考研数学二模拟406

考研数学二模拟406一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

下列各选项正确的是

A．若存在，存在，则必存在．

B．若不存在，不存在，则必不存在．

C．若不存在，存在，则必存在．

D．若不存在，存在，则必不存在．正确答案：A[解析]函数乘积的极限存在性定理如下：若存在，也存在，则一定存在；若这两者一个存在，另一个不存在，则的存在性是不确定的；若不存在，也不存在，则的存在性是不确定的．

2.

设有以下结论：

则以上结论中正确的是A.①②．B.③④．C.①④．D.②③．正确答案：D[解析]先看结论②，

结论②说的是定积分(注意：很多同学认为是反常积分，其实不然，因为存在)等于0．

现在来验证一下．

请看如下定理：

设是一个定积分，如果f(x)在区间[-a，a]上连续且，f(x)在区间[-a，a]上是一个奇函数，则定积分

有同学认为虽为奇函数，但在区间[-1，1]上并不连续，因此不能使用上述定理，的确，在区间[-1，1]上并不连续，但由于定积分的被积函数在某一点处的函数值是完全无所谓的，所以可以把结论②中所说的“”改写为“”．这样一来，f(x)在区间[-1，1]上连续，且为奇函数，根据以上定理可知，结论②正确．

再看结论③．

在x=1，x=-1处没有定义．现在算一下，这两个极限只要有一个是∞，就说明是反常积分．通过计算可知和这两个极限都是∞，所以是反常积分，而不是定积分．

结论③说的是反常积分等于0．

请看以下定理：

设是一个反常积分，如果f(x)在除x=±c外的区间[-a，a]上连续(其中c为[-a，a]上的点)，且f(x)在除±c外的区间[-a，a]上是一个奇函数，且的值是一个常数，则反常积分．

根据以上定理来验证一下．

首先，在区间[-1，1]上除了x=±1连续(也就是说在区间(-1,1)上连续)，这是毫无疑问的，

其次，说在区间(-1,1)上是一个奇函数也对．

最后，看是否等于一个常数．通过计算可知答案是常数，所以结论③正确．

3.

设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)＜0，f"(x)＜0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＜0，则A.0＜dy＜Δy．B.0＜Δy＜dy．C.Δy＜dy＜0．D.dy＜Δy＜0．正确答案：B[解析]由于dy=f'(x0)的Δx，而题中说f'(x)＜0，故f'(x0)＜0．又由于Δx＜0，所以有dy＞0.

由于．而题中说f"(x)＜0，这说明对于定义域内的任意一个点来说，都有f"(x)＜0，所以f"(ξ)＜0．由于，f"(ξ)＜0，(Δx)2＞0，所以，从而Δy-dy＜0，即Δy＜dy.

又由于Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，题中说Δx＜0，说明x0+Δx＜x0，而f'(x)＜0，说明f(x)为减函数，所以Δy＞0.

综上，有0＜Δy＜dy.

4.

下列函数中，在[-1，2]上不存在定积分的是

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]对于D，

取，则f(xn)=(-1)n+1nπ．当n→+∞时，f(xn)→∞，故f(x)在[-1，2]上无界，因此，f在[-1，2]上不可积．

5.

设函数f(x)在x=x0处存在三阶导数，且f(x)'(x0)=0，f"(x0)=0，f'''(x0)=a＞0，则A.f(x0)是f(x)的极小值．B.f(x0)是f(x)的极大值．C.存在δ＞0，使得对任意的x∈(x0-δ，x0)，曲线y=f(x)是凹的；对任意的x∈(x0，x0+δ)，曲线y=f(x)是凸的．D.存在δ＞0，使得对任意的x∈(x0-δ，x0)，曲线y=f(x)是凸的；对任意的x∈(x0，x0+a)，曲线y=f(x)是凹的．正确答案：D[解析]本题需用到如下结论：

设f(x)在x=x0处n阶可导(也就是说f(x0)，f'(x0)，f"(x0)，…，f(n)(x0)均存在)，且f'(x0)=0，f"(x0)=0，…，f(n-1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0(n≥2).

