2024-2025学年山东省泰安市泰山区第六中学鲁教版九年级数学专题复习学案专题七 圆

泰安市泰山区2024-2025学年第六中学鲁教版九年级数学专题复习学案专题七圆【课标要求】1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。4.了解三角形的内心与外心。5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。6.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。7.会计算圆的弧长、扇形的面积；8.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.【考点梳理】一、圆的有关概念和性质(1)圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的组成的图形叫做圆，其中为圆心，为半径．②弧：圆上任意叫做圆弧，简称弧，半圆的弧称为优弧，半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的叫做弦，经过圆心的叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．②垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的．推论：平分弦（不是）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在或中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角；所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的。二、与圆有关的角（1）圆心角：在圆心的角叫圆心角。圆心角的等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在，两边分别和圆的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的等于它所对的圆心角的一半．三、与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系=1\*GB3①点在圆内点在圆；=2\*GB3②点在圆上点在圆；=3\*GB3③点在圆外点在圆；（2）直线与圆的位置关系=1\*GB3①直线与圆相离有个交点；=2\*GB3②直线与圆相切有个交点；=3\*GB3③直线与圆相交有个交点；四、与圆有关的定理1.垂径定理垂径定理：于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。2.弦弧角等量转换定理：或中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等，所对的圆周角相等。此定理也称1推4定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；③；④eq\o(BA,\s\up5(⌒))=eq\o(BD,\s\up5(⌒))3.圆周角定理（1）圆周角定理：弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。（2）半圆或直径所对的圆周角是；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是.（3）若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.即：在△中，∵∴△是直角三角形或注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.4.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角，外角等于它的.5.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.即：∵且过半径外端∴是⊙的切线五、与圆有关的计算1.圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行；半径r（内心到顶点的线段）、边心距d（内心和边的中点的线段或）、边长a的一半知一推三.其中半径和边心距的夹角α为定值.关系式为：.2.扇形、圆锥的相关计算公式扇形：（1）弧长公式：.（2）扇形面积公式：.圆锥侧面展开图：（1）；（2）=.圆锥的体积：3.内切圆及有关计算（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到的距离相等；（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=；（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径.【典型例题】例1.如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半径．跟踪训练1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．例2．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的长．跟踪训练2．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．例3.已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．跟踪训练3．【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．例4．如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．（1）求证：△ACD∽△DCB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若，AC＝10，求⊙O的半径．跟踪训练4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．【达标训练】一．选择题1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°3．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）A．3 B． C． D．4第1题图第2题图第3题图4．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B． C．34 D．105．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜6．如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A．π B．π C．π D．2π第4题图第5题图第6题图7．如图，A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞ B．Q点在上，且＜ C．Q点在上，且＞ D．Q点在上，且＜8．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2 B．或2 C．或2 D．或29．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm10．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（）A．20° B．18° C．15° D．12°第7题图第9题图第10题图11．如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是（）A．50° B．40° C．70° D．60°12．如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70° B．105° C．125° D．155°13．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°第11题图第12题图第13题图14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，15．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个第14题图第15题图16．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（）A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6 C．△ABC内切圆的半径r＜1 D．当AB＝时，△ABC是直角三角形17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若，则sinC的值是（）A． B． C． D．18．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°19．如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．40° D．45°第17题图第18题图第19题图20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A． B． C． D．21．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）第20题图第21题图22．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（）A． B．2 C．3 D．223．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°24．第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12第22题图第24题图25．如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（）A． B． C． D．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠D＝120°，则的长是（）A．π B．π C．2π D．4π第25题图第26题图27．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π28．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（）A．4π B．6π C．8π D．16π29．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．π B．3π C．2π D．2π﹣30．如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．5 B． C． D．第27题图第28题图第29题图第30题图二．填空题31．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）32．如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为．33．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝°．第31题图第32题图第33题图如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140°那么∠CDE＝°．36．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝°．第34题图第35题图第36题图37．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为．38．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝°．40．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是．第37题图第38题图第39题图39．将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．​41．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝．42．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为．43．如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．（结果保留π）第41题图第42题图第43题图44．一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．45．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．第44题图第45题图专题七圆参考答案例1.（1）证明：连接OC，∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥DC，又∵AE⊥DC，垂足为E，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAE；（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵AE⊥DC，由（1）得：∠EAC＝∠OAC，∴∠ABC＝∠ACE，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan∠ACE＝，∴＝＝，∴BC＝，在Rt△ABC中，AB＝＝，∴OA＝．跟踪训练1.（1）证明：连接OD，作OM⊥BC于M，∵AC＝BC，O是AB中点，∴CO平分∠ACB，CO⊥AB，∵AC切圆于D，∴OD⊥AC，∴OD＝OM，∴BC是⊙O的切线；（2）作OH⊥AG于H，∴FG＝2GH，∵△OAC是等腰直角三角形，∴OA＝AC＝×4＝4，∵△AOD是等腰直角三角形，∴OD＝AO＝2，∴OG＝2，∴AG＝＝2，∵cosF＝，∴＝，∴GH＝，∴FG＝．例2.（1）证明：如图，连接BD，OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，∵AB＝BC，∴AD＝CD，又∵OB＝OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，∵FD⊥AB，∴FD⊥OD，∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：由于cosC＝＝，可设CD＝4x，则BC＝5x，∴BD＝＝3x，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴∠DBE＝∠CBD，∵∠BED＝∠BDC＝90°，∴△BED∽△BDC，∴＝，即，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴BC＝5x＝，∴OD＝BC＝，∵OD∥BE，∴△FEB∽△FDO，∴＝，即＝，解得FB＝．跟踪训练2.（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝90°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．例3.（1）解：四边形OBAD是菱形，理由如下：如下图，作AS⊥DE于点S，作AT⊥BC于点T，∵OP平分∠MON，∴AS＝AT，∠AOD＝∠AOB，在Rt△ASD与Rt△ATB中，，∴Rt△ASD≌Rt△ATB（HL），∴SD＝TB，在Rt△ASO与Rt△ATO中，，∴Rt△ASO≌Rt△ATO（HL），∴SO＝TO，∴SO﹣SD＝TO﹣TB，即OD＝OB，∵AD∥OM，∴∠AOB＝∠OAD，∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝∠OAD，∴AD＝OB，∴四边形OBAD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形OBAD是菱形；（2）证明：如下图，连接FE，∵AS⊥DE，AT⊥BC，∴SD＝SE＝DE，TB＝TC＝BC，∵SD＝TB，∴DE＝BC，∵OD＝OB，∴OD+DE＝OB+BC，即OE＝OC，在△OEF与△OCF中，，∴△OEF≌△OCF（SAS），∴∠OEF＝∠OCF，∵CF⊥OM，∴∠OEF＝∠OCF＝90°，∵AS⊥DE，DG⊥ON，∴∠ODG＝∠OSA＝∠OEF＝90°，∴DG∥SA∥EF，∴＝＝1，∴AG＝AF．跟踪训练3.【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE为等边三角形，∴PB＝