高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：23 导数在研究函数中的应用一（学生版+解析版）

专题23导数在研究函数中的应用(1)

一、单选题

1.(2020•江西省奉新县第一中学高二月考(理))函数/(x)的定义域为(a,〃)，导函数/'(X)在(4力)内

的图象如图所示.则函数/(x)在(“力)内有几个极小值点()

2.(2020♦江西省奉新县第一中学高二月考(理))将y=/(x)和y=/'(x)的图象画在同一个直角坐标系中,

不可熊正确的是()

3.(2020.蚌埠田家炳中学高二开学考试(理))如图是函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象，下列关

于函数y=/(x)的极值和单调性的说法中，正确的个数是()

①/，x3,X4都是函数y=/，(x)的极值点；

②七，w都是函数y=/(x)的极值点；

③函数y=/(x)在区间(%,毛)上是单调的：

④函数y=/(x)在区间上“3，%)上是单调的.

A.1B.2C.3D.4

4.（2020.鸡泽县第一中学高二开学考试）如图是函数y=/（x）的导数y=/'（x）的图象，则下面判断正确

的是（）

A.在（一3,1）内“X）是增函数

B.在x=l时/（X）取得极大值

C.在（4,5）内/（x）是增函数

D.在x=2时/（X）取得极小值

5.（2020•黄冈中学第五师分校高二期中（理））己知函数〃x）=x（x—在x=2处取得极大值，则。的

值为（）

A.2B.6C.4D.-4

6.（2020•蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知函数/瓮）=/+公2+法在％=1处有极值10（则

等于（）

A.1B.2C.—2D.—1

7.（2020•江西省石城中学高二月考（文））已知函数〃x）=x+sinx,xeR,若。=/log13,

k2>

/\

b=flog,2,。=/（2-2）则的大小为（）

k3）

A.a>b>cB.h>c>aC.c>h>aD.b>a>c

8.（2020•蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））若函数/.（%）=111%+仪+工在[1,内）上是单调函数，则a

X

的取值范围是（）

A.（-oo,0]U—+oo|B.|-oo»—U[0,+oo）C.——,0D.（-<x）,l]

L4）I4JL4J

二、多选题

9.（2020•江苏省扬州中学高二期中）定义在R上的可导函数＞=/（%）的导函数的图象如图所示，以下结

论正确的是（）

B.-2和-1都是/（力的极大值点；

C./（X）的单调递增区间是（-3,”）；

D.“X）的单调递减区间是（—8,—3）.

10.（2020•山东省高二期中）已知函数/（X）的导函数/'（X）的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函

数“X）的图象的是（）

11.（2020•海南省高三其他）已知函数/（x）=x+sinx—xcos尤的定义域为［-24,2乃），则（）

A./（X）为奇函数B.外力在［0,1）上单调递增

C./（X）恰有4个极大值点D./（X）有且仅有4个极值点

12.（2020.江苏省高二期中）若函数/（x）」nx在定义域上单调递增，则称函数〃幻具有知性质.下列函数

中所有具有M性质的函数为（）.

A./（X）=-B.f（x）=x-1C./（x）=4D.，（x）=e'

ee

三、填空题

13.（2020•江苏省邢江中学高一期中）函数/（乃=1一3/+5的极小值为.

14.（2020.蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知函数y=/（x）（xcR）的图象如图所示，则不等式

矿（x）之0的解集为.

15.（2020.周口市中英文学校高二月考（理））如图是y=/（x）的导函数的图象，现有四种说法.

⑴/（X）在上是增函数，（2）x=—l是的极小值点

（3）/（x）在（一1,2）上是增函数，⑷x=2是/（x）的极小值点

以上说法正确的序号是

16.（2020•山东省高二期中）若函数/（x）=日一Inx在区间（1,+8）单调递增，则Z的取值范围是

若函数/（X）在区间（l,*o）内不单调，则％的取值范围是.

四、解答题

17.(2020•横峰中学高二开学考试(文))已知函数，(x)=xe*.

(1)求曲线y=，(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)求函数“X)的极值.

18.(2020•黄冈中学第五师分校高二期中(理))已知函数/,(x)=x2-2(a+l)x+2alnx(a>0).

