考研数学二模拟416

考研数学二模拟416一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

下列无穷小中阶数最高的是______．

A．ex-etanx

B．INCLUDEPICTUR（江南博哥）E\d":8089/YFB12/tu/1710/yjs/ky/s2411.B3E884.jpg"INET

C．ln(1+x)-sinx

D．正确答案：B[解析]ex-etanx=etanx(ex-tanx-1)～x-tanx，

因为

2.

下列命题正确的是______．

A．若f(x)在x0处可导，则一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ内f(x)可导

B．若f(x)在x0处连续，则一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ内f(x)连续

C．若存在，则f(x)在x0处可导

D．若f(x)在x0的去心邻域内可导，f(x)在x0处连续，且存在，则f(x)在x0处可导，且正确答案：D[解析]令由得f(x)在x=0处可导(也连续)．

对任意的a≠0，因为不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，A，B不对；

令显然，因为，所以f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，C不对；

因为f(x)在x0处连续且在x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)或者，其中ξ介于x0与x之间，两边取极限得存在，即f(x)在x0处可导，且，选D.

3.

下列说法中正确的是______．A.若f'(x0)＜0，则f(x)在x0的邻域内单调减少B.若f(x)在x0取极大值，则当x∈(x0-δ，x0)时，f(x)单调增加，当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)单调减少C.f(x)在x0取极值，则f(x)在x0连续D.f(x)为偶函数f"(0)≠0，则f(x)在x=0处一定取到极值正确答案：D[解析]，当(k∈N)时，f'(x)＞0f(x)在x=0的任意邻域内都不单调减少，A不对；，f(x)在x=0处取得极大值，但其在x=0的任一邻域内皆不单调，B不对；

f(x)在x=1处取得极大值，但f(x)在x=1处不连续；

由f"(0)存在，得f'(0)存在，又f(x)为偶函数，所以f'(0)=0，所以x=0一定为f(x)的极值点，选D.

4.

设δ＞0，f(x)在(-δ，δ)内恒有f"(x)＞0，且|f(x)|≤x2，记，则有______．A.I=0B.I＞0C.I＜0D.不能确定正确答案：B[解析]因为|f(x)|≤x2，所以f(0)=0，由|f(x)|≤x2，得，由迫敛定理得f'(0)=0．

由泰勒公式得

其中ξ介于0与x之间，

因为在(-δ，δ)内恒有f"(x)＞0，所以，选B．

5.

设f有一阶连续的偏导数，且f(x+y，x-y)=4(x2-xy-y2)，则xf'x(x，y)+yf'y(x，y)为______．A.2x2-8xy-2y2B.-2x2+8xy-2y2C.2x2-8xy+2y2D.-2x2+8xy+2y2正确答案：D[解析]令x+y=u，x-y=v，则，

于是由f(x+y，x-y)=4(x2-xy-y2)，得f(u，v)=4uv-u2+v2，

故f(x，y)=4xy-x2+y2，

xf'x(x，y)+yf'y(x，y)=x(4y-2x)+y(4x+2y)=-2x2+8xy+2y2，选D．

6.

设f(x)=x3-3x+k只有一个零点，则k的取值范围是______．A.|k|＜1B.|k|＞1C.|k|＞2D.k＜2正确答案：C[解析]f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零．由f'(x)=3(x2-1)=0，得驻点x-±1，且由图形可知，x=-1为极大点，x=1为极小点．故f(-1)=2+k＜0k＜-2，f(1)=-2+k＞0k＞2，所以选C.

7.

设则B等于______.

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]

选C.

8.

设A=(α1，α2，α3，α4)为四阶方阵，且α1，α2，α3，α4为非零向量组，设AX=0的一个基础解系为(1，0，-4，0)T，则方程组A*X=0的基础解系为______．A.α1，α2，α3B.α1+α3，α3，α4C.α1，α3，α4D.α1+α2，α2+2α4，α4正确答案：D[解析]由r(A)=3得r(A*)=1，则A*X=0的基础解系由3个线性无关的解向量构成．

由α1-4α3=0得α1，α3成比例，显然A、B、C不对，选D．

二、填空题1.

设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且，

则a=______．正确答案：1[解析]，由微分中值定理得f(x)-f(x-1)=f'(ξ)，其中x-1＜ξ＜x，则，于是e2a=e2，a=1．

2.

设f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为正确答案：[解析]

3.

xy"-y'=x2的通解为______．正确答案：[解析]由xy"-y'=x2，得或者，则，由y'=x2+C1x，得原方程的通解为

4.

设，且F(u，v)连续可偏导，则正确答案：z[解析]两边对x求偏导，得，解得；

两边对y求偏导，得，解得，于是

5.

正确答案：[解析]

6.

设A为三阶矩阵，A的三个特征值为λ1=-2，λ2=1，λ3=2，A*是A的伴随矩阵，则A11+A22+A33=______.正确答案：-4[解析]因为A的特征值为λ1=-2，λ2=1，λ3=2，所以A*的特征值为μ1=2，μ2=-4，μ3=-2，于是A11+A22+A33=tr(A*)=μ1+μ2+μ3=2-4-2=-4.

三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

证明：当x＜1且x≠0时，正确答案：[解]当x＜0时，令f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，显然f(0)=0，因为

所以f(x)在(-∞，0)上单调减少，所以当x＜0时，f(x)＞f(0)=0，即x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0，于是

当0＜x＜1时，令f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，且f(0)=0，因为

所以f(x)在(0，+∞)内单调增加，于是f(x)＞f(0)=0，故．

2.

计算正确答案：[解]令x=tant，则

3.

设f"(x)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

正确答案：[解]令，则F'(x)=f(x)，且F'''(x)∈C[a，b]．由泰勒公式得

两式相减，得

因为f"(x)∈C[a，b]，所以f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，由闭区间上连续函数最值定理，f"(x)在区间[ξ1，ξ2]上取得最小和最大值，分别记为m，M，则有

再由闭区间上连续函数的介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得，从而有

4.

设f(x)在R上可微且f(0)=0，又求∫f(x)dx．正确答案：[解]令u=lnx，则于是

因为f(0)=0，所以

当x≤0时，；当x＞0时，．注意到f(x)连续，由C1=4+C2，得C2=C1-4，故

5.

设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对满足，又f(1)=0，求f(x)．正确答案：[解]令u=xt，则原方程变换为，两边对x求导得f(x)=2f(x)+f(x)+xf'(x)+3x2，整理得．此微分方程的通解为．由f(1)=0，得，所以．

6.

一个容器的内表面侧面由曲线(0≤x≤2)绕x轴旋转而成，外表面由曲线在点的切线位于点与x轴交点之间的部分绕x轴旋转而成，此容器材质的密度为μ．求此容器自身的质量M及其内表面的面积S．正确答案：[解]

切线方程为，与x轴的交点坐标为(1，0).

切线旋转后的旋转体体积为，曲线旋转后的旋转体的体积为．

此容器的质量为

容器内表面积为

7.

位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y'2之积成反比，比例系数求y=y(x)．正确答案：[解]根据题意得

令y'=p，则有解得，因为p(2)=0，所以C1=0，故，进一步解得，因为y(0)=2，所以C2=0，故曲线方程为

设A是n阶矩阵，证明：8.

r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT；正确答案：[解]若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即

于是

令，显然α，β都不是零向量且A=αβT；

反之，若A=αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1．

9.

r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．正确答案：[解]因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．

令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2-kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．

因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E-A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．

10.

设，B为三阶非零矩阵，为BX=0的解向量，且AX=α3有解．

(1)求常数a，b的值；