2021-2022学年贵州省仁怀市周林高级中学高二上学期期末综合能力测试题4数学试题解析版

仁怀市周林高级中2021-2022学年度新高考高二数学期末综合能力测试卷4考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．已知数列满足，且，，其前n项和为，若对任意的正整数n，恒成立，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，数列是以为首项，2为公比的等比数列，，当时，，，，，将以上各式累加得，，当时，也满足，，由，得，，即，，．故m的取值范围是．故选：C．2．函数的图象如图所示，现将的图象各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由图可知，过点，故，因为，解得：，将的图像各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得.故选：D.3．在等比数列中，如果，，那么（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由等比数列性质知，，，，成等比数列，其首项为，公比为，所以.故选：C.4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则可以用来描述该厂前t年这种产品的总产量c与时间t的函数关系的是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：前三年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随的变大而变大，在图象向上呈现下凹的情形；又后三年年产量的增长速度保持不变，可知图象呈直线型变化．故选：A．5．已知数列的通项公式为，其前n项和为，将数列的前4项去掉其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前3项，记数列的前n项和为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由已知数列的通项公式为，可得，所以．数列的前4项为4，3，2，1，所以等比数列的前3项为4，2，1，所以，所以，显然是递增数列，且．若对任意的，，总有成立，则，所以．故选：D．6．已知是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】由，将两边平方得，而，故为钝角.故选：B.7．函数（，）的部分图象如图所示，的图象与轴交于点，与轴交于点，点在的图象上，点､关于点对称，则下列说法中正确的是（）

A．函数在区间上单调递减B．函数的最小正周期是C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数【答案】A【详解】点､关于点对称，则，，所以B错误；由，可得，代入，可得，解得，，，则，即，因为，所以的图象关于点对称，故C错误；由图象可得在，递减，则在递减，所以A正确；函数的图象向右平移后，可得，是奇函数，D错误.故选：A8．已知角的终边经过点，则的值为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由已知可得.故选：C.二、多选题9．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A． B．C． D．【答案】CD【详解】解：对于选项A，因为，而，所以A错误；对于选项B，因为，所以B错误；对于选项C，因为成立，所以C正确；对于选项D，当时，，所以D正确.故选：CD.10．已知，，，则下列说法正确的是（）A．的最大值是 B．的最小值是8C．的最小值是 D．的最小值是【答案】ACD【详解】A：由，得，所以(当且仅当时取等号)，故A正确；B：，当且仅当时取等号，故B错误；C：，即当且仅当时取等号，故C正确；D：由，则当时取得最小值，最小值为，故D正确.故选：ACD.11．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则k的可能取值为（）A．2 B． C． D．【答案】BCD【详解】由题意，，则，时，，两式相减得：，所以，，当时，上式对也成立，故，则，则数列为等差数列，故对任意的恒成立可化为，；即，解得，．结合四个选项，BCD符合的取值，故选：BCD．12．（多选）在中，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】在中，有，则，A正确；，B正确；，C正确；，D错误；故选：ABC.第II卷（非选择题）三、双空题13．已知函数（，且为常数）在区间上的最大值为，则________；若，则________．【答案】【详解】解：令t＝ax>0，因为x[－1，1]，a>1，所以t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，解得a＝3或（舍去），所以f(x)＝32x＋2×3x－1.由f(x)＝7，即32x＋2×3x－1＝7，所以(3x＋4)(3x－2)＝0，解得3x＝2，所以x＝log32.故答案为：；.四、填空题14．已知函数在（0，1）内有零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】【详解】（1）当在（0，1）内有一个零点时，由，得或，此时函数的零点为或1，不合题意，由零点存在性定理可得，即，解得，（2）当在（0，1）内有两个零点时，则，解得，综上，，即实数a的取值范围为，故答案为：15．在等差数列中，，，若数列的前项和为，则___________.【答案】【详解】由题可知，解得，则.故答案为：16．若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，解得，则，故虚轴长.故答案为：.五、解答题17．已知抛物线C：的焦点为F，点是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得有最小值3．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析（1）过点E作抛物线C的准线的垂线，垂足为点D，根据抛物线的定义可得，于是，当A，E，D三点共线时，有最小值，所以，解得，所以抛物线C得方程为．（2）证明：直线l：，令得，所以点，因为直线平行于直线l：，且过点，所以直线：，设直线：，联立，得，所以，设点，，由韦达定理可得，，所以直线PB的方程为，直线QB的方程为，联立解得，同理可得，所以，因为，所以，即A是线段MN的中点．所以．18．已知函数的导函数在上的图像如图所示．

（1）判断函数在上的单调性；（2）判断函数在内是否存在极值，如果存在，求出所有极值点：如果不存在，说明理由；（3）画出在上图像的大致形状．【答案】（1）,单调递减，,单调递增，,单调递减.（2）存在，为极小值点，为极大值点.（3）见解析.（1），单调递减，，单调递增，由图可知，单调递减，单调递增，单调递减，（2）由（1）知，,单调递减，,单调递增，且，为极小值点；,单调递增，,单调递减，且，为极大值点；（3）只需满足（1）（2）的函数图象均可，在上图像的大致形状可以如下图所示.19．记的内角的对边分别为.已知，点是边的中点，（1）证明：；（2）求.【答案】（1）证明见解析（2）（1）由题意得：由正弦定理得：，即，所以，由于，所以：.（2）由题意知：，所以，同理由于，所以整理得，由余弦定理：.20．某超市举办有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有个红球，个白球的甲箱和装有个红球，个白球的乙箱中，各随机摸出个球，若都是红球，则可获得现金元；若只有个红球，则可获得现金元；若没有红球，则不获奖.球的大小重量完全相同，每次抽奖后都将球放回且搅拌均匀.（1）若某顾客有次抽奖机会，求该顾客获得现金元或元的概率；（2）若某顾客有次抽奖机会，求该顾客在次抽奖中一共获得现金元的概率.【答案】（1）；（2）.（1）设“该顾客获得现金元或元”，为顾客抽一次奖所获奖金，则，，所以.所以该顾客获得现金元或元的概率为.（2）设“该顾客在两次抽奖中一共获得现金元”，由（1）知，，，所以.所以该顾客在次抽奖中一共获得现金元的概率.21．设函数．（1）求的最小正周期；（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在上的单调区间．【答案】（1）π；（2）增区间：，减区间：.（1），故函数的最小正周期；（2）将函数的图象左移个单位得到的图象，则，，则当即时，g(x)单调递增，时，g(x)单调递减.∴g(x)在上的单调增区间为：，单调减区间为：.22．求下列函数的定义域：（1）y＝2