（全国版）高考数学一轮复习第8章81空间几何体及其表面积与体积讲义文

§8.1空间几何体及其表面积与体积

【考试要求】1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实

生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）

的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.了解

球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

D'E忠O，

图形忠

ABABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于二息但不一定相等延长线交于二A

侧面形状平行四边形三角形蜒

名称圆柱圆锥圆台球

国息

图形A©

互相平行且相等，垂延长线交于

母线相交于一点

直于底面~,A

全等的等腰三全等的等腰

轴截面全等的矩形圆面

角形梯形

侧面展

矩形扇形扇环

开图

三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等

直观图

斜二测画法：（1）原图形中A•轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中V轴、/

轴的夹角为45°或135。，z'轴与V轴和轴所在平面垂直.

（2）原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴,平行于“轴

和z轴的线段在直观图中保持原长度丕变，平行于y轴的线段在直观图中长

度为原来的一半.

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

，八

.,c

您小：

侧面展开图铲

侧面积公式S阳柱一=2又rlSm—一=nrlSin8何=n（八十/）1

5.柱、锥、台、球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何

柱体（棱柱和圆柱）5冬而税=5的+25底V=Sh

中

锥体（棱锥和圆锥）S表面枳=SM+S底

P=；（S上+S下+低M）力

台体（棱台和圆台）S&前史=S*j+S上+S卜

4

球S=4JI-右兵

【常用结论】

1.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示

出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.

2.直观图与原平面图形面枳间关系朦图形.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（X）

（2）用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.（J）

⑶菱形的直观图仍是菱形.（X）

（4）两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.（X）

【教材改编题】

1.如图，长方体极力一『B'C夕被截去一部分，其中仍，〃/〃，剩下的几何体是（

D'HC

A.棱台B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

答案C

2.已知圆锥的表面积等于12ncd,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）

A.1cmB.2cm

答案B

解析设圆锥的底面圆的半径为n母线长为因为侧面展开图是一个半圆，所以”/=2兀r,

即7=2r,所以兀产+nr7=n产+nr・2r=3nr=12丸,解得T=2.

3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下

的几何体体积的比为.

答案1：47

解析设长方体的相邻三条棱长分别为&b,c,它截出的棱锥的体积为

〈c=±abc,剩下的几何体的体积V2=abc—^abc=^abc,所以%：%=1：47.

核心题型

题型一空间几何体

命题点1三视图

例1（2021•全国甲卷）在一个正方体中，过顶点力的三条棱的中点分别为其F,&该正方

体截去三棱锥4一的后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

□正视图

答案D

解析根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图,

结合选项可知该几何体的侧视图为D.

命题点2直观图

例2有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所

示），N48c=45°,AB=AD=ltDC1BC,则这块菜地的面积为.

答案2+勺

解析DC=ABsin45°=乎，

BC=ABcos45°+力。=平+1,

S梯形彳解=5（力。1~£。,DC

梯形身m=2

命题点3展开图

例3（2021•新高考全国I）已知圆锥的底面半径为蛆，其侧面展开图为一个半圆，则该圆

锥的母线长为（）

A.2B.2^2C.4D.4^2

答案B

解析设圆锥的母线长为L因为该圆锥的底面半径为啦，所以2n乂\历=n/,解得7=2^2.

【教师备选】

1.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体

是（）

:正视图二蒯视图

■■・・・・・•JUJ-LJ-LJ_J

iIiiiiiIiaiiiiei

+++-H-HH

Y-4

।।aII।।।

TTT-「「-rVI

储视图X-K.J.U

A.三棱锥B.三棱柱

C.四棱锥D.四棱柱

答案B

解析由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三

棱柱.

2.（2022•益阳调研）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯

形，已知直观图勿'B'C'的面积为4,则该平面图形的面积为（）

A.事B.4^/2C.8A/2D.24

答案C

解析由S照图形=2y[2S史双图»得S束图形=2y[2X4=8y[2.

3.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径Q乖，扇形弧长/=

4n,则该圆锥的表面积为（）

A.2n

B.（4+2-75）Ji

C.（3+小）n

D.8n4-^/5

答案B

解析设圆锥底面圆的半径为八则2/不=4兀，解得二=2,

・•・圆锥的表面积S^=S底面回+S值=JI步+：〃>=JTX22+：X4nX小=（4+24）冗.