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程;

(2)求/(幻的单调区间;

19.(2020•阳江市第三中学高二期中)已知函数/(》)=分2+协比在x=i处有极值;.

(1)求ab的值；

(2)求/(x)的单调区间.

2

20.(2020.山东省高二期中)已知函数/(xQavJY+bx在1=一1与％=1时都取得极值

(1)求a,。的值;

(2)求函数/(x)的单调区间，并指出了(-g)与/(1)是极大值还是极小值.

21.（2020•江苏省扬州中学高二期中）己知函数/（X）=以3+旅一3》在x=-1和x=3处取得极值.

（1）求a,b的值

（2）求f（x）在［-4,4］内的最值.

22.（2020•安徽省池州一中高二期中（文））已知函数/（x）=Y—81nx

（1）求函数“x）的极值；

（2）求函数/（x）在区间）上的最值.

专题23导数在研究函数中的应用（1）

一、单选题

1.（2020•江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数“X）的定义域为（。,。），导函数/'（X）在⑼内

的图象如图所示.则函数“X）在（a,b）内有几个极小值点（）

【解析】

因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正,

由图得：导函数值先负后正的点只有一个，

故函数/(X)在(。/)内极小值点的个数是1.

故选：A

2.(2020•江西省奉新县第一中学高二月考(理))将y=f(x)和y二=/(%)的图象画在同一个直角坐标系中,

不可熊正确的是()

A-B通

%1阿1

「率■制

【答案】D

【解析】

根据r(x)>0,则/(%)单调递增；f(x)<0,单调递温匚

容易判断AB,C正确；

对选项D：取/"(X)与》轴的两个交点的横坐标为加，〃

数形结合可知当XW(-00,〃)时，/(x)<0,

故此时函数/(X)应该在此区间单调递减，

但从图象上看/(X)不是单调递减函数，故该选项错误.

故选：D.

3.（2020.蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））如图是函数＞=/（%）的导函数y=/'（x）的图象，下列关

于函数y=/（x）的极值和单调性的说法中，正确的个数是（）

①》2，七3，4都是函数y=/（x）的极值点；

②毛，天都是函数y=/（x）的极值点；

③函数y=/（x）在区间（斗，鼻）上是单调的；

④函数y=/W在区间上（刍，*5）上是单调的.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

由图象得：/（X）在（0，鼻）递增，在（毛，三）递减，在（三，+8）递增，

故七，天都是函数了=/（幻的极值点，

故②③④正确，

故选：c.

4.（2020•鸡泽县第一中学高二开学考试）如图是函数y=/（x）的导数y=/'（x）的图象，则下面判断正确

的是（）

A.在（一3,1）内＞（x）是增函数

B.在X=1时取得极大值

C.在(4,5)内/(x)是增函数

D.在x=2时/(x)取得极小值

【答案】C

【解析】

对A,由导函数y=/'(x)的图象可知，在区间(-3,1)内函数先减后增，.•.在(—3,1)不单调，故A错误；

对B,当x=l时，/(1)^0,此时/(I)不是极大值，故B错误；

对C,在(4,5)内/'(x)>0,此时函数单调递增，故C正确.

对D,当x=2时，/(2)=0,但此时/(2)不是极小值，而是极大值，故D错误；

故选：C.

5.(2020.黄冈中学第五师分校高二期中(理))已知函数/(x)=x(x—cP在x=2处取得极大值，则c的

值为()

A.2B.6C.4D.-4

【答案】B

【解析】

由题意得：/,(X)=(X-C)2+2X(X-C),

由/'(2)=(2—c1+2x2(2—c)=0,解得：c=6或c=2.

当c=6时，/f(x)=(x-6)(3x-6),

.•.当xe(-8,2)时，/,(x)>0,单调递增：当xe(2,6)时，/'(x)<0,/(%)单调递减：

二/(x)在x=2处取得极大值，符合题意；

当c=2时，/'(x)=(x—2)(3%—2),

二当时，/'(x)<0,/(x)单调递减；当xe(2,4w)时，/'(x)>0,单调递增；

在x=2处取得极小值，不合题意;

综上所述：c=6.

故选：B.

