考研数学二分类模拟题187

考研数学二分类模拟题187解答题1.

已知，求An(n≥2)．正确答案：解：对A分块为，则，则B=3E+J，于是

其中

又，C2=6C…，Cn=6n-1C，所以

设α=[α1，α2，…，an]T≠0，p=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT，试计算：2.

|A|；正确答案：解：

3.

An；正确答案：解：

当k≥2时，

(αβT)k=(αβT)(αβT)…(αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT=O，

故An=E+nαβT．

4.

A-1．正确答案：解：A2=(E+αβT)(E+αβT)=E+2αβT+αβTαβT=E+2αβT=2E+2αβT-E=2A-E．

2A-A2=E，A(2E-A)=E，

A-1=2E-A=E-αβT．

5.

A，B为n阶方阵，证明

正确答案：证：

6.

计算正确答案：解：

设有矩阵Am×n，Bn×m，且Em+AB可逆．7.

验证En+BA也可逆，且(En+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A；正确答案：证：(En+BA)[En-B(Em+AB)-1A]

=En+BA-B(Em+AB)-1A-BAB(Em+AB)-1A

=En+BA-B(Em+AB)(Em+AB)-1A=En．

故(En+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A．

8.

设

其中，利用第一问证明P可逆，并求P-1．正确答案：证：

其中X=[x1，x2，…，xn]T，Y=[y1，y2，…，yn]T．

因，由(1)知P=E+XYT可逆，且

9.

设A是主对角元素为0的4阶实对称矩阵，E是4阶单位矩阵，，且E+AB是不可逆的对称矩阵，求A．正确答案：解：设，则

因(E+AB)T=E+AB，故有b=c=d=e=0．

又E+AB不可逆，有，得，从而得

其中a是任意常数．

10.

设，问k满足什么条件时，kE+A是正定矩阵；正确答案：解：因A=AT，(kE+A)T=kET+AT=kE+A，故kE+A是实对称矩阵，

方法一由

知A有特征值λ1=0，λ2=λ3=3，则kE+A有特征值k，k+3，k+3，kE+A正定k＞0．

方法二

k+2＞0k＞-2；

综上，k＞0．

11.

A是n阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数k，使得kE+A是正定矩阵．正确答案：证：因A=AT，又(kE+A)T=kET+AT=kE+A，故kE+A是实对称矩阵．设A有特征值λ1，λ2，…，λn，且λ1≤λ2≤…≤λn，则kE+A有特征值k+λ1，…，k+λn，且k+λ1≤k+λ2≤…≤k+λn，

存在大于零的实数k，使得kE+A的特征值全部大于零，kE+A正定．

12.

设

证明A=E+B可逆，并求A-1．正确答案：证：因E和任意矩阵可交换(和B可交换)且B4=O，故

(E+B)(E-B+B2-B3)=E-B4=E，

故A=E+B可逆，且

A-1=(E+B)-1=E-B+B2-B3．

又

即得

13.

设A，B是n阶方阵，B及E+AB可逆，证明E+BA也可逆，并求(E+BA)-1．正确答案：证：E+BA=B(B-1+A)=B(E+AB)B-1，因B，E+AB可逆，故E+BA可逆，且

(E+BA)-1=[B(E+AB)B-1]-1=B(E+AB)-1B-1．

14.

设A=E-ξξT，ξ是非零列向量，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1；(2)当ξTξ=1时，A不可逆．正确答案：证：(1)A2=(E-ξξT)2=E-2ξξT+(ξξT)2=E-(2-ξTξ)ξξT=A2-ξTξ=1，即ξTξ=2-1=1．

(2)ξTξ=1，A2-A=A(A-E)=O，A≠E，AX=0有非零解，故|A|=0，即A不可逆．

15.

设A，B都是n阶对称矩阵，已知E+AB不可逆，证明：E+BA也不可逆．正确答案：证：|E+BA|=(E+BA)T|=|E+ATBT|=|E+AB|=0，故E+BA也不可逆．

16.

设A=(aij)n×n，且，i=1，2，…，n，求r(A*)及A*．正确答案：解：，i=1，2，…，n，可知|A|=0，r(A)≤n-1，当r(A)=n-1时，有r(A*)=1，当r(A)＜n-1时，有r(A*)=0，故有r(A*)≤1．

r(A*)=1时，A*=αβT，其中α，β为任意非零列向量；r(A*)=0时，A*=O．

17.

已知n阶矩阵

求|A|中元素的代数余子式之和，第i行元素的代数余子式之和，i=1，2，…，n及主对角线元素的代数余子式之和．正确答案：解：AA*=|A|E=E，

由A*可知：

18.

设矩阵A的伴随矩阵，且ABA-1=BA-1+3E，求B．正确答案：解：由题设知(A-E)BA-1=3E，两端右边乘A，得(A-E)B=3A，两端左边乘A-1，得A-1(A-E)B=3E，即(E-A-1)B=3E，则，其中|A*|=8=|A|3，|A|=2，从而得

(2E-A*)B=6E，B=6(2E-A*)-1．

故

19.

设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且

β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，

讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．正确答案：解：方法一设x1β1+x2β2+…+xsβs=0，即

(x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0．

因为α1，α2，…，αs线性无关，则其系数行列式

当s为奇数时，|A|=2≠0，方程组只有零解，则向量组β1，β2，…，βs线性无关；

当s为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组卢β1，β2，…，βs线性相关，

方法二显然

因为α1，α2，…，αs线性无关，则

r(β1，β2，…，βs)≤min{r(α1，α2，…，αs)，r(K)}=r(K)．

①r(K)=s|K|=1+(-1)s+1≠0，即s为奇数时，r(β1，β2，…，βs)=s，则向量组β1，β2，…，βs线性无关；

②r(K)＜s|K|=1+(-1)s+1=0，即s为偶数时，r(β1，β2，…，βs)＜s，则向量组β1，β2，…，βs线性相关．

20.

设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．正确答案：证：设kβ+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0，即

(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，等式两端左边乘A，得，则k1α1+…+ktαt=0．

由α1，α2，…，αt线性无关，得，所以β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

21.

已知

问a为何值时，

(1)向量组α1，α2，α3，α4线性相关；

(2)向量组α1，α2，α3，α4线性无关；

(3)α4能由α1，α2，α3线性表出，并写出它的表出式．正确答案：解：

故(1)a=4或a=12时，α1，α2，α3，α4线性相关．

(2)a≠4且a≠12时，α1，α2，α3，α4线性无关．

(3)a=4时，α4可由α1，α2，α3线性表出．

得出它的表出式为

α4=α1+α3．

22.

已知

问λ取何值时，

(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式唯一