【校本教材】高一数学课程-初中高中衔接教材

高一数学课程

一初高中衔接部分

/全面知识衔接

/延展方法思路

/强化解题技巧

/独立教研资料

□，目录

第1章、数与式的运算............................................4

1.1乘法公式..................................................4

1.2根式.......................................................7

1.3分式.......................................................9

1.4数与式——同步练习........................................11

第2章、因式分解................................................14

2.1十字相乘法...............................................14

2.2分组分解法...............................................17

2.3分解因式——同步练习.....................................20

第3章、一元二次方程根与系数的关系.............................22

3.1一元二次方程的根的判断式.................................22

3.2一元二次方程的根解法.....................................24

3.3一元二次方程的根与系数的关系.............................25

第4章、不等式..................................................28

4.1一元二次不等式及其解法...................................28

4.2简单分式不等式的解法.....................................32

4.3含有字母系数的一元二次不等式.............................33

第2页

4.4不等式——同步练习............................................35

第5章、分式方程和无理方程的解法..................................38

5.1可化为一元二次方程的分式方程................................38

5.2可化为一元二次方程的无理方程................................41

5.3分式方程与无理方程——同步练习.............................44

第1章、数与式的运算

知识梳理

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，

我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、

根式.它们具有实数的属性，可以进行运算.在多项式的乘法运算中，我们学

习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式

的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节

中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公

式.在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学

学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本

节中要补充.基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容.

1.1乘法公式

【公式1】(Q+Z?+C)<—ci~4-b~+c~+2QZ?+2Z7c+2c。

2

证明:・・・(Q+Z?+C)2=[(Q+A)+C]2=(Q+»2+2(a+b)c4-c

=a2+2ab+b2^2ac+2bc+c2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

.••等式成立

供•例1:计算：（——"c+y

解：原式=[/+（—&+与

第4页

=(x2)2+(-V2x)2+(1)2+2X2(-V2)X+2X2X1+2XIX(-V2X)

432

-X-2A/2X+-x2叵x।1

339

［规律方法］对于多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幕或升幕排

列.

【公式2]{a+b)(ci2—ab+h2)=o'+"(立方和公式)

证明：(a+b)d-Qb+b?)=。3一。2。+。廿+。2力一+。3=。3

说明：请同学用文字语言表述公式2.

法例2：>计算：(a—b)(a2+ah+h2)

解：原式二[a+(~b)][a2-a(—b)+(-b)2]=a3+(-b)3=a3-b3

我们得到:

【公式3】(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法

公式.

典例3：计算:

2，z11xz12112\

(1)(4+m)(16-4m+m)\L)(—m--n)(——机“+—mn+—/?)

5225104

(3)(。+2)(。一2)(«4+4«2+16)⑷(x2+2xy+^2)(x2-xy+y2)2

解：(1)原式=4^+加3=64+m3

第5页

(2)A1—(―w)3-(―n)3=—^―my——771

521258

(3)原式=(/-4)(/+4/+42)=(昌3_43=人64

(4)原式=(x+y)“x2-xy+y2)2=[(x+y)(x2-xy+y2)]2

636

=(d+y3)2=x+2x/+y

［规律方法］(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结

构是否满足乘法公式的结构.

(2)为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的

平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的.

已知了求/+二的值.

典例42—3%+1=0,

X

解：vx2-3x4-1=0.・.xw()，I+―=3

x

原式=(x+b(尤2-l+4-)=(x+-)[(x+-)2-3]=3(32-3)=18

XXXX

［规律方法］本题若先从方程尤2—3x=l=0中解出X的值后，再代入代数式求值,

则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算,

简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策

略，根据题求利用题知，是明智之举.

典例已佚口a+b+c=0,求a(-+-)+b(-+，)++-)的值.

bccaab

解：a+b+c=0,:.a+b=—c,Z?+c=-a,c+a=-b

原式a+ca+b

=q."£+/,.+c・

beacab

第6页

Q(Q)+b[—b)+c(—c)ci~+b~+c~

beacababc

•/a3+b3—(a+b)[(a+Z?)2—3ab\——c(c2—3ab)=—c3+3abc

.•./+/+/=3aA②，把•②代入①得原式=一包如=一3

abc

[规律方法]:注意字母的整体代换技巧的应用.