6.（2020•蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））己知函数/a）=*3+公2+法在》=1处有极值101则

等于（）

A.1B.2C.—2D.—1

【答案】B

【解析】

•."（X）=d+加+bx,

f'=3x2+2ax+b,

,/函数/（%）=%3+"2+法在X=1处有极值为10,

[3+2a+b=0fa=-12

：.<,解得《

l+a+b=10匠21

经检验知，。=-12,》=21符合题意.

/（x）=x3-12X2+21X,

/（2）=23-12X22+21x2=2.选B.

点睛：

由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函

数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断.同样在已知函数的极值点/求参数的值时，根据

/（1）=0求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍.

C\

7.（2020•江西省石城中学高二月考（文））已知函数/（x）=x+sinx,xeR,若。=/log13

I2/

/X

b=flogj2,。=/（2一2）则必〃,。的大小为（）

\3）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

【答案】C

【解析】

/(X)=x4-sinX=>f'(x)=14-cosx>0,所以/(x)是R上的增函数.

-2

•・•log13=-log23<-log22=-1,0>log[2=-log32>-log33=-1,2>0

23

所以c=/(2-2)>6=/k)gi2>“=/log,3,故本题选c.

32

8.(2020•蚌埠田家炳中学高二开学考试(理))若函数/(x)=lnx+Gc+」在□,大»)上是单调函数，则〃

X

的取值范围是()

A.(-oo,0]U—+00IB.l-oo,—U[0,4-oo)

C.D.(-oo,l]

4

【答案】B

【解析】

由题意得，f(x)=—F。,

Xx~

因为/(了)=/四+改+,在U'+8)上是单调函数,

所以/(x)K)或了(x)W0在[I,+00)上恒成立，

①当f(x)K)时，则1+a--在[1,+oo)上恒成立,

XX

日n、11、八,、11/1、21

HP«>—-----,设g(x)=—------=(--------)-----,

xxxxx24

因为x£[1,+8),所以一£(0,1],

x

当工=1时，g(x)取到最大值是：0,

X

所以^>0,

②当广(x)00时，则,+a--在[1,+00)上恒成立,

X厂

叩<11人，、_11、21

即---，以g(X)=F-------(-----~~1

xxxxx24

因为%+00),所以上仁(0,1],

X

当L=j•时，g(x)取到最大值是：-L,

x24

所以“w——，

4

综上可得，---或生0,

4

所以数a的取值范围是(-8,--]U[0,+8),

4

故选:B.

二、多选题

9.(202。江苏省扬州中学高二期中)定义在R上的可导函数y=/(x)的导函数的图象如图所示，以下结

论正确的是()

匕y=f'W

A.-3是〃X)的一个极小值点；

B.-2和-1都是“X)的极大值点；

C./(x)的单调递增区间是(—3,一)；

D./(x)的单调递减区间是(7»,—3).

【答案】ACD

【解析】

当力<—3时,f\x)<0,xe(-3,+oo)Bj-f'(x)>0,

，一3是极小值点，无极大值点，增区间是(一3,物)，减区间是(—8,—3).

故选：ACD.

10.(2020•山东省高二期中)已知函数/(X)的导函数/'(X)的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函

数/(x)的图象的是()

【解析】

由导函数图像可得：

当X<0时，f'（x）>0,即函数/（x）在（y）,o）上单调递增；

当0<x<2时，r（x）<0,即函数/（x）在（0,2）上单调递减；

当x>2时，即函数“X）在（2,+8）上单调递增；

故BCD错误，A正确.

故选：BCD.

11.（2020•海南省高三其他）已知函数〃x）=x+sinx—xcosx的定义域为［-2乃,2万），则（）

A./（x）为奇函数

B./（》）在［0,〃）上单调递增

C./（x）恰有4个极大值点

D.”力有且仅有4个极值点

【答案】BD

【解析】

因为“X）的定义域为［-2肛24），所以f（%）是非奇非偶函数,

v/（x）=x+sinx—xcosx

/.//(x)=1+cosx-(cosx-xsinx)=1+xsinx,

当xi［0,p)时，-(x)>0,则/(%)在［0,p)上单调递增.

