考研数学二分类模拟题54

考研数学二分类模拟题54一、填空题1.

设y=y(x)满足且有y(1)=1，则正确答案：[解]由得函数y=y(x)可微且积分得因为y(1)=1，所C=0，

于是故

2.

微分方程的通解为______.正确答案：[解]由得

令z=ey，则解得

所以原方程的通解为

3.

微分方程yy"-2(y')2=0的通解为______.正确答案：y=C或者[解]令y'=p，得代入原方程得

则p=0，或

当p=0时，y=C；

当时即

由得从而所以原方程的通解为y=C或者

4.

微分方程的通解为______.正确答案：[解]

所以

5.

以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______.正确答案：y'''-3y"+4y'-2y=0[解]特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ3-3λ2+4λ-2=0，所求方程为y'''-3y"+4y'-2y=0.

6.

设y(x)为微分方程y"-4y'+4y=0满足初始条件y(0)=1，y'(0)=2的特解，则正确答案：[解]y"-4y'+4y=0的通解为y=(C1+C2x)e2x，

由初始条件y(0)=1，y'(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x，

于是

二、选择题1.

设y(x)是微分方程y"+(x-1)y'+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的解，则______.A.等于1B.等于2C.等于0D.不存在正确答案：A[解]微分方程y"+(x-1)y'+x2y=ex中，令x=0，则y"(0)=2，

于是选A．

2.

二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为______.A.(ax+b)e-xB.x2e-xC.x2(ax+b)e-xD.x(ax+b)e-x正确答案：D[解]方程y"-2y'-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3，故方程y"-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选D．

3.

设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为______.A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1正确答案：D[解]因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y"a1(x)y'+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解为

C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)

即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D．

三、解答题设f(x)是连续函数.1.

求初值问题的解，其中a＞0；正确答案：[解]y'+ay=f(x)的通解为

由y(0)=0得C=0，所以

2.

若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有正确答案：[证明]当x≥0时，

因为e-ax≤1，所以

3.

设有微分方程y'-2y=φ(x)，其中，在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0.正确答案：[解]当x＜1时，y'-2y=2的通解为y=C1e2x-1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x-1；

当x＞1时，y'-2y=0的通解为y=C2e2x，根据给定的条件，

y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1，解得C2=1-e-2，y-(1-e-2)e2x，

补充定义y(1)=e2-1，则得在(-∞，+∞)内连续且满足微分方程的函数

4.

设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解.正确答案：[解]令P(x，y)=xy(z+y)-f(x)y，Q(x，y)=f'(x)+x2y，因为[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为全微分方程，所以即f"(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2，由f(0)=0，f'(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2-2.

原方程为[xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，即

原方程的通解为

5.

利用变换x=arctant将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解.正确答案：[解]

代入整理得

的特征方程为λ2+2λ+1=0，特征值为λ1=λ2=-1，

则的通解为y=(C1+C2t)e-t+t-2，

故原方程通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2.

6.

设f(x)为偶函数，且满足正确答案：[解]

则有，因为f(x)为偶函数，所以f'(x)是奇函数，

于是f'(0)=0，代入上式得f(0)=1.

将两边对x求导数得

f"(x)+2f'(x)-3f(x)=-3，

其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代入得f(x)=1.

7.

设二阶常系数线性微分方程y"+ay'+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解.正确答案：[解]将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得

(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有

原方程为y"-3y'+2y=-ex．

原方程的特征方程为λ2-3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，则y"-3y'+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．

8.

设且二阶连续可导，又正确答案：[解]由则

由对称性得

由得或rf"(r)+f'(r)=0，

解得rf'(r)=C1，由f'(1)=2得C1=2，于是

f(r)=lnr2+C2，由f(1)=0得C2=0，所以f(x)=lnx2．

设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且9.

求f'(x)；正确答案：[解]两边求导数，得

再由f(0)=1，f'(0)+f'(0)=0，得f'(0)=-1，所以C=-1，于是

10.

证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1.正确答案：[证明]当x≥0时，因为f'(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1.

令

由

11.

设y=y(x)二阶可导，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数.

(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；

(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.正确答案：[解]

代入原方程得y"-y=sinx，特征方程为r2-1=0，特征根为r1，2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得故于是方程的通解为由初始条件得C1=1，C2=-1，满足初始条件的特解为

12.

设函数f(x，y)可微，正确答案：[解]由

解得f(0，y)=siny+C.

由得C=0，即f(0，y)=siny．

又由得lnf(x，y)=-x+lnφ(y)，

即f(x，y)=φ(y)e-x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e-xsiny．

设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0.将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为，求：13.

f(x)；正确答案：[解]由题设知，两边对a求导，得

令即

14.

f(x)的极值.正确答案：[解]因为

又因为所以为极大值.

设函数f(x)满足xf'(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x