7.3.3余弦函数的性质与图象课件高一数学人教B版

第七章三角函数余弦函数的性质与图象人教B版

数学

必修第三册课程标准1.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值.2.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出余弦函数y=cosx和y=Acos(ωx+φ)的图象,能体会正弦曲线和余弦曲线的关系,并能利用余弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1余弦函数的性质与图象1.余弦函数:对于

,

的余弦cosx与之对应,所以y=cosx是一个函数,一般称为

.

2.余弦函数的性质与图象性质与图象y=cosx定义域

值域

周期性周期为

奇偶性

函数

任意一个角x都有唯一确定

余弦函数

R[-1,1]2π偶

性质与图象y=cosx单调性在区间

(k∈Z)上单调递增;在区间

(k∈Z)上单调递减

对称性对称轴为

对称中心为

零点

(k∈Z)

图象3.余弦曲线:函数

称为余弦曲线.[-π+2kπ,2kπ][2kπ,π+2kπ]x=kπ(k∈Z)D解析

对于A,由f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=f(x),f(x)=|sin

x|+cos

x不是奇函数;对于B,由f(-x)=|cos(-x)|+sin(-x)=|cos

x|-sin

x≠-f(x),f(x)=|cos

x|+sin

x不是奇函数;对于C,由f(-x)=|sin(-x)|·cos(-x)=|sin

x|·cos

x=f(x),f(x)=|sin

x|·cos

x不是奇函数;对于D,f(-x)=|cos(-x)|·sin(-x)=-|cos

x|·sin

x=-f(x),f(x)=|cos

x|·sin

x是奇函数.故选D.过关自诊1.下列函数中为奇函数的是(

)A.f(x)=|sinx|+cosx B.f(x)=|cosx|+sinxC.f(x)=|sinx|·cosx D.f(x)=|cosx|·sinx2.(多选题)对于余弦函数y=cosx的图象,有以下描述,其中正确的有(

)A.余弦函数y=cosx的图象关于原点对称B.与y=sinx的图象形状完全一样,只是位置不同C.与x轴有无数个交点D.关于y轴对称BCD3.[北师大版教材习题]函数y=1+cosx在区间

上单调递增,在区间

上单调递减;当x=

时,y取最大值

;当x=

时,y取最小值

.

[2kπ-π,2kπ],k∈Z

[2kπ,2kπ+π],k∈Z2kπ,k∈Z22kπ+π,k∈Z0知识点2

余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质

函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)定义域R值域

,最小值为

,最大值为

周期性周期T=

奇偶性当φ=

(k∈Z)时,函数为奇函数;

当φ=

(k∈Z)时,函数为偶函数;

当φ≠(k∈Z)时,函数为非奇非偶函数[-A,A]-AAkπ单调性单调递增区间由(2k-1)π≤ωx+φ≤2kπ(k∈Z)求得;单调递减区间由2kπ≤ωx+φ≤(2k+1)π(k∈Z)求得对称性对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+,k∈Z求得,纵坐标为0;对称轴方程由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得过关自诊1.已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下面结论错误的是(

)A.函数f(x)是奇函数B.函数f(x)的周期为2πC.函数f(x)在区间[0,]上单调递增D.函数f(x)的图象关于直线x=0对称A重难探究·能力素养全提升探究点一余弦函数的单调性分析

先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证.BA.a>c>b B.c>b>aC.c>a>b D.b>c>a分析

利用诱导公式将函数化到一个单调区间,再利用单调性比较.A规律方法

1.余弦型函数单调区间的求法(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正.(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的取值范围.(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间.2.关于三角函数值比较大小利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小.探究点二余弦函数的奇偶性、对称性分析

令2x-=kπ(k∈Z),解出x后验证.B(2)函数y=3cos2x+4(x∈R)是(

)A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数分析

根据周期公式和偶函数的定义解题.A解析

函数f(x)=3cos

2x+4,由于x∈R,f(-x)=3cos(-2x)+4=f(x),故函数为偶函数,周期为T==π.规律方法

关于余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的对称问题BC探究点三与余弦函数有关的值域问题【例3】

求下列函数的值域.(1)y=-2cosx-1;解

因为-1≤cos

x≤1,所以-2≤-2cos

x≤2.所以-3≤-2cos

x-1≤1.所以y=-2cos

x-1的值域为[-3,1].规律方法

求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法(1)sin

x,cos

x的有界性,即0≤|sin

x|≤1,0≤|cos

x|≤1;(2)sin

x,cos

x的单调性,通常结合函数图象来解决;(3)通过换元转化为二次函数问题,换元时注意变量范围的一致性.是

.

[-2,1](2)求下列函数的值域.①y=sin2x+2cosx-2;解

①y=sin2x+2cos

x-2=-cos2x+2cos

x-1=-(cos

x-1)2.∵-1≤cos

x≤1,∴-4≤-(cos

x-1)2≤0,∴函数y=sin2x+2cos

x-2的值域为[-4,0].成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练1.[探究点一]若a=sin47°,b=cos37°,c=cos47°,则a,b,c的大小关系为(

)A.a>b>c B.b>c>aC.b>a>c D.c>b>aC解析

由题意得sin

47°=sin(90°-43°)=cos

43°,所以b>a>c,故选C.123456789101112131415162.[探究点二]函数y=cosx在区间(π,3π)上的图象的对称轴是(

)A.x=3π

B.x= C.x=2π

D.x=πC解析

由余弦函数的性质可得函数y=cos

x关于x=kπ,k∈Z对称,故函数y=cos

x在区间(π,3π)上的图象的对称轴是x=2π.故选C.12345678910111213141516B解析

当x=0时,取得最大值ymax=cos

0=1,12345678910111213141516BC123456789101112131415165.(多选题)[探究点二·2023河南新乡三模]已知函数f(x)=cos(ωx+φ)

ACD123456789101112131415166.[探究点一·2023上海浦东校级期中]函数y=3cos(+x)的单调递减区间为

.

123456789101112131415167.[探究点三]函数y=sin2x-cosx+2,x∈[]的最大值是

.

312345678910111213141516(1)求函数f(x)图象的对称轴与对称中心;(2)求函数f(x)的单调递减区间;1234567891011121314151612345678910111213141516B级关键能力提升练D123456789101112131415161234567891011121314151611.[2023甘肃期末]关于函数f(x)=(1-sinx)(1+sinx)+2cosx,x∈[-π,π],有以下四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减;③f(x)有且仅有1个零点;④f(x)的最小值是-1,最大值是3.其中正确结论的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4C12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516其中所有正确结论的序号是

.

②③④1234567891011121314151614.已知函数f(x)=2cosωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.12345678910111213141516123456789101112131415161234