2022福建省南平市高三毕业班第三次质量检测数学试题解析版

南平市2021—2022学年高三毕业班第三次质量检测数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则复数的虛部为（）A. B. C. D.2.设集合，集合，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.3.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A.至多一枚硬币正面朝上 B.只有一枚硬币正面朝上C.两枚硬币反面朝上 D.两枚硬币正面朝上4.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在正方体中，当分别与，，，重合时，所形成的四面体中鳖臑共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（）A. B. C. D.6.在中，若，则（）A. B. C. D.7.若点是抛物线上一点，点到该抛物线焦点的距离为6，则（）A.1 B.2 C.3 D.48.对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A B. C. D.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（）A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B.该医院青年患者所占的频率为C.该医院的平均治愈率为28.7%D.该医院的平均治愈率为31.3%10.已知函数的任意两条对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（）A.函数在单调递减B.，C.把的图象向右平移个单位即可得到的图象D.若在上有且仅有一个极值点，则的取值范围为11.已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C.双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列D.双曲线上存点，满足12.如图，在平面直角坐标系中一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（）

A. B. C. D.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：___________.14.已知为圆：上任意一点，则的最大值为___________.15.已知函数有零点，则实数___________.16.四面体中，，，，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为___________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，___________.（1）求角A；（2）若，，点D在线段AB上，且与的面积比为3：5，求CD的长.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）18.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若满足，.设为数列的前项和，求.19.南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），①求的值；②利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）1030概率今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.参考数据与公式：若，则，，.20.如图，四棱锥底面是边长为2的正方形，，.（1）证明：平面；（2）若M为棱PD上的点，，且二面角的余弦值为，求直线PC与平面ACM所成角的正弦值.21.已知椭圆：，，分别为椭圆的左､右焦点，焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.（1）求椭圆的方程；（2）求四边形面积的最大值.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：函数有两个零点，且.南平市2021—2022学年高三毕业班第三次质量检测数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则复数的虛部为（）A. B. C. D.【1题答案】【答案】A【解析】【分析】先由复数的运算求出，再求出虚部即可.【详解】，故虚部为.故选：A.2.设集合，集合，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【2题答案】【答案】D【解析】【分析】直接由求解即可.【详解】由可得.故选：D.3.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A.至多一枚硬币正面朝上 B.只有一枚硬币正面朝上C.两枚硬币反面朝上 D.两枚硬币正面朝上【3题答案】【答案】C【解析】【分析】由对立事件的概念直接判断即可.【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.4.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在正方体中，当分别与，，，重合时，所形成的四面体中鳖臑共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【4题答案】【答案】B【解析】【分析】当与，重合时，由为等边三角形即可判断四面体不是鳖臑；当与，重合时，证明四个面均为直角三角形即可.【详解】如图，当与重合时，易得，故为等边三角形，此时四面体不是鳖臑；当与重合时，易得为直角三角形，又面，面，故，故为直角三角形，同理为直角三角形，此时四面体是鳖臑；当与重合时，易得，故为等边三角形，此时四面体不是鳖臑；当与重合时，易得为直角三角形，又面，面，故，故为直角三角形，同理为直角三角形，此时四面体是鳖臑；故共有2个.故选：B.5.在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【5题答案】【答案】B【解析】【分析】先由三角函数的定义求得，再由正余弦和角公式求得，即可求得点的坐标.【详解】由三角函数定义知：，将角的终边按逆时针方向旋转，此时角变为，故点的横坐标为，点的纵坐标为，故点的坐标为.故选：B.6.在中，若，则（）A. B. C. D.【6题答案】【答案】A【解析】【分析】由，利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以，所以，故选：A7.若点是抛物线上一点，点到该抛物线焦点的距离为6，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【7题答案】【答案】D【解析】【分析】先由点在抛物线上得，再结合抛物线定义及到抛物线焦点的距离即可解出.【详解】由题意知：，解得，抛物线的准线为，由抛物线的定义知，点到该抛物线焦点的距离为，解得.故选：D.8.对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【8题答案】【答案】C【解析】【分析】化简不等式后构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解【详解】，即，令，由题意得在上单调递减，故，即在上恒成立，则，故选：C二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（）A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B.该医院青年患者所占的频率为C.该医院的平均治愈率为28.7%D.该医院的平均治愈率为31.3%【9题答案】【答案】ABC【解析】【分析】由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项；直接计算平均治愈率即可判断C、D选项.【详解】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；对于B，青年患者所占的频率为，正确；对于C，平均治愈率为，正确；对于D，由C知错误.故选：ABC.10.已知函数的任意两条对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（）A.函数在单调递减B.，C.把的图象向右平移个单位即可得到的图象D.若在上有且仅有一个极值点，则的取值范围为【10题答案】【答案】BD【解析】【分析】由题意先解出，再根据三角函数性质对选项逐一判断【详解】由题意得的周期为，故，，又的图象关于原点对称，为奇函数，而，可得，即，，对于A，当时，，结合正弦函数性质知在不单调，故A错误，对于B，，，故B正确对于C，的图象向右平移个单位得函数，故C错误，对于D，当时，，若在上有且仅有一个极值点，则，解得，故D正确故选；BD11.已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C.双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列D.双曲线上存在点，满足【11题答案】【答案】AB【解析】【分析】先由求得，即可求出渐近线判断A选项，由点到直线的距离公式即可判断B选项，由实轴长､虚轴长､焦距结合等比中项即可判断C选项，由双曲线定义结合的范围即可判断D选项.【详解】易知双曲线的方程为，令得，故，解得，双曲线的渐近线方程为，即，故A正确；双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取右顶点，右焦点，则顶点到两渐近线距离的积为，焦点到渐近线距离的平方为，又，，故，B正确；，，显然，C错误；若，又由双曲线定义，解得，故不存在点，满足，D错误.故选：AB.12.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（）

