10.1.2复数的几何意义课件高一数学人教B版

第十章复数复数的几何意义人教B版

数学

必修第四册课标要求1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念

如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为

.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为

;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为

.

复平面

实轴虚轴2.复数的几何意义一方面,根据复数相等的定义,复数z=a+bi(a,b∈R)被它的实部与虚部唯一确定,即复数z被有序实数对(a,b)唯一确定;另一方面,有序实数对(a,b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔点

.这是复数的一种几何意义.

复数还有另外一种几何意义:因为平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量

,所以复数也可用向量

来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔向量

.

Z(a,b)如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量

由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量

唯一确定.名师点睛1.复数z=a+bi(a,b∈R)可用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).2.为了方便,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成点Z(a,b)或说成向量

,并且规定相等向量表示同一复数.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.(

)(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(

)√×2.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限C解析

z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限.3.复数z=i在复平面内对应的点的坐标为(

)A.(0,1) B.(1,0)C.(0,0) D.(1,1)A4.向量a=(1,-2)所对应的复数是(

)

A.z=1+2i B.z=1-2iC.z=-1+2i D.z=-2+iB5.[北师大版教材习题]如图,设每个小方格的边长是1,指出点A,B,C,D,E所表示的复数.解A:4+3i.B:-3+2i.C:-3-3i.D:-3i.E:3-2i.知识点2共轭复数、复数的模1.共轭复数一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部

,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用

表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有=

.

显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于

对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.

互为相反数

a-bi

实轴结论:(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.(2)任一实数的共轭复数是其本身,反之,若z=,则z∈R.(3)复数的共轭复数的共轭复数是它本身,即

=z.2.复数的模一般地,向量

=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的

(或

),复数z的模用|z|表示,因此|z|=

.

可以看出,当b=0时,|z|==

,这说明复数的模是实数绝对值概念的推广.

模绝对值|a|如图所示,向量

的模r称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,由模的定义可知:|z|=|a+bi|=r=

(r≥0,r∈R),即复数z的模为非负实数.计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部,然后代入公式计算.一般地,两个共轭复数的模相等,即

.

过关自诊1.复数的模的几何意义是什么?提示复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:①满足条件|z|=r的点Z的集合为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部;②满足条件|z-z0|=r的点Z的集合为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|<r表示圆的内部,|z-z0|>r表示圆的外部.2.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为(

)

A.1或3 B.1C.3 D.2A解得m=1或3,故选A.3.在复平面内,复数z的对应点为(1,-1),则

=

.1+i解析

由题可知复数z的对应点为(1,-1),则z=1-i,所以

=1+i.4.[北师大版教材习题]求下列复数的模和共轭复数:重难探究·能力素养全提升探究点一复数与点的对应【例1】

[北师大版教材习题]设复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,若点Z分别位于下列位置,求a,b满足的条件:(1)实轴上;(2)虚轴上;(3)实轴上方(不包括实轴);(4)虚轴左侧(不包括虚轴);(5)第二象限.解(1)a∈R且b=0.(2)a=0且b∈R.(3)a∈R且b>0.(4)a<0且b∈R.(5)a<0且b>0.【例2】

试确定在复平面内,满足下列条件的复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点的集合分别是什么图形.(1)y=2;(2)1≤x≤4;(3)x=y;(4)|z|≤5.解(1)复数z在复平面内对应的点为(x,y),而y=2,所以点的集合是一条与实轴平行的直线.(2)复数z在复平面内对应的点为(x,y),而1≤x≤4,所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线).(3)复数z在复平面内对应的点是(x,y),而x=y,所以点的集合是一条直线,它是复平面的第一、三象限的平分线.(4)复数z在复平面内对应的点是(x,y),而|z|≤5的集合是一个以原点为圆心,半径等于5的圆的内部,包含圆的边界.变式探究将例2(4)中的“|z|≤5”改为“2≤|z|≤5”,其余条件不变,其结果如何呢?解不等式2≤|z|≤5可以化为不等式组

满足不等式组

的点构成的图形是以原点为圆心,分别以2和5为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆环的边界.规律方法

1.确定复数在复平面内对应的点的位置时,关键是理解好复数与该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程或不等式求解.2.确定复数对应点的集合的图形时,首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系,再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状.变式训练1在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应的点满足:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上.分别求实数m的值或取值范围.解复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.(1)由题意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.∴-1<m<1,即m的取值范围为(-1,1).(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2.m=2.探究点二复数与向量的对应A.-10+8i B.10-8i C.0

