(二)全等三角形

期末整体复习提优专题复习提优(二)全等三角形

一、全等三角形的性质例1.(2024淮南期末)如图，△

ABC

≌△

AED

，点

D

在

BC

边上，若∠

EAB

＝50°，则∠

ADE

的度数是(

D

)例1题图A.

50°B.

55°C.

60°D.

65°D解析：∵△

ABC

≌△

AED

，∴∠

BAC

＝∠

EAD

，∠

EDA

＝∠

C

，

AD

＝

AC

，∴∠

DAC

＝∠

EAB

＝50°，∴∠

ADE

＝∠

ADC

＝∠

C

＝65°.变式1.1(2024上海闵行区期中)如图，Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

A

＝15°，△

ABC

≌△A'B'C，若A'B'恰好经过点

B

，A'C交

AB

于点

D

，则∠BDA'的度数为

°.变式1.1题图135

解析：∵∠

ACB

＝90°，∠

A

＝15°，∴∠

ABC

＝90°－15°＝75°.∵△

ABC

≌△A'B'C，

∴

BC

＝B'C，∠B'＝∠

ABC

＝75°，∴∠B'＝∠CBB'＝75°，∴∠BCB'＝180°－

75°×2＝30°，∴∠

BCD

＝90°－30°＝60°，∴∠BDA'＝∠

ABC

＋∠

BCD

＝75°＋60°

＝135°.

根据已知条件找准全等三角形的对应边和对应角，然后结合三角形的内角

和与等腰三角形性质进行计算.二、全等三角形的判定例2.(2024济宁曲阜期末)如图，

AB

平分∠

DAC

，增加下列一个条件，不能判定△

ABC

≌△

ABD

的是(

B

)例2题图A.

∠

CBA

＝∠

DBA

B.

BC

＝

BD

C.

AC

＝

AD

D.

∠

C

＝∠

D

B解析：∵

AB

平分∠

DAC

，∴∠

CAB

＝∠

DAB

.

A.

∠

CAB

＝∠

DAB

，

AB

＝

AB

，

∠

CBA

＝∠

DBA

，符合全等三角形的判定定理ASA，能判定△

ABC

≌△

ABD

，故本

选项不符合题意；B.

∠

CAB

＝∠

DAB

，

AB

＝

AB

，

BC

＝

BD

，不符合全等三角

形的判定定理，不能判定△

ABC

≌△

ABD

，故本选项符合题意；C.

AC

＝

AD

，∠

CAB

＝∠

DAB

，

AB

＝

AB

，符合全等三角形的判定定理SAS，能判定△

ABC

≌△

ABD

，故本选项不符合题意；D.

∠

C

＝∠

D

，∠

CAB

＝∠

DAB

，

AB

＝

AB

，符合全等三角形的判定定理AAS，能判定△

ABC

≌△

ABD

，故本选项不符合题意.例2题图变式2.1

开放性设问

(2024三亚期末)如图所示，已知

AB

⊥

BC

，

AD

⊥

DC

，要使△

ABC

≌△

ADC

.

(1)若利用AAS，需补充一个条件

⁠；(2)若利用HL，需补充一个条件

⁠.

熟练掌握三角形全等的判定方法，结合图形分析已有的边、角相等关系，

根据不同判定方法补充相应条件.∠

BAC

＝∠

DAC

(答案不唯一)

AB

＝

AD

(答案不唯一)

三、角平分线的性质与判定例3.(2024北京期末)如图，在△

ABC

中，

CD

是

AB

边上的高线，∠

ABC

的平分线交

CD

于点

E

，当

BC

＝6，△

BCE

的面积为3时，

DE

的长为

⁠.1

从角平分线上的指定点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质判定垂线

段关系，结合三角形面积公式求解.

一、选择题1.

若△

ABC

与△

DEF

全等，

A

和

E

，

B

和

D

分别是对应点，则下列结论错误的是

(

A

)A.

BC

＝

EF

B.

∠

B

＝∠

D

C.

∠

C

＝∠

F

D.

AC

＝

EF

A12345678910111213141516172.

如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是(

D

)A.

54°B.

56°C.

60°D.

66°第2题图D12345678910111213141516173.

如图，在△

ABC

和△

CDE

中，点

B

，

D

，

C

在同一直线上，已知∠

ACB

＝∠

E

，

AC

＝

CE

，添加以下条件后，仍不能判定△

ABC

≌△

CDE

的是(

D

)A.

∠

A

＝∠

DCE

B.

AB

∥

DE

C.

BC

＝

DE

D.