、互动探究,同学可以探求并证明:

222

+。3_3czZ?c=(a+h+c)(a+h+c—ab—bc—cd)

1.2根式

式子63之o）叫做二次根式，其性质如下:

(1)(V^z)2=a(a>0)(2)=|a|

(4)/=%a>0力NO)

(3)y/ab=\[ci•4b{a>0,b>0)

典例化简下列各式:

(1)J(凤2)2+J(g一1)2(2)J(l-X)2+J(2—X)2(X>1)

解：(1)原式二|G—2|+|G-1|=2-有+有一1=1

(x-1)+(x-2)=2x-3(x>2)

⑵原式二|x-l|+|x-2|=

(x-l)-(x-2)=l(l<x<2)

［规律方法］请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围

第7页

未知时，要对字母的取值分类讨论.

.典例,计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：

⑴品⑵

解：⑴原式二谷普岭西=6-3月

22-3

yja2b+ab2

(2)原式

Vahah

（3）原式二2x2+，2x2?x=y/2x-x\[x+2\/2x=372%-x\fx

［规律方法］（1）二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数,

因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

⑵二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数

或整式.化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出

来；②分母中有根式（如品）或被开方数有分母（如J）.这时可将其化为空形

式（如』可化为强,转化为“分母中有根式，，的情况.化简时，要把分母中

的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.（如合化为

呼一扬厂,其中2+6与2-G叫做互为有理化因式）.

（2+V3）（2-V3）

第8页

计算:

(1){4ci++1)(1-Va+4b)-(Ja+V^)2(2)---~r=+——~r=

a—y/aba+yjab

解：(D原式=(1+砺/一(6)2—(口+2而+3=一2々一2而+2加+1

(2)fr+rfr=-^-=+-=J-=

yja^a-\jb)\ja(\/a+\/h)\/a-\/h\ja+\jb

_(«+4b)+(4a-\fb)__2G

{\[a+\[b)(4a-yjb)a-b

［规律方法］有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项

式的乘法公式、分式二次根式的运算.

.典例,设k葬，求一的值•

解：x-2+噂=（2:小，,=7+46,y=7-473=x+y=14,xy=1

2-V322-3

2

原式=（x+y）（f-孙+/）=（x+y）［（x+y）2-3xy］=14（14-3）=2702

［规律方法］有关代数式的求值问题：（1）先化简后求值；（2）当直接代入

运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代

入可简化计算量.

1.3分式

当分式a的分子、分母中至少有一个是分式时，4就叫做繁分式，繁分式的

BB

化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.

第9页

化简X

解法一：原式:一一X_X_X_x{x+1)_X+1

1-X(1-X)•XxX「2+x-x%2X

♦一1(X+l)(x-1)X+1X+1

X

解法一:原式二————XX_x{x4-1)_x+l

,(l-x)-xx(l-x)xX+x—X%

x-\--------

1x+1

(X-_)•X

X

［规律方法］解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式

逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质4=42进行化简.一般根据

BBxm

题目特点综合使用两种方法.

X24-3x+96x

.典例,x—1

化简---?--------1-------T

厂—279x—厂6+2x

f+3x+9

解:原式二6xx-116x-1

(x—3)(f+3x+9)x(9-x2)2(3+x)x-3(x+3)(x-3)2(x—3)

_2。+3)-12-。-1)*-3)_---3)2_3-x

2(x+3)(x-3)-2(x+3)(x-3)-2(x+3)

［规律方法］(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多

项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或

整式.

第10页

1.4数与式——同步练习

一(如需疝麻二隹初向荚：)--------------------------空第二学H技邂.

基础达标

1.二次根式值=-a成立的条件是()

A.tz>0B.a<0C.a<0D.a是任意实数

2.若x<3,则，9-6x+X2-|x-6|的值是()

A.13B.3C.—9D.9

3.计算：

(1)(x-3y-4z)2(2)(2a4-1-Z?)2-(a-b)(a+2b)

(3)(a+b)(a2-a。+〃)一(a+b)2(4)(a-4/7)(—a2+4b2+ah)

4

4.化简(下列Q的取值范围均使根式有意义)

a-]p

(1)J-酎(2)

Va

(3)尸厂(4)11______2_

ayJh—byiaG+3V3-1

5.化简：

(1)—V9m+10m.-2m2.1^-(2)J2x-2y

3Y25V尤\2x2y

第11页

能力提升

1.^--1=2,则3%+盯-3y的值为()：

尤yx-xy-y

335

A.-B.--C.--

553

2.计算:

(1)(V^4->Jb—y[c}{y[ci—\[b—\[c)(2)1+(^^—

[[22

3-设”号T，=高，求代数式皆年的值•

4.当3a2+昉—2〃=03。0/。0),求的值.

baah

5.设无、y为实数，且盯=3,求xp+yl^-的值.