D.10+8iC规律方法

以原点为起点的向量对应的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变.变式训练2[人教A版教材习题]在复平面内,O是原点,向量

对应的复数是2+i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量

对应的复数;(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.解由于向量

是以原点为始点,故终点A的坐标为(2,1).(1)点A(2,1)关于实轴的对称点B的坐标为(2,-1),则向量

对应的复数为2-i.(2)点B(2,-1)关于虚轴的对称点C的坐标为(-2,-1),则点C对应的复数是-2-i.探究点三复数的模及其计算【例4】

(1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=,则复数z=(

)A.1+2i B.-1-2iC.±1±2i D.1+2i或-1-2iD解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.(2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)B规律方法

1.复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离.2.求复数的模时,应先确定复数的实部与虚部,再套用复数模的计算公式计算求解.3.若两个复数相等,它们的模一定相等;反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等.4.两个复数不一定能比较大小,但复数的模一定可以比较大小.变式训练3(1)设复数z满足|z-1|=|z-i|(i为虚数单位),z在复平面内对应的点为(x,y),则(

)A.y=-xB.y=xC.(x-1)2+(y-1)2=1D.(x+1)2+(y+1)2=1B解析

设z=x+yi(x,y∈R),∵|z-1|=|z-i|,∴|x+yi-1|=|x+yi-i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,化简得y=x.故选B.(2)[人教A版教材习题]求复数z1=3+4i及z2=i的模,并比较它们的模的大小.探究点四共轭复数及其应用【例5】

已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值.变式训练4[2023浙江金台期中]在复数范围内(i为虚数单位),下列假命题的个数是(

)①2i>i;②若a+bi=0(a,b∈C),则a=b=0;A.1 B.2

C.3

D.4C解析

由两个虚数不能进行大小比较可知,①为假命题;若a+bi=0(a,b∈C),不一定有a=b=0,如a=1,b=i,满足a+bi=0,故②为假命题;若复数z1=2+3i,a+bi=a-bi,可得b=-b,即b=0,则z∈R,故④为真命题.则假命题的个数是3.故选C.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718A级必备知识基础练C1234567891011121314151617182.[探究点一·2023广东东莞校级期中]已知i为虚数单位,则复数3i-2在复平面内对应的点在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限B解析

复数3i-2在复平面内对应的点(-2,3)在第二象限.故选B.123456789101112131415161718D1234567891011121314151617184.[探究点二]在复平面内,O为原点,向量

对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量

对应的复数为(

)A.-2-i B.-2+iC.1+2i D.-1+2iB解析

∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量

对应的复数为-2+i.1234567891011121314151617185.[探究点一]当

<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限D解析

∵

<m<1,∴3m-2>0,m-1<0,∴点(3m-2,m-1)在第四象限.1234567891011121314151617186.[探究点二]已知复数z1=1+2i,z2=2-i(i为虚数单位),z3在复平面内对应的点分别为A,B,C.若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点),则复数

为(

)A.1-3i B.1+3iC.-1+3i D.-1-3iB1234567891011121314151617187.[探究点一、三、四]已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),则下列结论正确的是(

)A.z=-2+iB.复数z的共轭复数是-1+2iC.|z|=5D.z的虚部为-2D解析

因为复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),所以z=1-2i,

1234567891011121314151617188.[探究点一]复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为

.

5解析

由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5.1234567891011121314151617189.[探究点三·人教A版教材习题]已知复数z的虚部为

,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求这个复数z.12345678910111213141516171810.[探究点一·2023广东潮阳校级期中]求实数m的值或取值范围,使复数z=(2m2-3m-2)+(m2-m)i在复平面内对应的点Z:(1)位于第二象限;(2)位于第一或第三象限;(3)在直线x-y-1=0上.解(1)∵复数z在复平面内对应的点Z位于第二象限,123456789101112131415161718(2)∵复数z在复平面内对应的点Z位于第一或第三象限,(3)∵复数z在复平面内对应的点Z位于直线x-y-1=0上,∴(2m2-3m-2)-(m2-m)-1=0,即m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1.123456789101112131415161718B级关键能力提升练11.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(

)A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+iC解析

A(6,5),B(-2,3),∵C为AB的中点,∴C(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.12345678910111213141516171812.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是(

)

B12345678910111213141516171813.已知复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(

)A.(-3,1) B.(-1,3)C.(1,+∞) D.(-∞,3)A12345678910111213141516171814.[2