显然广(0)/0,令r(x)=0,得sinx=-」,

X

分别作出丫二红!!》,y=—!在区间［-2肛2%)上的图象，

由图可知，这两个函数的图象在区间［-2肛2乃)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故

“X)在区间［一2］,2〃)上的极值点的个数为4,n./(x)只有2个极大值点.

故选：BD.

12.(2020・江苏省高二期中)若函数/(x)」nx在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有“性质.下列函数

中所有具有〃性质的函数为().

A./⑴」B.f{x}=x-1C./(x)=‘D./(x)=e*

ee

【答案】AD

【解析】

对于A,g(x)=/(x)-lnx=-Inx定义域为(0,+oo),则g'(x)=—>0恒成立，故满足条件；

对于B,g(x)=f(XHnx=(x-l>lnx定义域为(0,+域),则g'(x)=lnx—」+l,又

(inx—』+1]=工+与>0，g'(l)=lnl—1+1=0,即当0<x<l时g'(x)<0,函数g(x)在(0,1)上

VxJxX21

单调递减，当'>1时g'(X)>0,函数g(X)在(L+8)上单调递增，故不满足条件;

对于C,g(x)=/(x)/nx=J」nx定义域为(0,+8),&,"六厂(，又(什,

即g'(x)在定义域上单调递减，旦，®=J<0，故不满足函数g(x)在定义域上单调递增，故错误;

gd一*

对于D,g(x)=/(x>lnx=eFnx定义域为(0,+力),g，(x)=ex-\nx+—ex=e'Ilnx+—令

/?(x)=lnx+—,=---4-=^-^-,

则x>l时,〃(x)>0：当0<x<l时”(x)<()，即〃(x)在(0,1)上单调递减，在(1,转)上单调递增，在

x=1处取得极小值即最小值h(x\,n=〃(1)=1>0,所以g'(x)=e[Inx+曰>0恒成立，即g(x)在定

义域上单调递增，故D正确；

故选：AD

三、填空题

13.(2020.江苏省邢江中学高一期中)函数/。)=丁—3/+5的极小值为

【答案】1

【解析】

f(x)=x3-3x2+5,故/'(X)=3x2-6x=3x(x—2),

取/")<0得到0<%<2,故函数在(0,2)上单调递减；

取/(x)>0得到x>2或x<0，故函数在(—8,0)和(2,+»)上单调递增.

故极小值为/(2)=1.

故答案为：1.

14.（2020.蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知函数＞=/（x）（xeR）的图象如图所示，则不等式

4'（月之。的解集为.

由y=/（x）图象特征可得，

导数r（x）,在（-^^支⑵物）上r（x）＞o,在《⑵上r（x）＜o,

/、[x＞0fx＜01

所以靖（x）W0等价于\、c或，”\/c，解得OKxW上或XN2,

J（x）20[/（x）＜02

即不等式靖（x）W0的解集为[0,g]32,+oo）.

15.（2020周口市中英文学校高二月考（理））如图是y=/（x）的导函数的图象，现有四种说法.

⑴/（x）在（一2,1）上是增函数，（2）x=—l是“X）的极小值点

（3）/（X）在（一1,2）上是增函数，（4）x=2是/（X）的极小值点

以上说法正确的序号是

【答案】（2）,（3）

【解析】

由函数的图象可知：了‘（—2）＜o,r（-i）=o,

/（x）在（-2,1）上不是增函数，⑴不正确；

%=—1时/'（-1）=0,函数在（—3,—1）递减，

在（-1,2）递增，x=—1是“X）的极小值点；所以（2）正确；

“X）在（一1,2）上/'（x）>0,函数是增函数，所以⑶正确；

函数在（一1,2）递增，在（2,4）递减，x=2是的极大值点，所以。不正确.

故答案为：（2）（3）

16.（2020•山东省高二期中）若函数/（x）=^—lnx在区间（1,+00）单调递增，则左的取值范围是

若函数/（x）在区间（1，田）内不单调，则％的取值范围是.

