考研数学二分类模拟214

考研数学二分类模拟214一、选择题1.

设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。记则A=______

A．P1P2

B．

C．P2P1

D．正确答案：D[解析]由题设条件可知，矩阵P1，P2正是和题中所给的初等变换对应的初等矩阵，根据初等矩阵的性质，有B=AP1和E=P2B，从而E=P2(AP1)，即，因此有A=，故选D。

2.

设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q-1AQ=______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]方法一：由可知矩阵A可相似对角化，且可逆矩阵P的列向量α1，α2，α3与对角矩阵的特征值1，1，2一一对应。由此可知，λ=1是矩阵A的二重特征值，且λ=1对应的特征向量为α1，α2，则α1+α2还是属于λ=1的特征向量。从而故选B。

方法二：

3.

设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得到矩阵B，再将B的第一列的-1倍加到第二列得到矩阵C。记则______A.C=P-1APB.C=PAP-1C.C=PTAPD.C=PAPT正确答案：B[解析]令则Q=P-1。P是将单位矩阵的第二行加到第一行所得的初等矩阵，则B=PA；Q是将单位矩阵第一列的-1倍加到第二列所得的初等矩阵，则C=BQ。所以C=PAQ=PAP-1。故选B。

初等矩阵的考查核心是它们和初等变换的关系，具体内容可以总结如下：

定理：对矩阵A左乘一个初等矩阵，等于对A作相应的初等行变换；对矩阵A右乘一个初等矩阵，等于对A作相应的初等列变换。

推论：所有初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为同类的初等矩阵。具体来说，有

4.

设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中不一定成立的是______A.若|A|＞0，则|B|＞0。B.如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E。C.如果A与E合同，则|B|≠0。D.存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B。正确答案：A[解析]两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。

当A可逆时，r(A)=n，所以r(B)=n，即B是可逆的，故B-1B=E，选项B成立。

矩阵的合同是一种等价关系，若A与E合同，则r(A)=r(E)=n，由选项B可知，选项C成立。

矩阵A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，选项D成立。

事实上，当|A|＞0(即A可逆)时，我们只能得到|B|≠0(即B可逆)。故选A。

5.

设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则______A.r＞r1B.r＜r1C.r=r1D.r与r1的关系依C而定正确答案：C[解析]因为B=AC=EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)=r(A)。故选C。

6.

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______A.当m＞n，必有行列式|AB|≠0B.当m＞n，必有行列式|AB|=0C.当n＞m，必有行列式|AB|≠0D.当n＞m，必有行列式|AB|=0正确答案：B[解析]因为AB是m阶方阵，且

r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，

所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，从而|AB|=0。故选B。

7.

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB=E，则______A.r(A)=m，r(B)=mB.r(A)=m，r(B)=n。C.r(A)=n，r(B)=mD.r(A)=n，r(B)=n。正确答案：A[解析]因为AB=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m。故选A。

8.

设B是4×2的非零矩阵，且AB=O，则______A.a=1时，B的秩必为2B.a=1时，B的秩必为1C.a≠1时，B的秩必为1D.a≠1时，B的秩必为2正确答案：C[解析]当a=1时，易见r(A)=1；当a≠1时，则

即r(A)=3。

由于AB=O，A是3×4矩阵，所以r(A)+r(B)≤4。

当a=1时，r(A)=1，1≤r(B)≤3。B是4×2矩阵，所以B的秩可能为1也可能为2，因此选项A、B均不正确。

当a≠1时，r(A)=3，必有r(B)=1，选项D不正确。故选C。

9.

设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则______A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D.r(A，B)=r(AT，BT)正确答案：A[解析]对于选项A，设A=(α1，α2，…，αn)，AB=(β1，β2，…，βn)，则β1，β2，…，βn可由α1，α2，…，αn

线性表示，从而α1，α2，…，αn与α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn等价，故r(A，AB)=r(A)，A选项正确；

对于选项B，令

B选项错误；

对于选项C，max{r(A)，r(B))≤r(A，B)≤r(A)+r(B)，C选项错误；

对于选项D，令

故D错。

根据以上分析可知，本题选A。

关于秩的一些常用性质，考生一定要牢记。

①0≤r(Am×n)≤min{m，n}；②r(AT)=r(A)；③若，则r(A)=r(B)；④若P，Q可逆，则r(PAQ)=r(A)；⑤r(A+B)≤r(A)+r(B)；⑥r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；⑦若Am×nBn×t=O，则r(A)+r(B)≤n。

二、填空题1.

