2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第三册教阶段复习课第二课随机变量及其分布含解析

PAGE8-第二课随机变量及其分布核心整合·思维导图考点突破·素养提升素养一数学运算角度1概率计算【典例1】(1)(2020·赤峰高二检测)将三颗相同的普通骰子各掷一次,设事件A=“掷得的向上的三个点数都不相同”,B=“至少出现一个6点向上”,则P(B|A)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE(2)世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称,新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B,B又传C,C又传D,这就是“持续人传人”.那么A,B,C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.9,0.85,健康的小明参加了一次多人宴会,事后知道,参加宴会的人有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,试计算,小明参加聚会,仅和感染的10个人其中一个接触,感染的概率为________.

【解析】(1)选B.P(A)=QUOTE=QUOTE,P(AB)=QUOTE=QUOTE,所以P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)设事件A,B,C为和第一代、第二代、第三代传播者接触,事件D为小明被感染,则由已知得:P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.90,P(D|C)=0.85,则P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2=0.915.答案:0.915【类题·通】1.关于条件概率的求法条件概率的公式PQUOTE=QUOTE=QUOTE,第一个是通用的公式,第二个是针对古典概型,利用相应的基本事件求条件概率.2.关于概率公式的应用概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式非常抽象,条件概率是公式的基础,可以通过简单的具体例子入手,由浅入深从概率的意义上理解公式.【加练·固】一个盒子内装有3个红球,4个白球,从盒子中取出两个球,已知一个球是红球,则另一个也是红球的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.取出两个球,设其中一个球是红球为事件A,则P(A)=QUOTE=QUOTE,设取出的另一个球是红球为事件B,则P(AB)=QUOTE=QUOTE,所以从盒子中取出两个球,已知一个球是红球,则另一个也是红球的概率是P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.角度2求均值、方差【典例2】(2020·西宁高二检测)已知ξ的分布列为ξ1234Pm设η=2ξ-5,则E(η)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由题意可得:QUOTE+QUOTE+QUOTE+m=1,解得m=QUOTE,所以E(ξ)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.η=2ξ-5,则E(η)=2×QUOTE-5=QUOTE.【延伸探究】若随机变量ξ的分布列变为:ξ-102Pxy且E(ξ)=QUOTE.则D(ξ)=________.

【解析】由题意得QUOTE解得x=QUOTE,y=QUOTE,D(ξ)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【类题·通】关于均值、方差的计算首先熟练掌握均值、方差的公式,其次是掌握均值、方差的性质的应用.【加练·固】已知随机变量X的分布列为X012Pa2ab(a>0,b>0),当D(X)最大时,E(X)=________.

【解析】由随机变量X的分布列知:b=1-3a,所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a,所以当a=QUOTE时,D(X)最大,此时E(X)=2-4×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE素养二数学建模角度1二项分布【典例3】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获胜,比赛结束),假设每局比赛甲胜的概率QUOTE,乙胜的概率QUOTE.(1)求乙以3∶1获胜的概率;(2)求甲获胜且比赛局数多于3局的概率.【解析】(1)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获胜,比赛结束),假设每局比赛甲胜的概率QUOTE,乙胜的概率QUOTE.所以乙以3∶1获胜的概率P=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)甲获胜且比赛局数多于3局的概率为:P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.【类题·通】关于二项分布的应用把握二项分布的关键是理解随机试验中n次、独立、重复这些字眼,即试验是多次进行,试验之间是相互独立的,每次试验的概率是相同的,判定随机变量符合二项分布后结合相应的公式进行计算.【加练·固】某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,已知他独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率为QUOTE,则p为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题意可得,独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率1-QUOTE(1-p)3p0=QUOTE,解得,p=QUOTE.角度2超几何分布【典例4】某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X表示其中男生的人数,(1)请列出X的分布列;(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率.【解析】(1)依题意得,随机变量X服从超几何分布,随机变量X表示其中男生的人数,X可能取的值为0,1,2,3,4.P(X=k)=QUOTE,k=0,1,2,3,4.所以X的分布列为:X01234P(2)由分布列可知至少选3名男生,即P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.【类题·通】关于超几何分布的应用不放回取次品是超几何分布的典型试验,可以将取球、选队员等试验归入超几何分布问题,再利用其概率、均值公式进行计算.【加练·固】盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任意抽取3张,每张卡片被抽出的可能性都相等,求:(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率;(2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率;(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.【解析】(1)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A,由题意P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B,则P(B)=QUOTE=QUOTE.(3)“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C,“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D,由题意,C与D是对立事件,因为P(D)=QUOTE=QUOTE,所以P(C)=1-P(D)=1-QUOTE=QUOTE.角度3正态分布【典例5】(2020·三明高二检测)已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ,σ2),其密度函数f(x)=QUOTE的曲线如图所示,则σ=________;从中随机取一件,其长度误差落在[3,6]内的概率为______.

【解析】由题图可得σ=3,μ=0,则长度误差落在[3,6]内的概率为P(3≤X≤6)=QUOTE[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]=QUOTE(0.9545-0.6827)=0.1359.答案:30.1359【类题·通】关于正态分布的应用(1)正态密度函数的解析式是由μ,σ确定的,其中μ是均值,是正态曲线的对称轴,σ是标准差.(2)掌握三个特定区间上概率的值及3σ原则,利用曲线的对称性求解概率问题.【加练·固】(2020·泰州高二检测)现有1000名学生参加数学测试,其中测试成绩近似服从正态分布N(110,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示测试成绩优秀(高于135分)的人数占总人数的QUOTE,则此次测试成绩在8