考研数学二分类模拟题51

考研数学二分类模拟题51解答题1.

设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：正确答案：[证明]方法一

令

因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以

而

故

方法二

令

由得φ(b)≥φ(a)=0，所以

2.

设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少.证明：

正确答案：[证明]

当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得

同理相加得

当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得

同理

相加得

3.

设f(x)在[a，b]上连续且单调减少.证明：当0＜k＜1时，正确答案：[证明]方法一

其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，

所以故

方法二

当x∈[0，1]时，因为0＜k＜1，所以kx≤x，

又因为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x)，两边积分得

故

4.

设f(x)在[0，1]上连续且|f'(x)|≤M.证明：正确答案：[证明]

因为

同理

于是

5.

设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，证明：正确答案：[证明]由微分中值定理得f(x)-f(0)=f'(ξ)x，其中ξ介于0与x之间，

因为f(0)=0，所以|f(x)|="f'(ξ)x|≤Mx，z∈[0，a]，

从而

6.

设f'(x)在[0，1]上连续，且f(1)-f(0)=1.证明：正确答案：[证明]由

得

7.

设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0.证明：

正确答案：[证明]由f(a)=0，得由柯西不等式得

积分得

8.

设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0.证明：

正确答案：[证明]因为且f(a)=f(b)=0，所以

两式相加得

9.

设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：

正确答案：[证明]因为f(x)在[a，b]上连续，所以|f(x)|在[a，b]上连续，令

根据积分中值定理，其中ξ∈[a，b]．

由积分基本定理，取绝对值得

10.

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f"(x)＜0.证明：正确答案：[证明]由泰勒公式，得，其中ξ介于与t之间，从而积分得

11.

设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0.证明：

正确答案：[证明]由泰勒公式得其中ξ介于x与之间，因为f"(x)≥0，所以有两边积分得

令

因为f"(x)≥0，所以f'(x)单调不减，于是φ'(x)≥0(a≤x≤b)，

由得φ(b)≥0，于是

故

12.

设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0.证明积分不等式：正确答案：[证明]令再令则有

两边积分，得

设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1.13.

确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；正确答案：[解]直线y=ax与抛物线y=x2的交点为(0，0)，(a，a2).

当0＜a＜1时，

令得，因为所以时，S1+S2取到最小值，此时最小值为

当a≤0时，

因为所以S(a)单调减少，故a=0时S1+S2取最小值，而S(0)=因为所以当时，S1+S2最小．

14.

求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.正确答案：旋转体的体积为

15.

求曲线y=3-|x2-1|与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积.正确答案：[解]显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕y=3旋转所成的体积．

当x≥0时，对[x，x+dx][0，1]，

dV1=x{32-[3-(x2+2)]2)dx=π(2x2-x4+8)dx，

16.

求椭圆与椭圆所围成的公共部分的面积.正确答案：[解]根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的4倍，先求第一象限的面积．

令则

的极坐标形式为L1：

的极坐标形式为

令

则第一象限围成的面积为

而

所以所求面积为

17.

计算正确答案：[解]令-sinx=u，则

18.

计算正确答案：[解]

19.

计算定积分正确答案：[解]方法一

令

方法二

令x=tant，则

20.

证明：，其中a＞0为常数.正确答案：[证明]因为

所以

21.

证明：当x≥0时，的最大值不超过正确答案：[证明]当x＞0时，令f'(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x-kπ(k=1，2，…)，当0＜x＜1时，f'(x)＞0；当x＞1时，f'(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f'(x)＜0)，于是x=1为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)．因为当x≥0时，sinx≤x，所以当x∈[0，1]时，(x-x2)sin2nx≤(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2，

于是

22.

设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]满足：

f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2).

证明：正确答案：[证明]因为

所以

又

所以

23.

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且证明：正确答案：[证明]因为f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)．

取因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又于是有把中，再由φ(x)≥0，得

f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f'(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]，

上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得

24.

令f(x)=x-[x]，求极限正确答案：[解]因为[x+m]=[x]+m(其中m为整数)，所以f(x)=x-[x]是以1为周期的函数，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表达式为对充分大的x，存在自然数n，使得n≤x＜n+1，则

而同理

所以得

显然当x→+∞3时，n→+∞，由夹逼定理得

25.

为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口.设井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗中漏掉.现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?正确答案：[解]设拉力对空斗所做的功为W1，则W1=400×3