专题06 二次函数性质及应用问题（专项训练）（解析版）-二轮基础过关与直击中考

专题06二次函数性质及应用问题专项训练【基础过关|直击中考】1．（2021·山东泰安市·中考真题）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.【详解】解：将抛物线化为顶点式，即：，将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：，A选项代入，，不符合；B选项代入，，符合；C选项代入，，不符合；D选项代入，，不符合；故选：B．【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．2．（2021·上海中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变【答案】D【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变故选D．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．3．（2021·江苏中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数向右平移3个单位，得：；再向上平移1个单位，得：+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴+1即解得：或∵抛物线的对称轴在轴右侧∴＞0∴＜0∴故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．5．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A． B．函数的最大值为C．当时， D．【答案】D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴，即b=2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，则abc＞0，故A正确；当x=-1时，y取最大值为，故B正确；由于开口向上，对称轴为直线x=-1，则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），∴当时，，故C正确；由图像可知：当x=-2时，y＞0，即，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．6．（2021·浙江中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．7．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．8．（2021·四川中考真题）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A． B．函数的最大值为C．当时， D．【答案】D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴，即b=2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，则abc＞0，故A正确；当x=-1时，y取最大值为，故B正确；由于开口向上，对称轴为直线x=-1，则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），∴当时，，故C正确；由图像可知：当x=-2时，y＞0，即，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．9．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数向右平移3个单位，得：；再向上平移1个单位，得：+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴+1即解得：或∵抛物线的对称轴在轴右侧∴＞0∴＜0∴故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．10．（2021·江苏中考真题）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点∴＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x交于这两点∴＜0可化为，根据图象，解得：1＜x＜3故④错误．故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．11．（2021·湖南中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可．【详解】解：∵抛物线开口方向向下∴a＜0，∵抛物线对称轴∴b＞0∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴∴c＞0∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限∴D选项满足题意．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图象，牢记各种函数图象的特点成为解答本题的关键．12．（2021·浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，∴该抛物线对称轴为，当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，故①和②都不正确；当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴，∴，故③正确；当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．13．（2021·广东深圳市·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．14．（2021·山东泰安市·中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．【答案】②④【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即b=﹣2a＞0∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正确；根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；由得，根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，∴有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．15．（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是——————————

A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】与关于y轴对称抛物线的对称轴为y轴，因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称设与交点为，则，即在点之间的函数图像满足题意的解集为：故选D．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．16．（2021·四川南充市·中考真题）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．【答案】②③【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．【详解】解：联立，得，∴∆=，当时，∆有可能≥0，∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；抛物线的对称轴为：直线x=，若抛物线与x轴有两个交点，则∆=，解得：a＜1，∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；抛物线的顶点坐标为：，∵，∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），∴，解得：，故③正确．故答案是：②③．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．17．（2021·湖北中考真题）已知抛物线（，，是常数），，下列四个结论：①若抛物线经过点，则；②若，则方程一定有根；③抛物线与轴一定有两个不同的公共点；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】①②④【分析】①将代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确．【详解】解：∵抛物线经过点∴，即9a-3b+c=0∵∴b=2a故①正确；∵b=c，∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正确；当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确．故填：①②④．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．18．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____．【答案】2或【分析】分，和确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论．