考研数学二分类模拟题84

考研数学二分类模拟题84一、填空题1.

正确答案：．[解析]

也可以直接使用洛必达法则，但不如上面凑差函数直接等价代换方便．

2.

正确答案：．[解析]这是“1∞”型，，而，故

3.

正确答案：．[解析]这是“1∞”型，，

而，故

4.

正确答案：0[解析]令

In=∫e-xsinnxdx=-e-xsinnx+n∫e-xcosnxdx=-e-xsinnx-ne-xcosnx-n2In，

所以

即

(1)∫eaxsinbxdx是典型的循环积分(两次分部积分后再次出现本身)．

(2)本题实际上有着更一般的结论：

若f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，则．可用夹逼准则去推导，留给读者自练．

5.

=______．正确答案：．[解析]

而

由夹逼准则可知：原极限=．

6.

正确答案：．[解析]

7.

正确答案：．[解析]

8.

极限正确答案：sin1-cos1．[解析]

二、选择题1.

设函数f(x)=arctanx．若f(x)=xf'(ξ)，则

A．1．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]因为，且f(x)=xf'(ξ)，所以可知，从而．又当x→0时，，故

2.

设，则极限等于

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]

故

选项B正确．

3.

若，则为A.0．B.6．C.36．D.∞．正确答案：C

4.

已知，其中a，b是常数，则A.a=1，b=1．B.a=-1，b=1．C.a=1，b=-1．D.a=-1，b=-1．正确答案：C[解析]由知，

1-a=0，a+b=0，则a=1，b=-1．

5.

设，则

A．

B．a=0，b=-2．

C．

D．a=1，b=-2．正确答案：A[解析]解法1

由上式右端可知a=1，否则原式极限为无穷．

则

得．

解法2

由泰勒公式可知．

又

则

直接在分子中加一个x，减一个x，凑出ln(1+x)-x，然后拆开处理也是很简单的．

6.

等于

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]

7.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A.若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛．B.若{xn}单调，则{f(xn)}收敛．C.若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛．D.若{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B[解析]在选项B中，因为数列{xn}单调，考虑到f(x)是单调有界函数，所以数列{f(xn)}不仅单调，而且有界，从而收敛．

8.

设an＞0(n=1，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A.充分必要条件．B.充分非必要条件．C.必要非充分条件．D.既非充分也非必要条件．正确答案：B[解析]因为an＞0(a=1，2，…)，所以数列{Sn}是单调增加的．

如果{Sn}有界，根据单调有界准则，知{Sn}的极限存在，记由此可得

即数列{an}收敛．可知数列{Sn}有界是数列{an}收敛的充分条件．

但是，若{an}收敛，{Sn}却未必有界．例如，取an=1(n=1，2，…)，则{an}收敛，但Sn=n无上界．可见{Sn}有界并非是{an}收敛的必要条件，故应选B．

9.

当x→0时，x-sinx是x2的A.低阶无穷小．B.高阶无穷小．C.等价无穷小．D.同阶但非等价无穷小．正确答案：B[解析]解法1

由于，则当x→0时，x-sinx是x2的高阶无穷小．

解法2

由于x→0时，，故选B．

10.

设当x→0时，ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则

A．

B．a=1，b=1

C．

D．a=-1，b=1．正确答案：A[解析]解法1

由泰勒公式可知

由题设可知，

即

则，b=1．

解法2

由洛必达法则可知

若b≠1，上式右端趋于无穷，从而左端也趋于无穷，与原题设矛盾，所以b=1．

因此

，所以应选A．

11.

设x→0时，etanx-ex与xn是同阶无穷小，则n为A.1．B.2．C.3．D.4．正确答案：C[解析]当x→0时，

etanx-ex=exe(tanx-x-1)～ex(tanx-x)～tanx-x，

而

，

所以

因此选C．

可以仿照解答来验证：当x→x0时，若f(x)→0，g(x)→0，则ef(x)-eg(x)～f(x)-g(x)．

12.

设，则当x→0时，α(x)是β(x)的A.高阶无穷小．B.低阶无穷小．C.M阶但不等价的无穷小．D.等价无穷小．正确答案：C[解析]解法1

先利用洛必达法则求出，再根据此极限值进行判定．

故α(x)是β(x)同阶但不等价的无穷小量．

解法2

，故选C．

三、解答题1.

求极限正确答案：解法1

解法2

解法3

由x→0时，，知，于是

解法4

由于，则，于是

2.

求极限正确答案：解法1

解法2

遇到当x→0时．分子含sinx，arcsinx，tanx，arctanx，分母对应为x3或者分子含ln(1+x)，分母对应是x2时都可以采用解法2这种加减项拆开凑常见差函数的等价方法进行求解．

3.

