考研数学二分类模拟195

考研数学二分类模拟195一、选择题1.

设函数则f(x)在(-∞，+∞)内______A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点正确答案：C[解析]本题可以先求出f(x)的表达式，再讨论其不可导点。

即f(x)的表达式为

可见f(x)仅在x=±1两点处不可导。故选C。

2.

设f(x)=|(x-1)(x-2)2(x-3)3|，则导数f'(x)不存在的点的个数是______A.0B.1C.2D.3正确答案：B[解析]考查带有绝对值的函数在x0点处是否可导，可以借助如下结论：

设f(x)为可导函数，则

①若f(x0)≠0，且f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处可导；

②若f(x0)=0，且f'(x0)=0，则|f(x)|在x0处可导；

③若f(x0)=0，且f'(x0)≠0，则|f(x)|在x0处不可导。

设φ(x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3，则f(x)=|φ(x)|。f'(x)不存在的点就是f(x)不可导的点，根据上述结论可知，使φ(x)=0的点x1=1，x2=2，x3=3可能为不可导点，故只需验证φ'(xi)(i=1，2，3)是否为零即可，而

φ'(x)=(x-2)2(x-3)3+2(x-1)(x-2)(x-3)3+3(x-1)(x-2)2(x-3)2，

显然，φ'(1)≠0，φ'(2)=0，φ'(3)=0，所以只有一个不可导点x=1。故选B。

3.

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为______A.0B.1C.2D.3正确答案：C[解析]由于3x3任意阶可导，本题实质上是考查分段函数x2|x|在x=0处的最高阶导数的存在性。

事实上，由可看出，f(x)在x=0处的二阶导数为零，三阶导数不存在。

故选C。

4.

已知y=f(x)由方程cos(xy)-lny+x=1确定，则=______A.2B.1C.-1D.-2正确答案：A[解析]将x=0代入方程得y=f(0)=1，在方程两边对x求导，得

代入x=0，y=1，知y'(0)=f'(0)=1。

故选A。

5.

设f(x)在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f(0)=0。则φ(x)在x=0处______A.不连续B.连续但不可导C.可导但φ'(x)在x=0处不连续D.可导且φ'(x)在x=0处连续。正确答案：D[解析]因为

所以φ(x)在x=0处连续。

x≠0时，则

故φ'(x)在x=0处连续。故选D。

6.

设函数则f(x)在x=0处______A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导正确答案：C[解析]显然f(0)=0，对于极限由于当x→0时，是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，因此f(x)在x=0处连续，排除A、B。

又因为不存在，所以f(x)在x=0处不可导。故选C。

7.

则f(x)在x=0处______A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续但不可导D.可导正确答案：C[解析]

由f'+(0)，f'-(0)都存在可得，f(x)在x=0右连续和左连续，所以f(x)在x=0连续；但f'+(0)≠f'-(0)，所以f(x)在x=0处不可导。故选C。

8.

设函数f(x)对任意的x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f'(0)=b，其中a，b为非零常数，则______A.f(x)在x=1处不可导B.f(x)在x=1处可导，且f'(1)=aC.f(x)在x=1处可导，且f'(1)=bD.f(x)在x=1处可导，且f'(1)=ab正确答案：D[解析]根据题意，令x=0，则f(1)=af(0)。由导数的定义可知，

且由f'(0)=b可知，

故故选D。

9.

设函数f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]因为

如果此极限存在，则由导数定义可知，函数f(x)在x=a处可导，即该极限存在是f(x)在x=a处可导的一个充分条件。故选D。

10.

下列函数中在x=0处不可导的是______

A．f(x)=|x|sin|x|

B．

C．f(x)=cos|x|

D．正确答案：D[解析]对于选项A，

故f'(0)=0；

对于选项B，

故f'(0)=0；

对于选项C，

故f'(0)=0；

对于选项D，

而

左、右导数不相等，f'(0)不存在，故选D。

本题计算函数的左导数和右导数的时候用到了等价无穷小替换，计算极限常用的等价无穷小替换还有

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ex-1～ln(1+x)。

二、填空题1.

g(x)为奇函数且在x=0处可导，则f'(0)=______。正确答案：2g'(0)[解析]由g(x)在x=0处可导可知，g(x)在x=0处连续。又因为g(x)是奇函数，所以g(0)=0。

根据导数的定义可得

2.