6.^^a=—x+20,i>=—x+19,c=—x+21,求代数式/+/+c?—a/?-Z?c-ac的

202020

值.

7.设x=——-,求X,+d+2x-1的值.

2

8.展开(x-2)4

9.计算(X-1)(X—2)(X—3)(X-4)

10.计算(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)

11.化简或计算:

第12页

⑵24■V2—J(2—石＞+1

&+2

x\fx+Xy[yx+yfxy+y

⑶

孙-y2x4x-yy[y

a

(4)

y/ah+h

第13页

第2章、因式分解

2.1十字相乘法

1.+(p+q)x+pg型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项

的两个因数之和.

x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)

因jt匕，x2+(p+q)x+pq—{x+p)(x+q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

把下列各式因式分解:

(1)x~—7x+6(2)%2+13X+36

解：(1)6=(—l)x(-6),(—1)+(-6)=—7

x2-7x+6=[x+(-l)][x+(-6)]=(x-l)(x-6).

(2)36=4x9,4+9=13

+13X+36=(x+4)(x+9)

［规律方法］:此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数,

它们的符号与一次项系数的符号相同.

第14页

把下列各式因式分解:

(1)X2+5%-24(2)x2-2%-15

解：(1)-24=(-3)x8,(-3)+8=5

x2+5x—24=[x+(—3)](x+8)=(x—3)(x+8)

(2)—15=(—5)x3,(—5)+3=—2

x2-2x-l5=[x+(-5)](x+3)=(x—5)(x+3)

[规律方法]:此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数,

其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.

跟踪训练(1)X2+6X+5(2)P-4x-21(3)X2-11X+30(4)x2-x-12

.典例,把下列各式因式分解:

(1)%24-xy-6y~(2)(x24-x)~—8(x24-x)4-12

分析：(1)把f+%y一6y2看成％的二次三项式，这时常数项是一6y2,一次

项系数是y,把-6y2分解成3y与-2y的积，而3y+(-2y)=y,正好是一次项系数.

(2)由换元思想，只要把-+X整体看作一个字母〃，可不必写出,

只当作分解二次三项式/一8〃+12.

解：(1)x2+xy—6y2=x2+yx—62=(x+3y)(x—2y)

(2)(x~+x)~-8(f+%)+12=(%2+x—6)(%2+x—2)

第15页

=(x+3)(x—2)(x+2)(x—1)

.跟踪训练(1)X4-7X2-18(2)a6-a3-12

2.一般二次三项式62+法+c型的因式分解

2

大家知道，（«,X+q）（«2%+C2）=«]«2X+（qc，2+。2《）X+C]C、2.

反过来，就得到：4生》2+（ac+020]）%+℃=（4%+。|）（/工+。2）

我们发现，二次项系数a分解成胃电，常数项c分解成（:102，把QL,Ci'G写成

%X。，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到。臼+出。，如果它正好等于这2+版+C

a2c2

2

的一^欠项系数b,那么ax+Z?x+c就可以分解成（4x+q）（%x+C2）,其中4,9位于上

一行，49位于下一行.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫

做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次

尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.

把下列各式因式分解:

(1)12x2-5x-2(2)5x2+6xy-8_y2

3义一2

解：(1)12X2-5X-2=(3x-2)(4x+1)4X1

第16页

(2)5x2+6xy-8y2=(x+2^)(5%-4y)"J

［规律方法］:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1

时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若

原常数为负数，用减法“凑"，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑"，

先“凑“绝对值，然后调整，添加正、负号.

.通关题组.(1)12X2-5X-2(2)-4x2+5x-l(3)3x2-10x+3(4)-x2-3x+18

(1)(£+2x)2-7(d+2x)-8(2)x2+2x-15-ax-5a

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十

字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，

如五项可以三、二组合.

解：(1)原式=(炉+2%+1)(/+2%—8)=(x+l)2(x—2)(%+4).

(2)原式=(x?+2x-15)-(ax+5a)=(x-3)(x+5)—a(x+5)=(x+5)(x-3—a)

2.2分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三

项式.而对于四项以上的多项式，如ma+mb+〃a+/仍既没有公式可用，也没有公

因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的

方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

第17页

1.分组后能提取公因式

其例把2ox-10ay+5/?y-Zzx分解因式.

