19 牛顿运动定律在临界和极值问题中的应用-【新教材】人教版（2019）高一上学期期末复习易错点精讲精练

19、牛顿运动定律在临界和极值问题中的应用--高一期末复习易错点精讲精练1．概念在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值．这类问题称为临界、极值问题．(1)临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态。(2)极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。3．常见类型：动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛的问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。4．解题关键：解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确分析，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件。常见的三类临界问题的临界条件(1)相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。(2)绳子松弛的临界条件是：绳的拉力为零。(3)存在静摩擦的系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值。5．解决方法：(1)极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，可把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)显现出来，达到快速求解的目的．(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界状态的线索，但在变化过程中有可能出现临界状态，也可能不出现临界状态，解答这类问题，一般用假设法．(3)数学方法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式求解得出临界条件．例2如图所示，mA＝1kg，mB＝2kg，A、B间的动摩擦因数为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，水平面光滑，取g＝10m/s2，用水平力F推B。(1)当F为多大时，A、B间的静摩擦力最大？(2)当F＝12N时，A、B间的摩擦力是多大？(3)当F＝24N时，A、B间的摩擦力是多大？A、B的加速度各是多大？答案：(1)15N(2)4N(3)5N5m/s29.5m/s2解析：解本题的疑难在于B受推力作用时A、B间究竟是相对静止还是相对滑动，突破点是通过对整体与局部的分析挖掘出两个物体即将发生相对滑动的临界条件是两物体间的摩擦力等于最大静摩擦力。(1)设A、B相对静止，对整体分析：整体受三个力作用——竖直向下的重力(mA＋mB)g、竖直向上的支持力N、水平推力F。根据牛顿第二定律得F＝(mA＋mB)a对A分析：A受三个力作用——竖直向下的重力mAg、竖直向上的支持力NA、水平向右的静摩擦力f。根据牛顿第二定律得f＝mAa解得f＝eq\f(mA,mA＋mB)F，而最大静摩擦力f＝μmAg解得当F＝15N时，A、B间的静摩擦力最大(2)因F＝12N<15N，所以A、B相对静止。由F＝(mA＋mB)a及f＝mAa可得摩擦力f＝4N(3)因F＝24N>15N，故A将相对于B向左滑动，A、B间的摩擦力为滑动摩擦力，f＝μmAg，解得f＝5N对A有μmAg＝mAaA，解得aA＝5m/s2对B有F－μmAg＝mBaB，解得aB＝9.5m/s2[错因分析]处理动力学中的临界问题的关键是临界条件的挖掘。绳断与不断的临界条件是绳中的张力等于绳所能承受的最大拉力；两物体接触与分离的临界条件是两物体间的弹力等于0；两物体即将发生相对滑动的临界条件是两物体间的摩擦力等于最大静摩擦力；加速度逐渐减小的变加速运动速度最大的临界条件是加速度等于0。练习1、如图所示，一细线的一端固定于倾角为θ＝30°的光滑楔形块A的顶端处，细线的另一端拴一质量为m的小球。(1)当滑块至少以多大的加速度a向左加速运动时，小球对滑块压力为零？(2)当滑块以a＝2g的加速度向左加速运动时，小球对线的拉力为多大？[答案](1)eq\r(3)g(2)eq\r(5)mg[解析]球与斜面接触且无挤压时，是小球离开斜面的最小加速度，此时小球仅受重力和绳子的拉力。(1)小球对滑块恰无压力时受力情况如图所示。由牛顿运动定律，得eq\f(mg,tanθ)＝ma0，所以a0＝eq\f(g,tanθ)＝eq\f(g,tan30°)＝eq\r(3)g。(2)当a＝2g时，由于a>a0，所以此时小球已离开滑块，设此时细线与水平方向的夹角为α，则其受力情况如图所示。由牛顿运动定律，得eq\f(mg,tanα)＝ma，所以tanα＝eq\f(g,a)＝eq\f(1,2)所以FT＝mg/sinα＝eq\r(5)mg或FT＝eq\r(mg2＋ma2)＝eq\r(5)mg根据牛顿第三定律，小球对线的拉力FT′＝FT＝eq\r(5)mg。练习2、一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.试求：(1)当车以加速度a1＝eq\f(1,2)g向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力的大小；(2)当车以加速度a2＝2g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小．答案：(1)eq\f(\r(5),2)mg0(2)eq\f(3\r(2),2)mgeq\f(\r(2),2)mg解析：设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度为向左的a0，由牛顿第二定律得，F1cos45°＝mg，F1sin45°＝ma0，可得：a0＝g.(1)因a1＝eq\f(1,2)g<a0，故细绳2松弛，拉力为零，设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ，有：F11cosθ＝mg，F11sinθ＝ma1，得：F11＝eq\f(\r(5),2)mg.(2)因a2＝2g>a0，故细绳1、2均张紧，设拉力分别为F12、F22，由牛顿第二定律得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F12cos45°＝F22cos45°＋mg,F12sin45°＋F22sin45°＝ma2))解得：F12＝eq\f(3\r(2),2)mg，F22＝eq\f(\r(2),2)mg.特别提醒求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．练习3、如图所示，质量为m的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面的质量为M，斜面与物块无摩擦，地面光滑．现对斜面施加一个水平推力F，要使物块相对斜面静止，力F应为多大？(重力加速度为g)答案(m＋M)gtanθ解析两物体无相对滑动，说明两物体加速度相同，且沿水平方向．先选取物块m为研究对象，求出它的加速度就是整体的加速度，再根据F＝(m＋M)a，求出推力F.物块受两个力，重力mg和支持力FN，且二力合力方向水平．如图所示，可得：ma＝mgtanθ，即a＝gtanθ以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得F＝(m＋M)a＝(m＋M)gtanθ练习4、如右图所示，一个质量为5kg的光滑球放在质量为20kg的小车中，小车顶板AB与底板CD间的距离恰好与小球直径相等，侧壁AD与顶板的夹角为45°，整个装置放在光滑水平面上，现对小车施加F＝500N的水平拉力。求小球对底板CD、侧壁AD和顶板AB的弹力各为多大？(g取10m/s2)答案小球对底板CD的弹力为零，对侧壁AD的弹力为100eq\r(2)N，对顶板AB的弹力为50N解析小车静止时只对底板CD有压力(与AD接触但无弹力)。当小车受到水平拉力F作用而向右加速运动时，小球受到的合外力向右，则侧壁AD必对球有支持力FAD，且加速度越大，FAD越大，这时底板CD对球的支持力FCD必将随FAD的竖直分量的增大而减小。当加速度为某一临界值a0时，小球只对侧壁AD有挤压，当a>a0时，FAD增大，使球对AB开始有挤压。当小球只对侧壁AD有压力时，有mgtan45°＝ma0解得a0＝10m/s2这时合力F0＝(M＋m)a0＝250N。题中所给拉