AB

＝

CD

第3题图D12345678910111213141516174.

如图，已知∠

ABC

，以点

B

为圆心，适当长为半径作弧，分别交

AB

，

BC

于点

P

，

D

；作一条射线

FE

，以点

F

圆心，

BD

长为半径作弧

l

，交

EF

于点

H

；以

H

为

圆心，

PD

长为半径作弧，交弧

l

于点

Q

；作射线

FQ

.

这样可得∠

QFE

＝∠

ABC

，

其依据是(

A

)A.

SSSB.

SASC.

ASAD.

AASA12345678910111213141516175.

(2023抚顺望花区期末)如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边

滑梯的高度

AC

与右边滑梯水平方向的长度

DF

相等，若

DF

＝6

m，

DE

＝8

m，

AD

＝4

m，则

BF

等于(

A

)A.

18

mB.

16

mC.

12

mD.

10

m第5题图A12345678910111213141516176.

如图，直线

l1，

l2，

l3表示三条相交叉的公路.现在要建一个加油站，要求它到三

条公路的距离相等，则可供选择的地点有(

A

)A.

四处B.

三处C.

两处D.

一处第6题图A12345678910111213141516177.

(2024焦作期末)如图，在△

ACD

中，∠

CAD

＝90°，

AC

＝6，

AD

＝8，

AB

∥

CD

，点

E

是

CD

上一点，

BE

交

AD

于点

F

，若

AB

＝

DE

，则图中阴影部分的面积

为(

A

)A.

24B.

30C.

42D.

48第7题图

A12345678910111213141516178.

如图所示，点

O

是△

ABC

内一点，

BO

平分∠

ABC

，

OD

⊥

BC

于点

D

，连接

OA

.

若

OD

＝5，

AB

＝20，则△

AOB

的面积是(

C

)A.

20B.

30C.

50D.

100第8题图C1234567891011121314151617二、填空题9.

(2024武威凉州区期末)如图，△

ABC

≌△

FDE

，

AB

＝

FD

，

BC

＝

DE

，

AE

＝20

cm，

FC

＝10

cm，则

AF

的长是

⁠cm.第9题图5

123456789101112131415161710.

(2024石家庄藁城区期末)如图，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，以点

A

为圆心，任

意长为半径画弧，分别交

AC

，

AB

于点

M

，

N

，再分别以

M

，

N

为圆心，任意长

为半径画弧，两弧交于点

O

，作射线

AO

交

BC

于点

D

，若

CD

＝3，

P

为

AB

上一动

点，则

PD

的最小值为

⁠.第10题图解析：作

DP

⊥

AB

于点

P

，则此时

PD

最小.由尺规作图可知，

AD

平分∠

CAB

.

又

∵∠

C

＝90°，

DP

⊥

AB

，∴

DP

＝

CD

＝3.3

123456789101112131415161711.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，分别过点

B

，

C

作过点

A

的直

线的垂线

BD

，

CE

.

若

BD

＝4

cm，

CE

＝3

cm，则

DE

＝

⁠cm.第11题图7

123456789101112131415161712.

如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1＋∠2的值为

⁠.第12题图90°

123456789101112131415161713.

如图，点

A

和动点

P

在直线

l

上，点

P

关于点

A

的对称点为

Q

，以

AQ

为边作Rt△

ABQ

，使∠

BAQ

＝90°，

AQ

∶

AB

＝3∶4.直线

l

上有一点

C

，在点

P

右侧，

PC

＝4

cm，过点

C

作射线

CD

⊥

l

，点

F

为射线

CD

上的一个动点，连接

AF

.

当△

AFC

与△

ABQ

全等时，

AQ

＝

⁠cm.

1234567891011121314151617三、解答题14.

如图，

AB

＝

CD

，

DE

⊥

AC

，

BF

⊥

AC

，

E

，

F

是垂足，

DE

＝

BF

.

求证：△

ABF

≌△

CDE

.

123456789101112131415161715.

如图，

P

为

AC

上任意一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)求证：△

BPC

≌△

DPC

；

(2)求证：

AB

＝

AD

.

123456789101112131415161716.

方案设计如图为人民公园中的荷花池，现在测量荷花池两旁

A

，

B

两

棵大树间的距离(不能直接量得).请你根据图形全等的知识，用一根足够长的绳子及

标杆为工具，设计测量方案.要求：(1)画出设计的测量示意图；1234567891011121314151617(2)写出测量方案及理由.解：测量方案：分别以点

A

，点

B

为端点，作射线

AQ

，

BP

，相交于点

C

，截取

CP

＝

CB

，

CQ