数学九年级华师大上册第二十四章解直角三角形教学课件

24.1测量测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题.

本章将告诉我们怎样利用直角三角形来解决有关的测量问题.

引言旗杆当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场的旗杆有多高？我们如何来测量旗杆的高度？

引入ABCDEF选一个阳光明媚的日子，请你的同学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，再根据你的身高计算出旗杆的高度.

想一想如果就你一个人，又遇上阴天，那么如何测量旗杆的高度？

想一想34o

如果站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34o

，并目高AD为1米.现在按1：500的比例将ΔABC画在纸上，并记为用刻度尺量出纸上的长度，便可以算出旗杆的高度.BADECA'C'B'

想一想怎样利用照相机来测量旗杆的高度？

想一想充分利用相似三角形的相关知识在测量中采用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题.ABCDEF∵∠B=∠E（太阳光线是平行的）∠C=∠F=90o∴△ABC∽△DEF∴

理论例1小华测得2m高的标杆在太阳光下的影长为

1.2m，同时又测得一颗树的影长为12m，请你计算出这棵树的高度.解：设这棵树的高度为xm.∵同一时刻物高与影长成正比∴∴x=20答：这棵树的高度为20m.

运用例2如图，在距离树AB18米的地面上平放着一面镜子E,人退后到距镜子2.1米的D处，在镜子里恰看见树顶.若人眼距地面1.4米，求树AB的高度.DBACE解：∵∠CDE=∠ABE=90°∠CED=∠AEB（入射角等于反射角）∴△CDE∽△ABE∴∴

∴AB=18m

答:树AB的高度为18m.

运用方案设计：一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高.

运用（1）①有阳光时怎么测量旗杆高度？由于同一时刻太阳光线可以看作是平行的，所以这时物体在地面上投影长度与物体高度成正比．②阴雨天气如何测旗杆高度？阴雨天气，不能利用阳光，只能测量角度制造相似，利用比例尺的计算公式来计算旗杆的高度．③怎样利用照相机测量旗杆的宽度？利用照相机所拍摄成的相片与实物是相似的，同样利用比例尺的计算公式来计算旗杆的高度.

小结（2）研究测量要以实际条件为基础考虑测量方案来解决实际问题.

小结请同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录.（指导学生使用测角仪测出角度）写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度.

作业24.2直角三角形的性质

复习提问（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?

引入

（一）直角三角形性质定理1

请学生看图形：

1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？

2、归纳小结：我们已经知道（1）直角三角形的两个锐角互余.

（2）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

新课3、巩固练习：（投影显示）练习（1）在直角三角形中，有一个锐角为52°

，那么另一个锐角度数

.

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，

那么∠A=60°，∠B=30°.

（二）直角三角形性质定理2

1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片

（l）量一量斜边AB的长度

（2）找到斜边的中点，用字母D表示

（3）画出斜边上的中线

（4）量一量斜边上的中线的长度

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？

2、提出命题：

定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看个例题．例如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°.求证：BC=AB.

证明：作斜边AB上的中线CD，则CD=AB=AD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.

解：因为∠A=30°，所以∠B=60°.所以所以△CDB是等边三角形.所以BC=BD=AB.3、证明命题：（投影显示）

已知：在Rt△ABC中，

ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB.

证法：作DF//AC交BC于F，DE//BC交AC于E

.

,,得到DE=BF；通过证明△AED,

再证明四边形DECF为平行四边形，得到DE=CF,由此得到CF=BF,从而证得CD=AB.

1.在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB=_________.

2.在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．

3.已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点.

求证：（1）ED=EB；(2)∠EBD=∠EDB

；

（3）图中有哪些等腰三角形？

4.已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC的中点.如果连接DE,取DE的中点O,那么MO与DE有什么样的关系存在?