乙乙

思维升华（1）由几何体求三视图，要注意观察的方向，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的

基本要求，由三视图推测几何体，可以先利用俯视图推测底面，然后结合正视图、侧视图推

测儿何体的可能形式.

（2）①在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性

不变，长度减半.②S直观图=乎5用图形.

跟踪训练1（1）（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单

位：媪）是（）

f+Lf1-

正视图侧视图

俯视图

A.1B.3C.平I）.3m

答案A

解析方法一由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰

梯形的底边长分别为镜，2位，高为平，该四棱柱的高为1,所以该几何体的体积K=1x他

+2-72）X^X1=1

方法二由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形（腰长为2）的直三棱柱截去一

个底面为等腰直角三角形（腰长为D的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积K=1X22X1

123

--X12X1=-

（2）（2022•中卫模拟）已知水平放置的△/1比按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中

B'O'=C0'=1,*0,=乎，那么△?!%是一个（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.钝角三角形

答案A

解析根据斜二测画法还原在直角坐标系中的图形，如图,

则C=2,

A0=2ArO'=73,

AC=AB=yj^32+l2=2,

所以△力比是一个等边三角形.

（3）（2022•曲靖模拟）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12,底面圆的半径等于4,

一只小虫从圆锥的底面圆上的点尸出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点尸处，则小虫爬行的

最短路程为（）

解析如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为

则由题意可得2丸X4=128,

2n

则夕=丁,

O

在中，OP=OP'=12,

则小虫爬行的最短路程为

题型二表面积与体积

命题点1表面积

例4（1）（2022•成都调研）如图，四面体的各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在

一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是（）

A.伫2口

o

2啦+1Ji

C，3

答案C

解析如图所示，过点尸作皿平面力比；£为垂足，点£为等边三角形4町的中心，连接

力£并延长，交比1于点。

AE=,AD,4g雪,

O4

:.££=、/*一力也2=幸.

设圆柱底面半径为人则r=熊善,

圆柱的侧面积S=2nr•PE=2nX乎X坐"

ooo

底面积S=nr2X2=nxf^^X2=;y-,

,,2\/2n2n

；•圆柱的表面积S=$+S=QH

<5<5

2/+1Ji

3

(2)在梯形力犯9中，ZABC=^,AD//BC,G24?=2力劭及笫绕力。所在的直线旋转一周而形

成的曲面所围成的几何体的表面积为()

A.(5+m)nB.(4+隹)冗

C.(54-2^2)nD.(3+^2)n

答案A

解析•・•在梯形力"9中，/ABC=9AD//BC,BC=2AD=2AB=2f

C

2

B

・•・将梯形力四绕川9所在的宜线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为47

=1,高为优=2的圆柱挖去一个底面半径为49=1,高为比一力片2—1=1的圆锥，

，该几何体的表面积5=KX12+2HX1X2+nX1X^/l2+l2=(5+^2)n.

【教师备选】

有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下

层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形几何体的表面积为

答案36

解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,/，1,

AS«=2X22+4X[22+(V2)2+12]=36.

・•・该几何体的表面积为36.

思维升华(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.

(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.

(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.

命题点2体积

例5(1)(2021•新高考全国H)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则

其体积为()

A.20+12/B.284

竺空也

答案D

解析作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图,

因为该四楼台上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高力=*_2小甘2=卷

下底面面积S=16,上底面面积S=4,

所以该棱台的体积-J力（S+S+JMG）=1X«72X（16+4+洞）=岭但.

JJJ

（2）（2020•新高考全国II）棱长为2的正方体4%力一48G〃中，机N分别为棱能，的中

点，则三棱锥4一〃觑V的体积为.

答案1

解析如图，由正方体棱长为2,

113

得S^AMN=2X2-2X-X2X1--X1X1=-,

又易知为三棱锥〃-4WV的高，

=

且DiAi2t

■V=V

..V、_DMNvD-AMN

1ll

1c13

SMMN•44=5X5X2=1.

