6.3.1二项式定理课件高二下学期数学人教A版选择性2

人教A版

数学

选择性必修第三册第六章计数原理6.3.1二项式定理课标定位素养阐释1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.4.通过该节的学习,理解从特殊到一般的思维方法,培养观察归纳能力、抽象思维和逻辑思维能力.自主预习新知导学二项式定理1.我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,(1)试用多项式的乘法法则推导(a+b)3,(a+b)4的展开式;(2)上述两个展开式有何特点?(3)你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?提示:(1)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.(2)(a+b)3的展开式有4项,每项的次数是3;(a+b)4的展开式有5项,每一项的次数为4.(3)(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式的乘法法则知,从每个(a+b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)(a+b)n的展开式中共有n项.(×)(2)an-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.(×)(3)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式中各项的二项式系数相同.(

√

)合作探究释疑解惑探究一二项式定理的正用与逆用运用二项式定理的解题策略(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点,前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉二项展开式的项数、次数、各项幂指数的规律、各项的系数等特点.探究二二项式系数与项的系数问题1.求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数,主要是利用通项公式求出相应的项,特别要注意某项的二项式系数与系数两者的区别.2.二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【变式训练2】

(2x+1)6的展开式中含x4项的系数为(

)A.60 B.120 C.240

D.480答案:C探究三与二项展开式中的特定项有关的问题(一)求二项展开式中特定的项

(1)n的值;(2)展开式中含x3的项.1.本例条件不变,求二项展开式中的常数项.2.本例条件不变,求二项展开式中的所有有理项.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(2)求常数项.对于常数项,其隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(3)求有理项.对于有理项,是指其所有字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.(4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.(1)n的值;(2)含x2的项的系数;(3)展开式中所有的有理项.(二)由二项展开式某项的系数求参数问题答案:D由二项展开式某项的系数求参数问题的关键是抓住其通项公式,求解时先准确写出通项,再把系数和字母分离,根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式即可求解.答案:A探究四二项式定理的综合应用【例5】

(1)(x+y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为(

)A.80 B.120 C.240

D.320(2)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=

.

解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5),故展开式中x3y3的系数为40+80=120.(2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为(4a+1)x,(4a+6)x3,x5,其系数之和为(4a+1)+(4a+6)+1=32,解得a=3.答案:(1)B

(2)31.两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点.(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.(3)分别求解后相乘,求和即得.2.三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.【变式训练5】

已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于(

)A.-4 B.-3 C.-2 D.-1答案:D

数学建模利用二项式定理解决整除性问题【典例】

(1)今天是星期一,过2100天后是星期

.

(2)求证:32n+2-8n-9能被64整除.答案:三

整除性或求余数问题的处理方法(1)构造一个与题目条件有关的二项式,即把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式.(2)利用二项式定理展开,由于前面(或后面)绝大多数项都含有除数这一因式,能被除数整除,因此只需研究后面(或前面)一、两项就可以.(3)注意余数的范围.(4)利用二项式定理展开、变形后,若剩余部分是负数,则要注意转化为正数.【变式训练】

(1)用二项式定理证明:34n+2+52n+1能被14