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降

幕排列，然后从两组分别提出公因式2a与-〃，这时另一个因式正好都是x-5y,

这样可以继续提取公因式.

解：2or-Way+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)

［规律方法］:用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解,

由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组,

同学不妨一试.

.典例,把仍d_储)_d_/)〃分解因式.

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组,

然后再分解因式.

解：ah(c2—d2)—(42—b1)cd=ahc1—ahd2—a2cd+k^cd

={ahc1—a2cd}+(b2cd—ahd2)

=ac(bc—ad)+bd(bc-ad)={he—ad)(ac+bd)

［规律方法］:由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合

理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由

此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.

2.分组后能直接运用公式

第18页

.典例,把f—y2+分+”分解因式.

分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方

差公式分解因式，其中一个因式是x+y;把第三、四项作为另一组，在提出公

因式a后，另一■个因式也是x+y.

2

解：x-V+"+砂="+y)(x_y)+a(x+y)=(x+y)(x—y+Q)

才巴2》2+4xy+2y2-8z2分解因式.

分析：先将系数2提出后，得到f+2*+y2—4z2,其中前三项作为一组，它

是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.

解：2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2)

=2Kx+y)2_(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y-2z)

［规律方法］:从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都

能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运

用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.

第19页

2.3分解因式——同步练习

一(如需疝底］隹初面笑…)--------------------------空」二学七挂技邂.

基础达标

1.把下列各式分解因式：

(1)X2-3%+2(2)%2+37x+36⑶Y+Ux_26

(4)x2-6%-27(5)nr—4-mn-5n2(6)(a-b)2+1l(a—Z?)+28

2.把下列各式分解因式：

(1)ar5-lOtix4+16ax3(2)a"+2+an+ib-6a"b2(3)(x2-2x)2-9

(4)X4-7X2-18(5)6/-7x-3(6)8x2+26xy-15y2

(7)7(a+b)2-5(a+b)-2(8)(6x2-7x)2-25

第20页

3.把下列各式分解因式:

(1)3ax-3ay+xy-y2(2)8x3+4x2-2x-l(3)5x2-15x4-2xy-6y

(4)4。2-20必+25/_36(5)4xy+l-4x2-y2

第21页

第3章、一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，

而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、

不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、

根与系数的关系进行阐述.

3.1一元二次方程的根的判断式

一^元二次方程++c=0(aW0),用配方法将其变形为:

(1)当〃-4函>0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：

-b±\Jb2-4ac

x=---------

2a

(2)当/一4双=0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：、=-2

2a

(3)当〃-4ac<0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.

由于可以用〃—4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把

〃—4ac叫做一元二次方程/+&c+c=0(aw0)的根的判别式，表示为：△=〃-4ac

.典例,不解方程，判断下列方程的实数根的个数:

第22页

(1)2x2-3x+l=0(2)4y?+9=12y(3)5(x2+3)-6x=0

解：⑴A=(-3)2-4x2xl=l>0,/.原方程有两个不相等的实数根.

(2)原方程可化为：4/-12^4-9=0

△=(-12)2-4x4x9=0,二.原方程有两个相等的实数根.

(3)原方程可化为：5x2-6x+15=0

A=(-6)2-4x5x15=-264<0,/.原方程没有实数根.

［规律方法］:在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形

式.

【跟踪训栋:说出下列各方程的根的情况

(1)X2-x+3(2)4x2-4x+l(3)x2+x-2

已知关于x的一元二次方程3f—2X+A=0,根据下列条件，分别求出k

的范围:

(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实

数根

(3)方程有实数根；(4)方程无实数根.

解：A=(—2)2-4x3x攵=4-12左

(1)4-⑵>00%<,；(2)4-⑵=0nA='；

33

(3)4-12k>0^k>--(4)4-12攵<0nZ<L

33

第23页

3.2一元二次方程的根解法

进一步地，在一元二次方程以2+加+c=o（awo）有实数根的前提下，该实数

根具体是多？这就涉及到一元二次方程的根的求法

解法一（因式分解法）若办2可分解为（px+q）（〃zr+力），

刃卜么由ax2+/zr+c=O可得（p九+q）（mx+〃）=0从而得至Ix=-—或x--—

pm

.典例,解一元二次方程f+x_2=0

解：原方程可化为（x-l）（x+2）=0故x=l或-2

练：解一元二次方程（1）X2-4X-12=0（2）2X2+X-6=0（3）-4x2+5x-l=0

解法二（配方法）一■元二次方程ar2+bx+c=0（a工0）,用配方法将其变形为：

（九+2）2=忙二把两边开方即可得到方程的根

2a4a

典例解一元二次方程f+x_2=0

解：原方程可化为（x++-2=o即（％+［）2=2

2424

故x+'=±2从而x=-L±3即x=l或-2

2222

.跟踪训练,解一元二次方程（1）炉_4%一12=0（2）2f+x—6=0（3）^x2+5x-l=0

解法三（公式法）对于一^元二次方程数2+bx+c=0（Q工0）,

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(1)当〃一4砒>0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根

