2024-2025学年北师版中学数学九年级上册 2.1 认识一元二次方程（第1课时） 教学课件

第二章一元二次方程第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程第1课时一元二次方程理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点）学习目标123了解一元二次方程的概念.（重点）根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.（重点）18m2

幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？8m

问题情境1解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为__________,长表示为________,则方程列为_______________，整理得_________________.

(5-2x)m(8-2x)m(8-2x)(5-2x)=18新课导入4x2

-26x+22

＝05m观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为

,

,

,

.

根据题意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x

+4)2.化简，得x2-8x

-20＝0.

问题情境27m解：如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙

m,根据题意，可得方程：

72＋(x＋6)2

＝102，(x

＋6)如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？10m数学化问题情境3ABC1mDE整理得x2

+12x-15

＝0.6m思考探究

这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.4x2-26x+22

＝0x2

-8x-20

＝0x2

+12x-15

＝0知识讲解★一元二次方程的概念

只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.（1）

只含一个未知数;（2）

未知数的最高次数是2；

（3）

整式方程.满足的条件:★一元二次方程的一般形式想一想为什么要限制a≠0,

b,c可以为零吗？

ax2+bx+c=0(a≠

0)二次项系数一次项系数常数项二次项一次项当

a=0时bx＋c=0当

a≠0，b=0时

ax2＋c=0当

a≠0，c

=0时

ax2＋bx=0当

a≠0，b

=c

=0时

ax2

=0总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a≠0，b

，

c

可以为任意实数.为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c可以为零呢？当b≠0时，为一元一次方程一元二次方程下列方程中哪些是一元二次方程？是分式－y22（8）

=0(7)4－7x2＝0(6)x2＋2x－3＝1＋x2例1提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.(1)ax2-x=2x2；(2)(a-1)x∣

a

∣+1

-2x-7=0.解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

a为何值时，下列方程为一元二次方程？例2解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；（2）系数和项均包含前面的符号.

将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.例31.判断下列是否为一元二次方程？(1)3x²-x=2()(2)2(x-1)²=3y()(3)3x²-2x+5()()(5)(m²+5)x²+7x-1=0()

√√×××随堂训练2.方程（2a-4）x2

-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？解：

若（2a-4）x2-2bx+a=0是一元二次方程，则二次项系数不为零，∴2a-4≠0，解得a≠2，即当a≠2时，

(2a-4）x2-2bx+a=0是一元二次方程；若（2a-4）x2-2bx+a=0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，∴2a-4=0且-2b≠0，解得a＝2，b≠0,即当a＝2，b≠0时，(2a-4）x2-2bx+a=0是一元一次方程.3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少：(1)2x2=3x-1；(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.解：（1）

2x2=3x-1化为一般形式为

2x2-3x+1=0，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1.(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为

-x2+2x-4=0,∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4.4.桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？15㎝25㎝（25-2x）（15-2x）=

300,

300cm24x2-8x+75

＝0.解：设剪去的正方形边长为x

cm，则无盖方盒的底面的长为（