【详解】解：由题意得：O（0,0），A（3，4）∵为直角三角形，则有：①当时，∴点M在与OA垂直的直线上运动（不含点O）；如图，②当时，，∴点M在与OA垂直的直线上运动（不含点A）；③当时，，∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，∴点P为OA的中点，∴∴半径r=∵抛物线的对称轴与x轴垂直由题意得，抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，∴抛物线的对称轴为的两条切线，而点P到切线，的距离，又∴直线的解析式为：；直线的解析式为：；∴或4∴或-8故答案为：2或-8【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．19．（2021·山东中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详解】解：当时，把代入，可得特征数为∴，，，∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；当时，把代入，可得特征数为∴，，，∴函数解析式为，当时，，函数图象过原点，故②正确；函数当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；当时，函数图像开口向下，对称轴为：∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．20．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知抛物线（，，是常数），，下列四个结论：①若抛物线经过点，则；②若，则方程一定有根；③抛物线与轴一定有两个不同的公共点；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】①②④【分析】①将代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确．【详解】解：∵抛物线经过点∴，即9a-3b+c=0∵∴b=2a故①正确；∵b=c，∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正确；当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确．故填：①②④．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．21.在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0).(1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+m=-1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标.提示：若点A、B的坐标分别为(，)，(，)，则线段AB的中点坐标为(，).【解析】解：(1)抛物线的顶点为A(1，4)，设函数表达式为，∵抛物线经过点B(3，0)，∴，解得a=-1.∴抛物线对应的二次函数表达式为，即.(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分.理由如下：∵DE∥OA，∴（同底等高的两个三角形面积相等）.∴，即.∵M是BE的中点，∴∴,即OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分.（3）∵点P(m，n)是抛物线的图象上的点，∴.∵m+n=-1，∴n=-m-1，代入上式，得，解得m=4(m=1不合题意，舍去)，∴点P的坐标为(4，-5).如图，过点D作DQ∥CA交PC的延长线于点Q，由(2)知点N为PQ的中点，设经过点C(-1，0)，P(4，-5)的直线对应的函数表达式为y=kx+b,则，解得.∴直线CP对应的函数表达式为y=-x-1.同理，直线AC对应的函数表达式为y=2x+2.∵直线DQ∥CA，故设直线DQ对应的函数表达式为y=2x+b，∵经过点D(0，3)，∴直线DQ对应的函数表达式为y=2x+3.解方程组得，∴点Q的坐标为（）.∵点N为PQ的中点，∴点N的横坐标为，点N的纵坐标为，∴点N的坐标为（）22.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=，当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点坐标为（﹣3，﹣）；综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．23.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，PA＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：(1)∵直线y＝－2x＋10与x轴、y轴相交于A、B两点，∴A(5，0)，B(0，10)，设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx(a≠0)，把点A(5，0)和C(8，4)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25a＋5b＝0,64a＋8b＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6),b＝－\f(5,6)))，∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,6)x2－eq\f(5,6)x；∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，∵AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是直角三角形．(2)如解图，连接AP，AQ，当P，Q运动t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝OA,PA＝QA))，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP＝CQ，∴2t＝10－t，∴t＝eq\f(10,3)，∵t<5，∴当运动时间为eq\f(10,3)秒时，PA＝QA；(3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为x＝eq\f(5,2)，设点M的坐标为(eq\f(5,2)，b)，利用点的坐标可求得AB2＝102＋52＝125，MB2＝(eq\f(5,2))2＋(b－10)2，MA2＝(eq\f(5,2))2＋b2，∵△MAB是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当AB＝MA时，即125＝(eq\f(5,2))2＋b2，解得b＝±eq\f(5\r(19),2)，即点M的坐标为(eq\f(5,2)，eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，－eq\f(5\r(19),2))；②当AB＝BM时，即125＝(eq\f(5,2))2＋(b－10)2，解得b＝10±eq\f(5\r(19),2)，即点M的坐标为(eq\f(5,2)，10＋eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10－eq\f(5\r(19),2))；③当MB＝MA时，即(eq\f(5,2))2＋(b－10)2＝(eq\f(5,2))2＋b2，解得b＝5，此时点A、M、B共线，故这样的点M不存在．综上所述，存在点M，使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为(eq\f(5,2)，eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，－eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10＋eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10－eq\f(5\r(19),2))．24.如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M的半径为或【解析】【分析】（1）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N，根据△QCO是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛物线上；（3）分两种情况①当⊙M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t，PM=t，将PM用t表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t，进而求得半径；②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示，令M点横坐标为m，因为PN=2MN，列出关于m的一元二次方程，即可求出m，进而求得⊙M的半径．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)∴解得∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3故答案为：y＝﹣x2+x+3（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N∵△QCO是等边三角形，OC=3∴CN=∴NQ=即Q(,)当x=时，y＝﹣×()2+×+3=≠∴Q(,)不在抛物线上y＝﹣x2+x+3故答案为：不存在，理由见解析（3）①⊙M与y轴相切，如图所示∵y＝﹣x2+x+3当y=0时，﹣x2+x+3=0解得x1=-1，x2=4∴B(4,0)令直线BC的解析式为y=kx+b解得∴直线BC的解析式为令M点横坐标为t∵MP∥y轴，⊙M与y轴相切∴t=﹣t2+t+3-解得t=⊙M的半径为②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示令M点横坐标为m∵PN=2MN∴解得m=1或m=4（舍去）∴⊙M的半径为：故答案为：⊙M的半径为或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是二次函数的综合题，涉及了二次函数与几何问题，二次函数与圆的问题，其中考查了圆切线的性质．