考研数学二分类模拟题58

考研数学二分类模拟题58一、填空题1.

设，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=______．正确答案：2

1[解]，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1.

2.

设η为非零向量，，η为方程组AX=0的解，则a=______，方程组的通解为______．正确答案：3

k(-3，1，2)T[解]AX=0有非零解，所以|A|=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2)T．

二、选择题1.

设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是______.A.r(A)=sB.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n正确答案：A[解]设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0，因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．

2.

设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是______.

A．AX=b的通解为k1η1+k2η2

B．η1+η2为AX=b的解

C．方程组AX=0的通解为k(η1-η2)

D．AX=b的通解为正确答案：C[解]因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A*≠O，所以r(A)=n-1，η2-η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．

3.

设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n阶矩阵，下列四个命题：

(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)

(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解

(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)

(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解

以上命题正确的是______.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)正确答案：B[解]若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．

4.

设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则______.A.当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B.当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C.当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D.当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解正确答案：A[解]AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．

5.

设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______.A.r(A)=mB.r(A)=nC.A为可逆矩阵D.r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D[解]方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．

三、解答题1.

设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．正确答案：[证明]令，因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1=0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．

2.

设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2.讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．正确答案：[解]

(1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；

(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0)T+k2(-1，0，1，…，0)T+…+kn-1(-1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；

(3)令，当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1)T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1)T(k为任意常数)．

3.

设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又且AB=O，求方程组AX=0的通解．正确答案：[解]由AB=O得r(A)+r(B)≤3且，r(A)≥1.

(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(k1，k2为任意常数)；

(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，

当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为(C为任意常数)；

当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，

由，得通解为(k1，k2为任意常数)．

4.

a，b取何值时，方程组正确答案：[解]

(1)a≠1时，唯一解为

(2)a=1，b≠-1时，因此方程组无解，

(3)a=1，b=-1时，通解为X=k1(1，-2，1，0)T+k2(1，-2，0，1)T+(-1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)．

5.

A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．正确答案：[证明]方程组的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．

因为，所以方程组有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．

设(Ⅰ)，α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中6.

求方程组(Ⅰ)的基础解系；正确答案：[解]方程组(Ⅰ)的基础解系为

7.

求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；正确答案：[解]因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，

为方程组(Ⅱ)的基础解系；

8.

(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．正确答案：[解]方程组(Ⅰ)的通解为，方程组(Ⅱ)的通解为

令，则有，取k2=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1，1，1，1)T(其中k为任意常数)．

设9.

求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；正确答案：[解]

10.

求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．正确答案：[解]方法一

(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即为的解，

(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(k为任意常数)．

方法二

(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ)，

故(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(-k，k，2k，k)T=k(-1，1，2，1)T(k为任意常数)．

方法三

(Ⅰ)的通解为，(Ⅱ)的通解为

令

∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(k为任意常数)．

11.

问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?正确答案：[解]方法一

的通解为(k为任意常数)，

把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得

方法二

因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关，

α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α1=-2β1+β2+aβ3a=-1，

α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，

α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α3=3β1+β2+β3c=4.

12.

证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)与(Ⅲ)是同解方程组．正确答案：[证明]令方程组(Ⅰ)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY=0及

若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)=r(Ab)，从而，又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；

反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则，从而r(A)=r(Ab)，故方程组(Ⅰ)有解．

13.

设的一个基础解系为写出的通解并说明理由．正确答案：[解]令，则(Ⅰ)可写为AX=0，

令

其中

则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，

为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，

因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系，通解为

14.

设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．正确答案：[证明]首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k0，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-r+k0η0=0，若k0=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构。有Bη0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．

设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．15.

证明：正确答案：[证明]因为所以

16.

设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．正确答案：[证明]因为所以方程组只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．

17.

设A为n阶矩阵，A11≠0.证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.正确答案：[证明]设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n从而|A|=0，

于是A*b=A*AX=|A|X=0.

反之，设A*b=0，因为B≠0，所以方程组A*X=0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)=1，且r(A)=n-1.

因为r(A*)=1，所以方程组A*X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A*A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A*X=0的一组解向量．

由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A*X=0的基础解系．

因为A*b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故即方程组AX=b有无穷多个解．

18.

证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．正确答案：[证明]令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，

因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即

n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；

又因为r[(AB)T]=r(AB)=r(BTAT)≤r(AT)=r(A)，

所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．

19.

证明：r(A)=r(ATA)．正确答案：[证明]只需证明AX=0与ATAX=0为同解方程组即可．

若AX0=0，则ATAX0=0.

反之，若ATAX0=0，则

所以AX=0与ATAX=0为同解方程组，从而r(A)=r(ATA)．

20.

设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r()=r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．正确答案：[证明]因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r.

设η0为方程组AX=b的一个特解，

令β0=η0，β1=ξ1+η0，β2=ξ2+η0，…，ηn-r=ξn-r+η0，显然β0，β1，β2，…，βn-r为方程

组AX=b的一组解．

令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即

(k0+k1+…+kn-r)η0-k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，

上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，

因为b为非零列向量，所以k0+k1+…+kn-r=0，于是

k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，

注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…kn-r=0，

故β0，β1，β2，…，βn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构