考研数学二分类模拟227

考研数学二分类模拟227解答题1.

A是n阶正交矩阵(即AAT=E)，且|A|＜0，证明：A+E不可逆．正确答案：证明：

|A+E|=|A+AAT|=|A(E+AT)|=|A||E+AT|（江南博哥）

=|A||(E+A)T|=|A||E+A|

故(1-|A|)|A+E|=0．由于|A|＜0，则1-|A|≠0，因此|A+E|=0，故A+E是不可逆矩阵．[考点]矩阵

求下列微分方程的通解：2.

y2dx+2(x2-xy2)dy=0；正确答案：解：方程化为，两边乘x-2得．

令x-1=u，则，得线性方程．

由公式解得

故原方程的通解为，即y2=x(lny2+C)．[考点]常微分方程

3.

x2y'+xy=y2．正确答案：解：方程化为，令y-1=z，则-y-2y'=z'，得．

解得

即原方程的通解为．[考点]常微分方程

4.

如果向量组线性无关，那么给每个向量添上m个分量(所添分量的位置对于每个向量都一样)得到的延伸组也线性无关．正确答案：证明：设α1，α2，…，αs的一个延伸组为，则从，可得出

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

若α1，α2，…，αs线性无关，则从上式得k1=k2=…=ks=0．从而也线性无关．

注本例的结论请读者记住并会运用，即向量组“原来无关，延伸无关”．[考点]向量

5.

试对很小的|x|，|y|，|z|，利用全微分导出函数

的线性近似公式．正确答案：解：由于

而

f(0，0，0)=1，fx(0，0，0)=0，fy(0，0，0)=1，fz(0，0，0)=1

因此所求近似公式为

[考点]多元函数微积分

6.

设讨论λ为何值时，方程组无解?λ为何值时，方程组有解?方程组有解时，求其通解．正确答案：解1：将增广矩阵用高斯消元法化成阶梯形矩阵

当λ=-2时，r(A)=2≠r(A，b)=3，方程组无解．

当λ≠1且λ≠-2时，r(A)=r(A，b)=3，方程组有唯一解．可得唯一解为

当λ=1时，由于r(A)=r(A，b)=1＜3，方程组有无穷多解．非齐次方程组的通解为k1ξ1+k2ξ2+η，其中ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-1，0，1)T，η=(1，0，0)T，k1，k2是任意常数．

解2：注意到方程组的系数矩阵是三阶方阵，故可利用克拉默法则，先讨论方程组何时有唯一解，再讨论何时有无穷多解，何时无解．因|A|=(λ-1)2(λ+2)．

当λ≠1且λ≠-2时，方程组有唯一解，且利用克拉默法则可计算出

当λ=1时，．

对应齐次线性方程组的基础解系为ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-1，0，1)T，特解为η=(1，0，0)T，故通解为k1ξ1+k2ξ2+η，其中k1，k2是任意常数．

当λ=-2时，，r(A)=2≠r(A，b)=3，方程组无解．[考点]线性方程组

7.

计算极限．正确答案：解：当a≥1时，因为1+an≤an+an=2an，所以，从而有．

又知，所以．

当0＜a＜1时，作变换，则b＞1．所以

[考点]函数、极限

8.

已知齐次方程的通解为y=C1x+C2ex，求非齐次方程的通解．正确答案：解：令y=v1x+v2ex为所求方程的通解，那么

y'=v'1x+v1+v'2ex+v2ex=v'1x+v'2ex+v1+v2ex

再令

v'1x+v'2ex=0

即

y'=v1+v2ex

于是

y"=v'1+v'2ex+v2ex

将y"，y'，y代入方程

并整理得

v'1+v'2ex=x-1

由方程组

解得

v'1=-1，v'2=xe-x

积分得

v1=C1-x，v2=C2-(x+1)e-x

于是所求方程的通解为

y=(C1-x)x+[C2-(x+1)e-x]ex=C1x+C2e-x-x2-x+1[考点]常微分方程及其应用

9.

设，求f"(x)．正确答案：解：

则

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

10.

设．求．正确答案：解：由积分中值定理可得

其中c介于x与x2之间．显然，注意到x充分大时，c∈(x，x2)，且，则此时有，则

又知

所以．则

所以[考点]不定积分、定积分、反常积分

11.

设f(x)，g(x)，h(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：必有ξ∈(a，b)使得

①

并由此说明拉格朗日中值定理和柯西定理都是它的特例．正确答案：证明：作辅助函数

按第三行展开，可得

注意到，三个二阶行列式

实际上为三个常数，故

由于F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知，存在ξ∈(a，b)，使得

即证式①．

若取h(x)=1，则由式②有

即

即得柯西中值定理；

若取h(x)=1，g(x)=x，则由式②有

即

即得拉格朗日中值定理．[考点]一元函数微积分

12.

设可微函数z=z(x，y)，由方程z+xy=f(xz，yz)所确定，求．正确答案：解：在z+xy=f(xz，yz)两边同时对x求导，得

解得

[考点]多元函数微分学

13.

设函数f(x)在点a处可导，且f(a)≠0，求．正确答案：解：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)，令，则

记，则

所以原极限即为

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

14.

计算积分．正确答案：解：

而

故

[考点]一元函数微积分

15.

设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3．已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1=(2，3，4，5)T，η2+η3=(1，2，3，4)T，求该方程组的通解．正确答案：解：设方程组为Ax=b，则r(A)=3．于是可知Ax=0的基础解系只有一个向量，而

Aη1=b，A(η2+η3)=2b

故

2η1-(η2+η3)=(3，4，5，6)T

是Ax=0的基础解系．从而方程组的通解为x=k(3，4，5，6)T+η1(k为任意常数)．[考点]矩阵、向量、方程组

对于函数f(x)=|sinx|3，x∈(-1，1)．16.

证明：f"'(0)不存在；正确答案：证明：则

由于f"'+(0)≠f"'-(0)，因此f"'(0)不存在．[考点]一元函数微积分

17.

判断x=0是否为f"'(x)的可去间断点．正确答案：证明：由上一小题可知，x=0不是f"'(x)的可去间断点．[考点]一元函数微积分

18.

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y'(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．正确答案：解：如图，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为

Y-y(x)=y'(x)(X-x)

所以切线与z轴的交点为．

由于y'(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞0(x＞0)，于是

又

根据题设2S1-S2=1，即

两边对x求导并化简得yy"=(y')2，这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y'，则

则上述方程可化为，分离变量得，解得p=C1y，即

从而有

y=C1ex+C2

根据y(0)=1，y'(0)=1，可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程为y=ex．[考点]常微分方程及其应用

19.

设n阶矩阵A=(aij)n×n，aij对应的代数余子式记作Aij．把A的每个元素都加上同一个数t，得到的矩阵记作A(t)=(aij+t)n×n．证明

正确答案：证明：|A(t)|的每一列都是两组数的和，利用行列式的性质，可以把|A(t)|拆成2n个行列式的和，由于两列相同，