1．（2021·四川眉山市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由，；∴对应的原抛物线上点的坐标为；代入原抛物线解析式可得：，∴新抛物线的解析式为：；故选：A．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．2．（2021·山东中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．【详解】A.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B.∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．3．（2021·上海中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变【答案】D【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变故选D．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．4．（2021·福建中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．【详解】解：二次函数的对称轴为：，且开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，，A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．5．（2021·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵,∴△==＞0,∴有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．6．（2021·湖北中考真题）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．【详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x==1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；④∵抛物线经过点，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的两根分别为，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．7．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．8．（2021·内蒙古中考真题）已知二次函数的图象经过第一象限的点，则一次函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据直角坐标系和象限的性质，得；根据二次函数的性质，得，从而得，通过计算即可得到答案．【详解】∵点在第一象限∴∴∵二次函数的图象经过第一象限的点∴∴∴当时，，即和y轴交点为：当时，，即和x轴交点为：∵，∴一次函数的图象不经过第三象限故选：C．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．9．（2021·浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，∴该抛物线对称轴为，当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，故①和②都不正确；当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴，∴，故③正确；当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．10．（2021·湖北中考真题）二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：…012……22…且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围；③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围；④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可.【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误；②∵a、b互为相反数，∴将x=-1与x=2代入解析式得：，则：，∵当时，对应的函数值，∴得：，即：，∴.故②正确；③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，∴方程的正实数根在1和之间，∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间.故③正确；④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，∴可以判断抛物线开口向下，∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足，∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，∴综上当时，.故④错误.故选：B.【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.11．（2021·江苏连云港市·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．【答案】1264【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．12．（2021·四川中考真题）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______．【答案】1【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程=0根的判别式△=0，解方程求出k值即可得答案．【详解】∵抛物线与x轴只有一个交点，∴方程=0根的判别式△=0，即22-4k=0，解得：k=1，故答案为：1【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x＜0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键．13．（2021·安徽）设抛物线，其中a为实数．（1）若抛物线经过点，则______；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．【答案】02【分析】（1）直接将点代入计算即可（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值【详解】解：（1）将代入得：故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为：由抛物线顶点坐标得新抛物线顶点的纵坐标为：∵

∴当a=1时，有最大值为8，∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是故答案为：2【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法14．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________．【答案】【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值由题意可得：CD=,AE=∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和∴当这三点共线时，AE+CD最小设该直线的解析式为y=kx+b解得∴当y=0时，x=．故填．【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键．15．（2021·湖北中考真题）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________．【答案】【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值由题意可得：CD=,AE=∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和∴当这三点共线时，AE+CD最小设该直线的解析式为y=kx+b解得∴当y=0时，x=．故填．【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键．16．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：，解得：，∴抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为；（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；②当时，∵抛物线始终过定点，∴此时抛物线的对称轴的范围为，∵点在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，∵，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．17．（2021·安徽中考真题）已知抛物线的对称轴为直线．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．【答案】（1）；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．当时，y1随x1的增大而减小，时，，时，同理：时，y2随x2的增大而增大时，．时，（3）令令AB与CD的比值为【点睛