情况①：若n为偶数且厂f(n)(x0)＜0，则x=x0为极大值点；

情况②：若n为偶数且f(n)(x0)＞0，则x=x0为极小值点；

情况③：若n为奇数，则x=x0不是极值点而是拐点．

由于题中说f'(x0)=0，f"(x0)=0，f'''(x0)=a＞0，故根据以上结论可得x=x0不是极值点而是拐点，所以函数值f(x0)既不是函数f(x)的极大值，也不是函数f(x)的极小值，所以选项A和选项B都是错误的，

由于题中说f'''(x0)=a，故说明函数f"(x)在x=x0处可导．根据可导的定义可知

将题中说的f'''(x0)=a代入式(1)，得

将题中说的f"(x0)=0代入式(2)，得

由式(3)可知

由于题中说a＞0，所以有

接下来用极限的局部保号性．

首先，对式(4)使用保号性，立刻可得：必存在一个x0的右去心邻域，使得当x在此邻域内取值时，有．既然x是在x0的右去心邻域内取值，就是说x＞x0，所以x-x0＞0．由于，x-x0＞0，所以立刻有：f"(x)＞0．也就是说：必存在一个x0的右去心邻域，使得当x在此邻域内取值时，有f"(x)＞0．

对式(5)使用保号性也是同理．

6.

设函数f(u，v)满足，已知，则

A．

B．

C．

D．0正确答案：B[解析]令u=x2，u-1-x，则．又由于

故

7.

设3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，E为3阶单位矩阵，则下列矩阵中可逆的是A.E-A.B.E+A.C.2E-A.D.2E+A.正确答案：D[解析]由于矩阵A的三个特征值是1，-1，2，所以矩阵2E+A的三个特征值是3，1，4．由于矩阵2E+A的三个特征值是3，1，4，故矩阵2E+A所对应的行列式|2E+A|=3×1×4-12．由于|2E+A|≠0，所以矩阵2E+A可逆．

8.

设A为n阶矩阵，A*为其伴随矩阵，已知线性方程组Ax=0的基础解系为解向量ξ1，则A*x=0的基础解系A.不存在．B.仅含一个非零解向量．C.含有n-1个线性无关的解向量．D.含有n个线性无关的解向量．正确答案：C[解析]方阵A的秩与方阵A*的秩的关系如下：

本题中说“线性方程组Ax=0的基础解系为解向量ξ1”，故r(A)=n-1，故r(A*)=1，故A*x=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量．

二、填空题1.

由直线y=-2x+4与x=1及y=0所围成的封闭图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为______．正确答案：[解析]

2.

微分方程xy'+x2y"=y'2满足初始条件y|x=0=2，y'|x=1=1的特解是______．正确答案：y=ln(1+x2)+2[解析]令y'=p(x)，则，于是，即

令，则p=ux，，于是

分离变量得

两端积分

得

从而

即

由y'|x=1-1得C2=-1，故．于是

又由y|x=0=2得C3=2，故所求特解为y=ln(1+x2)+2.

3.

已知则正确答案：[解析]等式两边同时对y求导，有

解得

4.

正确答案：[解析]

5.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对于任意的x，y，f(x)满足关系式

f(x+y)-f(x)=[f(x)-1]y+a(y)，

其中a(y)满足，则f'(x)与f(x)的关系式为______．正确答案：f'(x)=f(x)-1[解析]由于a(y)=f(x+y)-f(x)-[f(x)-1]y，故

令y=Δx，则，故f'(x)=f(x)-1.

6.

设n阶矩阵A为反对称矩阵，则对于任意非零n维列向量x，xTAx=______．正确答案：0[解析]xTAx是一个数，而一个数的转置就是它本身．所以有

xTAx=(xTAx)T．(1)

而

(xTAx)T=xT(xTA)T=xTATx.

(2)

由A为反对称矩阵可知AT=-A，所以有

xTATx=-xTAx．(3)

由式(2)、式(3)得

(xTAx)T=-xTAx．(4)

由式(1)、式(4)得

xTAx=-xTAx.