求极限正确答案：解

因为

且

所以

4.

设函数f(x)连续，且f(0)≠0，求极限正确答案：解法1

解法2

解法3

5.

已知函数．设，试求α的取值范围．正确答案：解

因为

由题意，得α＞1．

又因为

由题意，得α＜3．

综上所述，1＜α＜3．

6.

求极限正确答案：解

7.

已知，求常数a．正确答案：解

这是“1∞”型，直接有，则a=ln3．

8.

确定常数a，b，c的值，使．正确答案：解

由于x→0时，ax-sinx→0且

故b=0．再用洛必达法则：

若a≠1，则上式为∞，与条件不符，故a=1，从而再用洛必达法则(或等价无穷小代换)，得．

9.

比较的大小，说明理由；正确答案：解

当0≤t≤1时，因为0≤ln(1+t)≤t，所以

0≤|lnt|[ln(1+t)]n≤tn|lnt|，

因此

10.

记un=|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限．正确答案：解

由上一小题知

因为

所以．故由夹逼准则可知．[解析](1)本题第一问用到基本不等式：，x∈(0，+∞)．

(2)第二问实际上是有着更一般的结论：若f(x)在[0，1]上连续，则(读者可用夹逼准则简单验证)，于是由于，记f(t)=t|lnt|，0＜t≤1，则可补充定义f(0)=0，这样f(t)=t|lnt|在0≤t≤1上便是连续的，根据上面的结论便有，再由夹逼准则知，

11.

设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数，(n=1，2，…)，证明数列{an}的极限存在．正确答案：证

由题设可得

因此

即数列{an}有下界．又

即数列{an}单调减少，故由单调有界数列必有极限的准则知数列{an}的极限存在．

12.

设0＜x1＜3，(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．正确答案：解

由题设0＜x1＜3知，x1，3-x1均为正数，故

设当k＞1时，，则

故由数学归纳法知，对任意正整数n＞1，均有，即数列{xn}是有界的．

又当n＞1时，

故当n＞1时，xn+1≥xn，即数列{xn}单调增加．

所以由单调有界数列极限存在的准则知存在．

设，由

得

解之得，a=0(舍去)．即

设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)．13.

证明存在，并求该极限；正确答案：证

用归纳法证明{xn}单调下降且有下界．

由0＜x1＜π，得

0＜x2=sinx1＜x1＜π．

设0＜xn＜π，则

0＜xn+1=sinxn＜xn＜π，

所以{xn}单调下降且有下界，故存在．

记由xn+1=sinxn得a=sina，所以a=0，即．

14.

计算．正确答案：解

因为

又因上一小题知，所以

[解析](1)本题用到基本不等式sinx＜x＜tanx，．

(2)第二问中不能对数列直接使用洛必达法则，需要转化为函数形式才可以使用洛必达法则进行求导．

15.

证明：对任意的正整数n，都有成立；正确答案：证法1

令f(x)=lnx(x＞0)．对任意正整数n，根据拉格朗日中值定理，得

其中n＜ξ＜n+1，所以

证法2

令F(x)=x-ln(1+x)(x＞0)，则

即当x＞0时F(x)单调增加．又F(0)=0，所以F(x)＞0(x＞0)，从而

再令，则

即G(x)(x＞0)单调增加．又G(0)=0，所以G(x)＞0(x＞0)，从而

综上可知，有

证法3

令，可知．

又

即F(x)(x＞0)单调减少，所以F(x)＞0(x＞0)，故

再令，可知

又

即G(x)(x＞0)单调减少，所以G(x)＞0(x＞0)，故

综上可知，有

．

证法4

因为，且

所以．

16.

设(n-1，2，…)，证明数列{an}收敛．正确答案：证

由上一小题知，当n≥1时

故数列{an}单调减少且有下界，所以{an}收敛．

17.

证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根；正确答案：证

令f(x)=xn+xn-1+…+x-1(n＞1)，则f(x)在上连续．且

故由闭区间上连续函数的零点定理知，f(x)在区间内至少有一个零点，即方程xn+xn-1+…+x=1在区间内至少有一个实根．

又

故f(x)在内单调增加，可知f(x)在区间内只有一个零点．从而方程f(x)=0，即xn+xn-1+…+x=1在区间内有且仪有一个实根．

18.

记上一小题中的实根为xn，证明存在，并求此极限·正确答案：解

由于，所以数列{xn}有界．又

而，所以

即

显然方括号内各项均为正，于是有

xn≥xn+1，n=2，3，…，

即{xn}单调减少．

由以上讨论知，数列{xn}单调有界，故{xn}收敛，设．由于

令n→∞，并注意到，则有，解得，

即．[解析]本题是一道综合题，考查方程的根的存在性及个数、数列的单调有界准则．

设函数．