巩固训练这节课主要讲了直角三角形的性质定理？

1.直角三角形的两个锐角互余2.在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

3.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

课堂小结24.3.1锐角三角函数

操场里有一个旗杆，小明去测量旗杆的高度，他站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.4米．然后他很快就算出旗杆的高度了．

你想知道小明怎么算的吗？?1.4米10米

引入

直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，分别用a、b表示.图25.2.1

想一想对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？

想一想演示这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sinA、cosA、tanA，即sinA=cosA=tanA=分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.1、sinA

不是一个角2、sinA不是

sin与A的乘积3、

sinA

是一个比值

4、sinA

没有单位

理论你能知道sinA、cosA的取值范围吗？0＜sinA＜1，0＜cosA＜1

理论sin2A与cos2A之间有什么关系？sin2A+cos2A=1

结论数学理论我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）

理论

例1如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.．

∴

∴sinA=

cosA=

tanA=

运用例2求值：

运用计算：（1）tan45°－sin30°（2）cos60°+sin450－tan30°（3）（4）

演练（1）内容总结1、分别说出锐角三角函数定义

2、熟记30°、45°、60°角的三角函数值3、sin2A+cos2A=1

小结（2）方法归纳

在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解．利用特殊角的三角函数值来计算一些代数式的值24.3.2用计算器

求锐角三角函数值锐角三角函数的定义：直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.bABCa┌c

引入1.说出30゜、45゜、60゜的三角函数值.数学理论

练习计算：（1）2cos60°+2sin30°+4tan45°

（2）

练习

如何求出任意一个锐角的三角函数值？想一想

想一想一、求已知锐角的三角函数值

例1求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001）SHIFTMODE3步骤1：按

2:按下列顺序依次按键：

sin63o’”5241=o’”o’”∴sin63°52′41″≈0.8979

运用显示结果为0.897859012.∴sin63°52′41″≈0.8979求tan19°15′的值.例2解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列顺序依次按键：Dtan19o’”1541=o’”o’”显示结果为0.349215633.所以tan19°15′≈0.3492.二、由锐角三角函数值求锐角的度数例3已知tanx＝0．7410，求锐角x的度数．（精确到1′）在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列顺序依次按键：D

Dtan-10.741036.53844577SHIFTtan0·7410=则再按键.显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.o’”

运用显示结果为36.53844577.1.求下列三角函数值：（精确到0.0001）（1）sin28°31‘29“（2）cos72°16’54”（3）tan60°07‘35“2．求下列锐角x的度数：（精确到1＇）（1）sinx=0.2563（2）cosx=0.6529（3）tanx=2.3672

演练

利用计算器可以求一般角度的三角函数值．

小结学会用计算器求锐角三角函数值

小结24.4解直角三角形本节课研究的问题是：——如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系解直角三角形.

解直角三角形的依据是什么？（1）三边之间关系：勾股定理（2）锐角之间关系：两个锐角互余（3）边角之间关系：三角函数

引入——什么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？

引入什么是坡度、坡比？——如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

理论

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即．

坡度通常写成1:m的形式，如i＝1:6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有

显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．＝

tanα．

理论1、学生探究：在RtΔABC中，若∠C=90°，问题1：两锐角∠A、∠B的有什么关系？问题2：三边a、b、c的关系如何？问题3：∠A与边的关系是什么？2、数学知识、数学运用解直角三角形有下面两种情况：（1）已知两条边求直角三角形中的其它元素；（2）已知一边及一角求直角三角形中的其它元素.

运用例1如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为13+5=18（米）答：大树在折断之前高为18米.5m12m

运用例2如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）解：在RtΔABC中

∵∠CAB=900-∠CAD=500

ADCB答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.4002000

运用例3如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA侧得旗杆顶端C的仰角α=52°

.求旗杆BC的高.

解：在Rt△CDE中，

运用CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80.BC=BE+CE=DA+CE

≈1.50+12.80=14.3.

答：旗杆BC的高度约为14.3米.例4如图.一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角为32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）解：作

垂足分别为点E,F.由题意可知DE=CF=4.2，EF=CD=12.51.在Rt△ADE中，

运用所以在Rt△BCF中,同理可得，

运用答：路基下底的宽约为27.1米.1.(1)身高相同的A，B，C三人放风筝，各人放出的线长分别为280m，240m，200m，线与地面所成的角分别为30°，45°，60°（设线是拉直的），则三人中_____的风筝最高．(2)身高1.5m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为_________．

演练(3)如图，一辆消防车的梯子长为18m，与水平面间的夹角为60°，如果这辆消防车的高度为2m，求梯子可达到的高度．AC100米