【答案】［,+8）（0,1）

【解析】

若=在区间（l,+oo）单调递增，所以71'（%）=%—420在（1,y0）上恒成立，

X

即左2」在+8）上恒成立，又%>1时，-<1,所以左31:

XX

若函数7（》）在区间（1,”）内不单调，则方程r（X）=女—2=o在区间。,+»）有解，

因为x>l时，因此只需0〈左<1.

X

故答案为：［1,+8）；（0,1）.

四、解答题

17.（2020•横峰中学高二开学考试（文））已知函数/（x）=xe*.

（1）求曲线y=/（%）在点（1,/（I））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值.

【答案】（1）2ex-y-e=0：（2）极小值为一!，无极大值.

e

【解析】

(I)f(x)=xex,则/⑴=e,切点坐标为

由题意知，f'(x)=xe'+ex=(x+1)^',

Ar=/()=2e,由直线的点斜式方程有：y-e^2e(x-l)

即2ex-y_e=0.

(2)由(1)知，f(x)=(x+l)ex,

令/'(x)>0,得x>—1；令/'(x)<0,得x<—1.

则/(X)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,内)上单调递增，

所以/(X)的极小值为/(一1)=一！，无极大值.

e

18.(2020•黄冈中学第五师分校高二期中(理))已知函数/(x)=x2—2(a+l)x+2alnx(“>0).

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)求“X)的单调区间；

【答案】(1)y=-3(2)详见解析

【解析】

2

(1)・.・Q=1,/./(x)=x2-4x+21nx,二/"(x)=2x-4+二，

・・・-⑴=0,又"1)=1—4=—3,

.••/(X)在(1,7(1))处的切线方程为y=-3.

‘八八"'/X2a2x2-2(a+\]x-^2a,、

(2)/(x)=2x-2(6Z+l)+—=--------——』---------=————>0)，

XXX

令/"(x)=0,解得：xy-a,x2-\.

①当0<a<l时，若xe(O,a)和时，/'(x)>0；若xe(a,l)时，/,(x)<0；

.../(x)的单调递增区间为(0,a),(l,+oo)；单调递减区间为(a,1)；

②当a=l时，/'(x)20在(0,+功上恒成立，

.••/(X)的单调递增区间为(0,+力)，无单调递减区间；

③当。>1时,若x«O,l)和(a,+oo)时,/'(x)>0；若xe(l,a)时，/'(力<0；

..・/(X)的单调递增区间为(0,1)，(a,+8)；单调递减区间为(1,4);

综上所述：当0<a<l时，/(%)的单调递增区间为(0,a),(1，内)；单调递减区间为(a,1)；

当a=l时，/(x)的单调递增区间为(0,+”),无单调递减区间；

当”>1时,/(X)的单调递增区间为(0,1),(a,+8)；单调递减区间为(1,a).

19.(2020•阳江市第三中学高二期中)已知函数〃％)=狈2+劭氏在％=i处有极值g.

(1)求。力的值；

(2)求/(x)的单调区间.

【答案】(1)4=；,)=—1.(2)单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+8).

【解析】

(I)v/'(x)=2<2X+-.乂/(X)在x=l处有极值5,

/(!)=—a=—1

>v72即｛2解得"=—)=—1.

1(1)=0卜a+b=02

(2)由⑴可知〃x)=；x2—版淇定义域是(0,+纥)，

1(x)=x—=(x+l)(xT)

X

由/'(x)<0,得0cx<1；由/'(x)>0,得x>l.

二函数>=/(%)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是0，内).

2

20.(2020,山东省高二期中)已知函数/(x)=ax3一+力工在》=一§与％=1时都取得极值.

(1)求a,b的值：

(2)求函数/(x)的单调区间，并指出/(-gj与/(1)是极大值还是极小值.

【答案】(l)a=2"=4(2)函数/(%)的单调递增区间是卜8,一|卜口(1,+8),单调递减区间是(一|,

/［一g)是极大值，/⑴是极小值

【解析】

(1)由=-产+灰，所以尸(%)=3以2_2x+b.

由题意可知/(—1)=0,/"⑴=0,

4,4

—Q+/?H—=0

整理列方程组133

3。+〃一2=0

解得。=2,b=-4.

(2)由⑴知/'(%)=6%2一2%一4=2(3工+2乂工一1)

当」变化时,/(x)、/