3

（3）（2022•大同模拟）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：

“今有刍要，下广三丈，袤四丈，上袤一丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底

面为矩形的屋脊形状的多面体（如图），下底面宽4g3丈，长4?=4丈，上棱牙*=2丈，EF

与平面力腼平行，）与平面18。的距离为1丈，则它的体积是（）

A.4立方丈B.5立方丈

C.6立方丈D.8立方丈

答案B

解析如图，过E作£G_L平面45W,垂足为G,过尸作/WJ_平面垂足为"过G作

PQ//AD,交力8于Q,交,CD千P,过H作MN〃BC,交AB于M交切于机由图形的对称性可

知，AQ=BN=\,。的=2,且四边形U与四边形刖%V都是矩形.

则它的体积

・£6・S矩形附付+Suw•A^+1・FH・S矩形般“=Jx1X1X3+1x3X1X2+1x1X1X3=

*5JJ乙J

5（立方丈）.

r教师备选，（2022•佛山模拟）加图所示，在直径AB=4的半圆。内作一个内接直角三角形

ABC,使N物a30°,将图中阴影部分，以为旋转轴旋转180°形成一个几何体，则该几

何体的体积为_____.

心生10

答案TH

解析如图，过点C作⑺_L/出于点〃

在Rt△力勿中，

AC=ABcos300=2y[3,

CD=^AC=y[3,

乙

AD=ACcos300=3,BD=AB~AD=\,

将图中阴影部分，以48为旋转轴旋转180。形成一个几何体，该儿何体是以48为直径的半

个球中间挖去两个同底的半圆锥，

故所求几何体的体积为

1「4O1厂2

V=-X-JTX23--XJIXJ32X3+1

NJJ

思维升华求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

跟踪训练2（1）（2022•武汉质检）等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一

边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（）

A.^2JtB.(1+^/2)n

C.2y[2nD.^/2n或(1+4)n

答案D

解析如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1,高为1，母线就是直角三角形

的斜边，长为明，所以所形成的几何体的表面积5=丸XlX/+nX『=（*+［）兀；如果

绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥.圆锥的半径是直角三角形斜边上的高，所以圆锥

的半径为平，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1,所以形成的几何体的

表面积S'=2X无X乎综上可知，形成几何体的表面积是IT或隹Ji.

4

⑵（2022•天津和平区模拟）已知正方体ABCD-ABC业的棱长为2,则三棱锥/1一6。的体

积为（）

48

A-B-C.4D.6

JJ

答案B

解析如图，三棱锥力一名制是臼正方体4%〃一4AG〃截去四个小三棱锥A-AM,C-

BCDi,ABC,D\—ACDy

48

所以V=8—4X—=—

川小°33°

课时精练

E基础保分练

1.下列说法不正确的是（）

A.圆柱的每个轴截面都是全等的矩形

B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱台的侧面是梯形

D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面

答案B

解析B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行.

2.（2022•梧州调研）在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个句题：“今有木长二丈

四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4

尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，

问葛藤最少长多少尺？”（注：1文等于10尺），则这个问题中，葛藤长的最小值为（）

A.2丈4尺B.2丈5尺

C.2丈6尺D.2丈8尺

答案C

解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即圆木的高）长24尺，另一条

直角边长5X2=10（尺），因此葛滕长的最小值为啊的=26（尺），即为2丈6尺.

3.（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

俯视图

A.B.4C.34-^3D.2

答案A

解析根据一视图可得如图所示的几何体一正三棱锥O-ABC,

其侧面为等腰直角三角形，底面为等边三角形，

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,

故其表面积为3X3XIX1+乎X（镜）2=3^/^

4.（2022•兰州模拟）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥

被称为“六器”，是占人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地

四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称,

圆筒内径2.0cm,外径2.4cm,筒高6.0cm,方高4.0cm,则其体积约为（单位：cmJ）（）

A.23.04-3.92n

C.34.56-3.12n

答案D

解析由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，

组合体的体积为r=2XnX,2）））'+4X2.4X2.4—nX12X6=23.04-3.12n.

