(x)在区间(0,+8)只有一个零点.

⑴当好0时,A(x)>0,〃(x)没有零点；

(ii)当。>0时，h\x)=ax(x-2)e\

当工£(0,2)时，/2r(x)<0；

当x£(2,+oo)时，h\x)>0.

所以〃(x)在区间(0,2)单调递减，在区间(2,+8)单调递增.

故4(2)=1-号是力(x)在区间[0,+8)的最小值.

①若林2)>0,即々<针，人。)在区间(0,+8)没有零点；

4

②若依2)=0,即〃(为在区间(0,+8)只有一个零点；

4

③若b(2)<0,即由于力(0)=1,所以力(x)在区间(0,2)有一个零点.

4

由(1)知，当x>0时，e'X2,

所以卜(曲)=1.喏=1-温>1-霹勺4>0・

故人。)在(2,4a)有一个零点.

因此依幻在区间(0,+8)有两个零点.

综上，«X)在区间(0,+8)只有一个零点时，

8.已知函数兀i)=xlnx,g(x)=(-f-3)e*(〃为实数).

⑴当。=5时，求函数.尸g(x)在彳=1处的切线方程；

(2)求/(x)在区间丘，什2](，>0)上的最小值；

(3)若方程g(x)=2ey㈤存在两个不等实根如旦M，旌fe],求实数。的取值范围.

解析：(1)因为当。=5时,g(x)=(+5x-3)e'所以g(l)=e,g'(x)=(-A2+31+2)8.

所以切线的斜率为g(l)=4e.

所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.

(2)f(A)=lnx+1,

令人处=0,得

当x变化时，/(x),«x)的变化情况如下表：

X1