设函数则f'(x)=______。正确答案：[解析]当x≠0时，有

当x=0时，有

因此

3.

设f(x)可导，则正确答案：[解析]先考虑φ(x)的可导性并求导。

φ(x)在x=0处的左导数为

φ(x)在x=0处的右导数为

所以φ'(0)=0。

当x＞0时，

当x＜0时，

因此

4.

设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则正确答案：1[解析]当x=0时，y=1。对方程两边求导得

y'-1=ex(1-y)(1-y-xy')，

将x=0，y=1代入上式，可得y'(0)=1。

所以

5.

设y=(1+sinx)x，则dy|x=π=______。正确答案：-πdx[考点]本题属于基本题型[解析]方法一：运用等价转换y=(1+sinx)x=exln(1+sinx)，于是

因此dy|x=π=y'(π)dx=-πdx。

方法二：等式两边同时取对数，lny=xln(1+sinx)，求导得

于是

故有

dy|x=π=y'(π)dx=-πdx。

幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导。

6.

已知则y'=______。正确答案：[解析]等式两边取对数，则有

等式两边分别对x求导，有

整理得

7.

设函数y=f[f(x)]，则=______。正确答案：4[解析]由已知

而x＜1时，f'(x)=2，所以f'(-1)=f'(0)=2，代入可得

8.

设则f'(x)=______。正确答案：(1+3x)e3x[解析]先求出函数的表达式，即

于是f'(x)=e3x+x·e3x·3=(1+3x)e3x。

9.

已知则y"=______。正确答案：[解析]易知

则有

10.

设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，则f'(0)=______。正确答案：n![解析]由于

f'(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)+x[(x+2)…(x+n)+…+(x+1)(x+2)…(x+n-1)]，

所以f'(0)=n!。

三、解答题1.

设其中f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=f'(0)=1。

(Ⅰ)a，b为何值时，g(x)在x=0处连续；

(Ⅱ)a，b为何值时，g(x)在x=0处可导。正确答案：解：(Ⅰ)由题意

若要g(x)在x=0处连续，必须即b=-1。

故b=-1，a为任意实数时，g(x)在x=0处连续。

(Ⅱ)若要g(x)在x=0处可导，则必须g(x)在x=0处连续(b=-1)，且g'-(0)=g'+(0)，所以

所以当，b=-1时，g(x)在x=0处可导。

2.

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f'(0)存在且等于a(a≠0)，试证明对任意的x∈(-∞，+∞)，f'(x)都存在，并求f(x)。正确答案：解：将x=y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(0)=0，为证明f'(x)存在，则由导数定义

所以对任意x∈(-∞，+∞)，f'(x)都存在，且f'(x)=f(x)+aex。

解此一阶线性方程，得

又因f(0)=0，得C=0，即f(x)=axex。

3.

已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，且满足求f(x)。正确答案：解：设因为

故

由已知条件得因此

解得得C=1。故[解析]该题的极限形式属于1∞型，因此也可以通过重要极限来计算。

4.

设y=f(t)，u=g(x)，其中f，g均二阶可导且g'(x)≠0，求与。正确答案：解：由积分上限函数求导法则可得

再由复合函数求导法则可得

5.

设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数。

(Ⅰ)写出f(x)在[-2，2]上的表达式；

(Ⅱ)问k为何值时，f(x)在x=0处可导。正确答案：解：(Ⅰ)当-2≤x＜0，即0≤x+2＜2时，有

f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2-4]=kx(x+2)(x+4)。

所以，f(x)在[-2，2]上为

(Ⅱ)根据已知f(0)=0。

令f'-(0)=f'+(0)，得时，f(x)在x=