考研数学二分类模拟212

考研数学二分类模拟212一、选择题1.

设A，B均为n阶矩阵，则下列结论正确的是______

A．AB=OA=O且B=O

B．A=O|A|=0

C．|AB|=0|A|=0或|B|=0

D．|A|=1A=E正确答案：C[解析]|AB|=|A||B|=0，故有|A|=0或|B|=0，反之亦成立。故选C。

取则AB=O，但A≠O，B≠O，选项A不成立。

取选项B不成立。

取选项D不成立。

2.

设A，B均为n阶矩阵，则必有______A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA|D.(A+B)-1=A-1+B-1正确答案：C[解析]因为|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，所以C项正确。

取B=-A，则|A+B|=0，而|A|+|B|不一定为零，故A项错误。

由矩阵乘法不满足交换律知，B项不正确。

因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D项也不正确。

故选C。

3.

设A为n阶方阵，且A+E与A-E均可逆，则下列等式中不成立的是______A.(A+E)2(A-E)=(A-E)(A+E)2B.(A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1C.(A+E)T(A-E)=(A-E)(A+E)TD.(A+E)(A-E)*=(A-E)*(A+E)正确答案：C[解析]由A与E可交换可得，A+E与A-E可交换，进而(A+E)2与A-E也可交换，故选项A成立。

显然，(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)。若在等式两边同时左、右乘(A+E)-1，可得(A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1；若先在等式两边同时左、右乘(A-E)-1，可得(A+E)(A-E)-1=(A-E)-1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以|A-E|，即得(A+E)(A-E)*=(A-E)*(A+E)。故选项B、D成立。

事实上，只有当ATA=AAT时，(A+E)T(A-E)=(A-E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如：取可见ATA≠AAT。故选C。

4.

设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是______A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D.(A+E)2=A2+2AE+E2正确答案：B[解析]由矩阵乘法的分配律可知

(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，

当且仅当矩阵A，B可交换(即AB=BA)时，(A+B)2=A2+2AB+B2成立。

由于A与A-1，A*，E都是可交换的，而A与AT不一定可交换。故选B。

5.

设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是______A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.|A+B|=|A|+|B|D.(AB)*=B*A*正确答案：D[解析]根据伴随矩阵的定义可知

(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=B*A*。

故选D。

一般地，处理伴随矩阵有两个思路：

(1)如果已知矩阵A可逆，则用公式A*=|A|A-1；

(2)如果矩阵A不可逆或矩阵A是否可逆未知，则使用伴随矩阵的定义或公式

AA*=A*A=|A|E。

6.

设A，B均为n阶对称矩阵，则下列说法中不正确的是______A.A+B是对称矩阵B.AB是对称矩阵C.A*+B*是对称矩阵D.A-2B是对称矩阵正确答案：B[解析]由题设条件，则

(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB。

所以有

(A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B，

从而选项A、D是正确的。

首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而(A*)T=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵。同理，B*也为对称矩阵。结合选项A可知，选项C是正确的。

因为(AB)T=BTAT=BA，从而选项B不正确。

注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。

故选B。

7.

设A，B均为n阶可逆矩阵，且(A+B)2=E，则(E+BA-1)-1=______A.(A+B)BB.E+AB-1C.A(A+B)D.(A+B)A正确答案：C[解析]因为

(E+BA-1)-1=(AA-1+BA-1)-1=[(A+B)A-1]-1=(A-1)-1(A+B)-1=A(A+B)，

故选C。

注意：由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B)-1=(A+B)。

8.

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=O，则______A.E-A不可逆，E+A不可逆B.E-A不可逆，E+A可逆C.E-A可逆，E+A可逆D.E-A可逆，E+A不可逆正确答案：C[解析]已知

(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E，

故E-A，E+A均可逆。故选C。

本题用到了立方差与立方和公式：

(A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3，(A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3，

该公式成立的充要条件是A，B可交换。本题中的A与E是可交换的，故可以使用该公式。

二、填空题1.

设α，β均为三维列向量，βT是β的转置矩阵，如果则αTβ=______。正确答案：5[解析]设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则

而有

可以看出αTβ就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以

αTβ=1+6+(-2)=5。

设α，β均为n维列向量，则αβT为n阶矩阵，βTα为一个数，且有βTα=tr(αβT)。

2.