A. B. C. D.【12题答案】【答案】ABD【解析】【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.【详解】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即，以此类推，可得第圈个点对应的这项的和为0，即，设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；，故B正确；所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；，对应点的坐标为，，…，，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：___________.【13题答案】【答案】##【解析】【分析】直接由特殊角的三角函数和对数运算求解即可.【详解】.故答案为：.14.已知为圆：上任意一点，则的最大值为___________.【14题答案】【答案】【解析】【分析】将转化为点和连线的斜率，由图像可知当直线与圆相切时取得最大值，由解出斜率即可.【详解】由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得，故的最大值为.故答案为：.15.已知函数有零点，则实数___________.【15题答案】【答案】【解析】【分析】先由基本不等式求得，再由二次函数求得，要使函数有零点，必须同时取等，即，，解方程即可.【详解】由可得，当且仅当时取等，又，当且仅当时取等，故，当且仅当，时取等.要使函数有零点，则且，化简得，解得.故答案为：.16.四面体中，，，，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为___________.【16题答案】【答案】【解析】【分析】构建直三棱柱，找出球心及底面外心，结合正弦定理求得，由表示出体积，再结合余弦定理及基本不等式求出最大值.【详解】由，，，且异面直线与所成的角为构建直三棱柱，由得，易得四面体外接球即为直三棱柱的外接球，取的外心，易得的中点即为球心，又，则，由正弦定理得，又，又由余弦定理得，即，当且仅当时取等，故的最大值为3，四面体的体积的最大值为.故答案为：.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，___________.（1）求角A；（2）若，，点D在线段AB上，且与的面积比为3：5，求CD的长.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）【17题答案】【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理，得，再由余弦定理即可求出角A；若选②，由正弦定理得，解得，即可求出角A；若选③，先由平方关系得，再由正弦定理得，再由余弦定理即可求出角A；（2）在中，由余弦定理求得，由与的面积比求得，再在中由余弦定理求得即可.【小问1详解】选①，由正弦定理，得，即，故，又，故；选②，由正弦定理，得，又，故，又，故，又，故；选③，由可得，即，由正弦定理得，故，又，故；【小问2详解】在中，由余弦定理得，因为，所以，解得或（舍），又与的面积比为3：5，即，所以，在中，由余弦定理得，即.18.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若满足，.设为数列的前项和，求.【18题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用累乘法即可求解；（2）由（1）代入可得，利用并项法求和即可求解.【小问1详解】因为，，所以当时，，则，即，当时，也成立，所以.【小问2详解】由（1），，，则，则.19.南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），①求的值；②利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）1030概率今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.参考数据与公式：若，则，，.【19题答案】【答案】（1）①；②（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）①利用平均值的公式求解即可；②利用正态分布的对称性即可求解；（2）由，所获赠话费的可能取值为，，，，，结合表中数据，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.【小问1详解】由题，，因为，所以.【小问2详解】由题，，所获赠话费的可能取值为，，，，，，，，，，所以的分布列为：所以.20.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，.（1）证明：平面；（2）若M为棱PD上的点，，且二面角的余弦值为，求直线PC与平面ACM所成角的正弦值.【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性质可知，易证≌，则，设，连接，结合等腰三角形性质可知，即可得证；（2）取中点为，可知为二面角的平面角，易得≌，进而可得平面，即，在中可得，，以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，设所求的直线与平面所成角为，则，即可求解.【小问1详解】证明：因为底面是边长为的正方形，所以，由，，，则≌，所以，设，连接，所以，因为，平面，平面，所以平面.【小问2详解】取中点为，易得且，所以为二面角的平面角，则，因为，，，所以≌，所以，即，又，所以平面，则，在中，，所以，则，以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以，设所求的直线与平面所成角为，则，所以，所求的正弦值为.21.已知椭圆：，，分别为椭圆的左､右焦点，焦距为4.过右焦