设(2E-C-1B)AT=C-1，其中E是四阶单位矩阵，AT是矩阵A的转置矩阵，

则A=______。正确答案：[解析]在等式(2E-C-1B)AT=C-1两边同时左乘C得(2C-B)AT=E。对上式两端同时取转置得A(2CT-BT)=E，则

2.

设矩阵则A3的秩为______。正确答案：1[解析]依矩阵乘法直接计算得

故r(A3)=1。

3.

设r(A)=2，则a=______。正确答案：0[解析]对A作初等行变换，则有

当a=0时，r(A)=2。

4.

已知n阶矩阵则r(A2-A)=______。正确答案：1[解析]因为A2-A=A(A-E)，且矩阵可逆，所以r(A2-A)=r(A-E)，而r(A-E)=1，所以r(A2-A)=1。

5.

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而则r(AB)=______。正确答案：2[解析]因为

所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。

6.

已知则秩r(AB+2A)=______。正确答案：2[解析]因为AB+2A=A(B+2E)，且

是可逆矩阵，所以r(AB+2A)=r(A)。

对A作初等行变换，则

因此可得r(AB+2A)=2。

7.

已知且AXA*=B，r(X)=2，则a=______。正确答案：0[解析]根据A可逆可知，其伴随矩阵A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得|B|=0，则

8.

设B是三阶非零矩阵，且AB=O，则a=______。正确答案：[解析]因为AB=O，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式|A|=0。而

所以

9.

已知B是三阶非零矩阵，且BAT=O，则a=______。正确答案：[解析]根据BAT=O可知，r(B)+r(AT)≤3，即r(A)+r(B)≤3。又因为B≠O，因此r(B)≥1，从而有r(A)＜3，即|A|=0，因此

于是可得

10.

设A是一个n阶矩阵，且A2-2A-8E=O，则r(4E-A)+r(2E+A)=______。正确答案：n[解析]已知A2-2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知

r(4E-A)+r(2E+A)≤n，

同时

r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，

因此

r(4E-A)+r(2E+A)=n。

三、解答题1.

设矩阵A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，其中E为四阶单位矩阵，求矩阵B。正确答案：解：由AA*=A*A=|A|E，知|A*|=|A|n-1，因此有8=|A*|=|A|3，于是|A|=2。

在等式ABA-1=BA-1+3E两边先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即

(2E-A*)B=6E。

于是

2.

已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求矩阵B。正确答案：解：在A*=|A|A-1两端取行列式可得|A*|=|A|4|A-1|=|A|3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以|A*|=8，即|A|=2。由ABA-1=BA-1+3E移项并提取公因式得(A-E)BA-1=3E，右乘A得(A-E)B=3A，左乘A-1得(E-A-1)B=3E。

由已求结果|A|=2，知

得

因此

B=3(E-A-1)-1=diag(6，6，6，-1)。

3.

设A，B满足A*BA=2BA-8E，其中求矩阵B。正确答案：解：|A|=-2，利用恒等式AA*=|A|E，在等式A*BA=2BA-8E两边同时左乘A右乘A-1得|A|B=2AB-8E，移项合并得(A+E)B=4E，则

4.

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。

(Ⅰ)证明B可逆；

(Ⅱ)求AB-1。正确答案：解：(Ⅰ)设Eij是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=EijA，因此有

|B|=|Eij||A|=-|A|≠0，

所以矩阵B可逆。

(Ⅱ)

5.

设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且|A|=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。正确答案：解：根据题意可知

其中所以|B|=|A|·|P|=-2。于是

B≈A=|B|·B-1·A=-2P-1·(A-1A)=-2P-1=

6.

设问k为何值时，可使得：

(Ⅰ)r(A)=1；

(Ⅱ)r(A)=2；

(Ⅲ)r(A)=3。正确答案：解：对A作初等变换，即

(Ⅰ)当k=1时，r(A)=1。

(Ⅱ)当k=-2时，r(A)=2。

(Ⅲ)当k≠1且k≠-2时，r(A)=3。

7.

设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明r(A)≤2。正确答案：证明：方法一：r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。

方法二：因为A=ααT+ββT，A为3×3矩阵，所以r(A)≤3。

因为α，β为三维列向量，所以存在三维列向量ξ≠0，使得

αTξ=0，βTξ=0，

于是

Aξ=ααTξ+

βTξ=0，

所以Ax=0有非零解，从而r(A)≤2。

8.

设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明

正确答案：证明：当r(A)=n时，|A|≠0，则有|A*|=|A|n-1≠0，从而A*可逆，即r(A*)=n。