考研数学二分类模拟题83

考研数学二分类模拟题83一、填空题1.

设函数则函数f[f(x)]=______．正确答案：1[解析]由知，对一切的x，|f(x)|≤1，则f[f(x)]=1．

函数的复合是一种重要的运算，求两个分段函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数y=f[g(x)]，实际上就是将u=g(x)代入y=f(u)中，关键是搞清楚u=g(x)的函数值落在y=f(u)定义域的哪一部分．

2.

正确答案：e-3．[解析]这是“1∞”型，直接有．

3.

正确答案：0[解析]，而

故e0=1．

最后一步的极限是使用洛必达法则计算，即，这是一个重要极限，在后来考题中多次出现．

4.

正确答案：．[解析]

5.

．正确答案：-1[解析]由于则

6.

正确答案：0[解析]当x→0时，，原式

7.

正确答案：0[解析]

8.

正确答案：2[解析]解法1

由于x→∞时，

则．同理可得．原式=3-1=2．

解法2

其中第一个等号是对f(x)=sinx使用了拉格朗日中值定理，此时ξ介于之间，当x→∞时，容易看出ξ→0，于是cosξ→1．

9.

正确答案：．[解析]

10.

正确答案：．[解析]

11.

正确答案：．[解析]

二、选择题1.

f(x)=|xsinx|ecosx(-∞＜x＜+∞)是A.有界函数．B.单调函数．C.周期函数．D.偶函数．正确答案：D[解析]由于f(-x)=|-xsin(-x)|ecos(-x)=|xsinx|ecosx=f(x)，则f(x)为偶函数．

2.

函数f(x)=xsinxA.当x→∞时为无穷大．B.在(-∞，+∞)内有界．C.在(-∞，+∞)内无界．D.当x→∞时有有限极限．正确答案：C[解析]由于f(2kπ)=2kπsin2kπ=0，．则f(x)在(-∞，+∞)内无界，但x→∞时，f(x)不是无穷大，也没有有限极限．则应选C．

要正确区分无穷大量与无界变量的区别与联系，无穷大量一定是无界变量，但反之不对；常见的是无界变量但不是无穷大量的有：x→0时，；x→∞时，xsinx．

3.

设则

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]

4.

当x→0时，变量是A.无穷小．B.无穷大．C.有界的，但不是无穷小的．D.无界的，但不是无穷大．正确答案：D[解析]取

取

则当x→0时，是无界的，但不是无穷大．

5.

设函数则g[f(x)]=

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]根据g(x)的定义知，复合函数

而x＜0时，f(x)=x2＞0；x≥0时，f(x)=-x≤0．故

6.

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A.当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B.当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C.当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D.当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：A

7.

设则f{f[f(x)]}=

A．0．

B．1．

C．

D．正确答案：B[解析]由于f(x)≤1，故f[f(x)]=1，因而

f{f[f(x)]}=1．

8.

设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数．

B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数．

C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数．

D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数．正确答案：A

9.

设数列xn与yn满足，则下列断言正确的是

A．若xn发散，则yn必发散．

B．若xn无界，则yn必有界．

C．若xn有界，则yn必为无穷小．

D．若为无穷小，则yn必为无穷小．正确答案：D[解析]直接法．由于，则，选D．

排除法．取xn=n，yn≡0，n=1，2，…，排除A；

取，排除B；

取，排除C．

10.

“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当，n≥N时，恒有|xn-a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A.充分条件但非必要条件．B.必要条件但非充分条件．C.充分必要条件．D.既非充分条件又非必要条件．正确答案：C[解析]本题考查考生对数列{xn}收敛于a的定义的理解．其定义是“对任意给定的ε1＞0，总存在正整数N1，当n＞N1时，恒有|xn-a|＜ε1”．两种说法相比较，似乎定义中的条件更强些，即由必能推出“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ε”．但其逆也是正确的．因为对任意给定的ε1＞0，取，则对此ε，存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ε，现取N1=N-1，于是有当n＞N1时，．所以以上两种说法是等价的，即选项C是正确的．

本题主要考查数列极限的“ε-N”语言．

11.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，，则必有

A．an＜bn对任意n成立．

B．bn＜cn对任意n成立．

C．极限不存在．

D．极限不存在．正确答案：D[解析]假设存在，则存在，这与矛盾，故不存在．

由极限的局部保号性容易得到极限的局部保序性：

，且A＞B，则N＞0，当n＞N时，有an＞bn．

对于本题，选项A，B说对任意的n成立，显然错了；

对于选项C．是典型的“0·∞”型未定式，其极限可能存在也可能不存在．

12.

当x→1时，函数的极限A.等于2．B.等于0．C.为∞．D.不存在但不为∞．正确答案：D[解析]由于

而

则极限不存在，但不是∞．

13.

设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限A.不存在．B.等于1．C.等于2．D.等于3．正确答案：C[解析]

因为，且，所以

从而

即C是正确的．

本题也可以先求出y"(0)=1，于是有，则

三、解答题1.

已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1-x且φ(x)≥0，求φ(x)并写出它的定义域．正确答案：解

由e[φ(x)]2=1-x，得．由ln(1-x)≥0得1-x≥1，即x≤0．所以，x≤0．

2.

求极限．正确答案：解

3.

求．正确答案：解

这是“1∞”型，直接有，

而

故

4.

求正确答案：解

因当x→0时,ex-1～x，，原式．

5.

求．正确答案：解

这是“1∞”型，直接有．

6.

计算．正确答案：解

这是“1∞”型，直接有，

而

故

求时，当然也可以转化为函数极限利用洛必达法则，但不如上面直接凑导数的定义方便．

7.

求正确答案：解

原极限

8.

求极限正确答案：解

作负代换t=-x，t→+∞，则

题目中是x→-∞且含有偶次开方号，此时作一个负代换转化为正的去处理是比较方便