(5)

由于xTAx为一个数，不妨设此数为a．根据式(5)有a=0．

三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

求微分方程y"+y=cosax的通解，其中常数a＞0.正确答案：[解]对于原方程对应的齐次线性方程y"+y=0，解特征方程r2+1=0，得r1，2=±i，故它的通解为Y=C1cosx+C2sinx．

当a=1时，设原方程的一个特解为y*=x(Mcosx+Nsinx)．

把y*和y*"代入原方程得

2Ncosx-2Msinx=cosx.

列方程组解得故

当a≠1时，设原方程的一个特解为y*=Mcosax+Nsinax

把y*和y*"代入原方程得

(1-a2)(Mcosax+Nsinax)=cosax．

列方程组解得

所以，原方程的通解为

2.

已知函数在x=0处连续，求a，b的值．正确答案：[解]

由拉格朗日中值定理得

sin(tanx)-sin(sinx)=cosξ(tanx-sinx)(ξ介于tanx与sinx之间)．

当x→0-时，sinx→0-，tanx→0-，则ξ→0-，故

由f(0-)=f(0+)=f(0)得解得

3.

计算二重积分，其中D是曲线y2=x，y2=2x在第一象限所围成的无界区域．正确答案：[解]积分区域D如下图所示．

4.

证明：正确答案：[证法一]设辅助函数F(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx．

当x＞0时，F"(x)＞0，故F'(x)在(0，+∞)内单调递增．

于是F'(x)>F'(0)=0，故F(x)在(0，+∞)内单调递增，

因此F(x)＞F(0)=0，即

(1+x)ln(1+x)＞arctanx.

又由于当x＞0时，arctanx＞0，故

[证法二]设辅助函数f(x)=(1+x)ln(1+x)，g(x)=arctanx．

由于函数f(x)、g(x)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，根据柯西中值定理，有

其中ξ∈(0，x)．

将

由于(1+ξ2)＞1，[1+ln(1+ξ)]＞1，所以有(1+ξ2)[1+ln(1+ξ)＞1，从而

5.

设，其中常数a＞0，求极限正确答案：[解]

根据夹逼准则，

6.

求函数z=f(x，y)=x2+y2-2x-4y在区域D={(x，y)|x2+y2≤20，y≥0}上的最大值和最小值．正确答案：[解]解方程组得D内部的驻点(1，2)，且有f(1，2)=-5．

在D的边界上，把y=0代入f(x，y)，得

z=x2-2x=(x-1)2-1易知，该函数在内有最小值-1，无最大值．

在D的边界上，把代入f(x，y)，得

令，得x1=2，x2=-2．

由于，该函数在上有最大值及最小值0，从而f(x，y)在D的边界上有最大值及最小值-1．

综上所述，f(x，y)在D上的最大值为，最小值为

7.

证明罗尔定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0；正确答案：[证]由最值定理可知，f(x)在[a，b]上有最大值M和最小值m.

若M=m，则f(x)=M=m，故对于任意x∈(a，b)，有f'(x)=0．

若M≠m，则M和m中至少有一个在(a，b)内的点ξ处取到．根据费马引理，f'(ξ)=0．

8.

设函数f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，g(x)在[a，b]上连续，且在[a，b]上满足

f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0．

证明：对于[a，b]上的任意x，有f(x)=0．正确答案：[证]采用反证法，

假设在区间[a，b]上，f(x)不恒为0，则由f(a)-f(b)=0可知．f(x)在[a，b]上存在正的最大值或负的最小值，

若f(x)在[a，b]上存在正的最大值，则设f(x)在x=x0处取得最大值f(x0)，即有

f(x0)＞0，f'(x0)=0，f"(x0)≤0．

把x=x0代入f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)，得

f"(x0)+g(x0)f'(x0)-f(x0)=f"(x0)-f(x0)＜0,与已知矛盾，故原假设不成立．

同理，若f(x)在[a，b]上存在负的最小值，原假设亦不成立，

综上所述，对于[a，b]上的任意x，有f(x)=0．

9.

求向量组α1=(1，2，1，3)T，α2=(1，1，-1，1)T，α3=(1，3，3，5)T，α4=(4，5，-2，7)T，α5=(-3，-5，-1，-7)T的秩和一个极大无关组，并将其余的向量用该极大无关组线性表出．正确答案：[解]

所以矩阵A的秩为3，从而向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩为3．

所以