-b±>Jb2-4ac

x=------------

2a

(2)当。2_4QC=0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x=-—

122a

.典例解一元二次方程%2+%_2=0

解：由△=b2-4ac=9>0所以原方程有两个不相等的实数根

所*=生"还=厘=券即e或一2

.跟踪训练,解一元二次方程(1)X2-4X-12=0(2)2x2+x—6=Q(3)

-4x2+5x-l=0

3.3一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程加+fer+c=0(a00)的两个根为：

-b+\b~—4ac-b-\b~-4ac

x=------------,x=------------

2a2a

-b4-\b2—4ac-b—Jb1—4acb

•x<+=-------------1-------------=—

2a2aa

-b+\lb2-4ac-b--4ac_(-/?)2-(J/72-4ac)2_4cic_c

2a2a(2tz)24a2a

定理：如果一^元二次方程ax?+Zzx+c=0(aw0)的两个根为Xj,x2,那么：

bc

一,X]X)——

aa

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［规律方法］:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦

达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.上述定理成立的前提是ANO.

其例若凡,々是方程/+2x-2007=0的两个根,试求下列各式的值:

(1)+%2~;(2)—I—;(3)(苍—5)(x,-5);(4)|司一9I•

演x2

分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复

杂的计算.这里，可以利用韦达定理来解答.

解：由题意，根据根与系数的关系得：%+&=-2,A1A2=-2007

2

(1)%2+w2=a+9)2一2Rw=(-2)-2(-2007)=4018

(2)，+-1=.+々=-2=2

%x25%-20072007

(3)(%—5)(马一5)=王9—5。+w)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

(4)|玉一”|=5(须一X2)2=&内+々尸一4%々=7(-2)2-4(-2007)=272008

［规律方法］:利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:

刀2+=(玉+/)〜-9—।----=-----工，(X］一凡))~=(X|+电)〜-4%,

玉X2XjX2

|%1-X2|=J(尤］+X2)2—4%管，%马之+(％+%),

Xj3+%23=(Xj+/)3-3%%2(川+9)等等.韦达定理体现了整体思想.

【跟踪训练】若玉,电是方程2d+5%-3=0的两个根，试求下列各式的值

22

(1)X］+%2(2)再尤2(3)Xj+x2;

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(3)—।—;(4)(%—5)(X2—5);(5)

%x2

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第4章、不等式

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法.高中阶

段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识.本讲先介绍一些高中新

课标中关于不等式的必备知识.

4.1一元二次不等式及其解法

1.形如G?+/zx+c>0（或V。）（其中QW0）的不等式称为关于X的一元二次不等

式.

.典例解不等式工2+%一6>0.

分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则--正正（负负）得正、

正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组.

解：原不等式可以化为：（x+3）（x-2）>0,

了+3<0或「+3>0x<—3[x>—3-

于是:或<=>x<-3Wcr>2

x—2<0x—2>0x<2x>2

所以，原不等式的解是xv-3或x>2.

［规律方法］:当把一元二次不等式化为办2+笈+°>0（或<0）的形式后，只要

左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法.

.典例,解下列不等式:

(1)(x+2)(x—3)<6(2)(x-l)(x+2)>(x-2)(2%+l)

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分析：要先将不等式化为双2+笈+c>0(或<0)的形式，通常使二次项系数为

正数.

解：⑴原不等式可化为：X2-X-12<Q,即(x+3)(x-4)<0

x+3>0x+3<0

于是：n—3cx<4

x-4<0x-4>0

所以原不等式的解是-3Vx<4.

(2)原不等式可化为：-X2+4X<0,^l7x2-4x>0=>-4)>0

x<0x>0

于是:或<=>%<0酸>4

x-4<0x-4>0

所以原不等式的解是xWO或位4.

2.一元二次不等式依2+Ax+c>0(或<0)与二次函数y=办2+/?x+c(aw0)及一

元二次方程/+法+c=0的关系(简称：三个二次).

以二次函数y=f+%_6为例：