设α为三维列向量，且则αTα=______。正确答案：2[解析]αTα等于矩阵伽ααT的对角线元素之和，即αTα=1+4-3=2。

3.

如果，且B2=E，则A2=______。正确答案：A[解析]已知且B2=E，则

即A2=A。

4.

设a=(1，2，3)T，，A=αβT，则A3=______。正确答案：[解析]且矩阵的乘法满足结合律，所以

5.

已知2CA-2AB=C-B，其中A=B=则C3=______。正确答案：[解析]由2CA-2AB=C-B，得2CA-C=2AB-B，因此有C(2A-E)=(2A-E)B。

因为可逆，所以C=(2A-E)B(2A-E)-1，于是

6.

与矩阵可交换的矩阵为______。正确答案：其中x2和x4为任意实数[解析]设矩阵与A可交换，则由AB=BA可得

即x3=-2x2，x1=4x2+x4，所以

其中x3和x4为任意实数。

如果需要求出矩阵方程中未知矩阵的每一个分量，则可以设矩阵的每个分量为一个未知数，根据题干已知的矩阵方程建立线性方程组，解方程组得出矩阵的每一个分量，从而确定矩阵的具体形式。

7.

设方阵A满足A2-A-2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩阵，则(A+2E)-1=______。正确答案：[解析]由A2-A-2E=O，可得(A+2E)(A-3E)=-4E，于是有

(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1，

因此

8.

设且A，B，X满足(E-B-1A)TBTX=E，则X-1=______。正确答案：[解析]由(E-B-1A)TBTX=E，得[B(E-B-1A)]TX=E，即(B-A)TX=E，因此

9.

设B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=______。正确答案：[解析]

B+E=(E+A)-1(E-A)+E=(E+A)-1(E-A)+(E+A)-1(E+A)

=(E+A)-1[(E-A)+(E+A)]=2(E+A)-1，

可得

已知

10.

设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=则(B-2E)-1=______。正确答案：[解析]已知AB=2A+3B，于是有AB-2A-3B+6E=6E，则有(A-3E)(B-2E)=6E。从而

三、解答题1.

已知求An。正确答案：解：方法一：首先观察

由此推测

下面用数学归纳法证明此结论成立。

当n=1时，结论显然成立；假设n=k时成立，则n=k+1时，

由数学归纳法知

方法二：把矩阵A作如下拆分

2.

已知求An。正确答案：解：将矩阵A分块，即

将B改写成B=3E+P，于是

其中Pi=O(i=3，4，…，n)。

将C改写成则C2=6C，…，Cn=6n-1C，所以

3.

已知AX+X+B+BA=O，求X2006。正确答案：解：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=-B(E+A)，而A+E是可逆的，所以

X=-(A+E)-1B(E+A)，

故

X2006=(A+E)-1B2006(E+A)=(A+E)-1(E+A)=E。

4.

已知PA=BP，其中求A2008。正确答案：解：|P|=6，则矩阵P可逆。由PA=BP可得A=P-1BP，于是A2008=P-1B2008P。

又因为

所以

A2008=P-1P=E。

5.

已知2CA-2AB=C-B，其中求C3。正确答案：解：由2CA-2AB=C-B得2CA-C=2AB-B，即C(2A-E)=(2A-E)B。

因为且|2A-E|=1，所以2A-E可逆，于是

6.

已知A，B为三阶方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是三阶单位矩阵。

(Ⅰ)证明：矩阵A-2E可逆；

(Ⅱ)若求矩阵A。正确答案：解：(Ⅰ)由2A-1B=B-4E知，AB-2B-4A=O。

所以

(A-2E)(B-4E)=8E，

即

故A-2E可逆，且

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知A=2E+8(B-4E)-1，而

故[解析]当题目中给出了矩阵方程，要证明某矩阵可逆或计算其逆矩阵时，一般的思路是利用矩阵的运算法则对等式进行变形，凑出该矩阵与另一矩阵的乘积为E。

7.

设矩阵且A3=O。(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E，E为三阶单位阵，求X。正确答案：解：(Ⅰ)由题设可知A的特征根为0，则tr(A)=3a=0，故a=0。

(Ⅱ)由题设可知，X(E-A2)-AX(E-A2)=E，(X-AX)(E-A2)=E，则X=(E-A)-1(E-A2)-1，即[解析]对于矩阵方程，一般需要利用矩阵的运算法则对等式进行变形化简。一般来说，矩阵方程最终可能化为如下三