5.（2022•商洛模拟）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变

体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体,

则此正八面体的体积与表面积之比为（）

A必R近「班D必

189123

答案B

解析取a'的中点G,连接班,BD,取物的中点0,连接£0,如图，由棱长为2,可得正

八面体上半部分的斜高为EG=72T=4,高为止肝M=木,

则正八面体的体积为V=2”・f笆=2义2乂2：木=平,

JJJ

其表面积为S=8X竺产=8X”警=84，

乙乙

・•・此正八面体的体积与表面积之比为坐.

6.如图，在正四棱柱力及笫一466。中，AB=\,44=小,点E为48上的动点，则从E+CE

的最小值为（）

A.2^2B.^io

C.7S+lD.2+啦

答案B

解析如图，连接力〃，阳分别延长至尸，G,使得/Jg/fF,BC=BG,连接晶，FG,

*/四棱柱ABCD-ABCD为正四棱柱,

."8_1平面/1能4,力从L平面比'G儿

:"BLAF,ABLBG,

又AB=AD=AF,

・•・四边形/成尸为正方形，

:.EG=7BE+BG=7BE+Bd=CE,

・•・〃£'+龙的最小值为〃G,

又以G=7队户+苒=婀1=瓜,

・•・〃£+〃的最小值为皿.

7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为Q,a,过直线aa的平面截该圆柱所得的截面是面

积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.12y[2nB.12n

C.8yf2nI）.10Ji

答案B

解析设圆柱的轴截面的边长为乂则由J=8,得x=2啦，・・・S螭表=2S«+S偈=2XnX（^2）2

+2%Xyf2X2yf2=l2n.

8.（2022•邯郸模拟）攒尖是我国百代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒

尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁

式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四

棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为。，这个角接近30°,若取，=30°,

侧棱长为©米，则（）

A.正四棱锥的底面边长为4米

B.正四棱锥的底面边长为3米

C.正四棱锥的侧面积为24m平方米

D.正四棱锥的侧面积为124平方米

答案C

解析如图，在正四棱锥S一力"力中，。为正方形力时的中心，〃为48的中点，

则SH1AB,

设底面边长为2a.

因为N5i%?=30°,

所以0H=AH=a,0S={a,SH=^-a.

oJ

在口△%〃中,

解得a=3,所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S=Jx6X2小X4=24，5(平方米).

ABCO,在平面史角坐标系也加中，点8的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的正方形的直观

图中，顶点加到/轴的距离为一

解析利用斜二测画法作正方形48C0的直观图如图,

在坐标系0'X，/中，B'C=1,N/CB'=45°.

过点夕作V轴的垂线，垂足为点。'.

在RtZk6'〃C中，

B1D'=B'Csin45。=1X3=乎.

10.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm,母线长最短50cm,最长80cm,

则斜截圆柱的侧面面积S=cm2.

答案2600n

解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.由题意得

所求侧面展开图的面积5=1X(JTX40)X(50+80)=2600n(cm2).

11.(2020•江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的

底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是

答案12^3-y

解析螺帽的底面正六边形的面积

5=6x1x22Xsin60°=673(cm2),

正六棱柱的体积K=6^3X2=12^3(cm3),

圆柱的体积K2X2=-^-(cm3),

所以此六角螺帽毛坯的体积

(12/一5卜」.

V=Vx-V2=

12.(2022•佛山质检)已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点48满足△烟为等边三角

形，且面积为又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为.

答案8如

解析设圆锥的母线长为由△弘8为等边三角形，且面积为4小，

所以^/sin-y=4^3,

解得7=4；

又设圆锥底面半径为八高为力，

则由轴截面的面积为8,得2啥=8；

又/+02=16,

解得r=h=2@,所以圆锥的侧面积S=nrl=nX2^2X4=8^2n.

E技能提升练

13.（2021•全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，

组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一

组答案即可.）

图④图⑤

答案③④（答案不唯一，②©也可）

解析根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只

能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.

若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示.

14.（2022•南京模拟）小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售

货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎（如图①所示），并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点

心盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为一般的十字捆扎（如图②所

示）所用绳长为k.若点心盒的长、宽、高之比为2：2：1,则J的值为________.

12

图①图②

答案坐

解析,・•点心盒的长、宽、高之比是2：2：1,

・•・设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a,

由题意可得71=4X4X2^2<i=1272a,

y2=4X4a+4X2a=24a,

.A_12y/2a_y[2

-I：24a