2020-2021学年河南省顶尖名校高二下学期5月联考数学理试题解析版

2020-2021学年河南省顶尖名校高二下学期5月联考数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解.【详解】，.故选：B.2．已知全集为，集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出集合A，B，然后根据集合补集和并集的定义求解.【详解】解：，则.故选D.3．已知实数，满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先画出不等式组满足的平面区域，然后求解即可.【详解】作出实数，满足，所表示的平面区域如图阴影部分所示，其中，，，作直线，平移直线，当其经过点时，有最大值，即.故选：D．4．已知，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二倍角公式可得，求出，再根据同角三角函数的平方关系可求出答案．【详解】解：由题可知，即，，，，，故选：A．5．曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意义求解.【详解】，，又，所求切线方程为，即.故选：C.6．设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性得到，，与0,1的大小关系，最后比较，，的大小即可.【详解】因为，则，，的大小关系为，故选C．7．的展开式中的系数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把看成个因式的乘积形式，先从个因式中，选出个得到，再从剩余的个中选出个得到，其余的个得到，再利用分步计数原理求解.【详解】把看成个因式的乘积形式，从个因式中，选出个因式得到，选法有种；再从剩余的个因式中选出个因式得到，选法有种；其余的个因式得到，选法有种.根据分步计数原理得的系数是.故选：B.8．设，分别为双曲线的左、右焦点．若为右支上的一点，且为线段的中点，，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，再由双曲线定义可得，在中，利用勾股定理可得，同除解方程即可求解.【详解】由题意可得，由双曲线定义可得，则，．在中，，又，，整理可得，即，解得或（舍去）．故选：B9．过圆内一点作一弦交圆于、两点，过点、分别作圆的切线、，两切线交于点，则点的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】设点坐标为，写出以为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点代入方程，由此得出结论．【详解】解：设点坐标为，根据圆的直径式方程知，以为直径的圆的方程为，两圆方程作差可得公共弦的方程为，而在直线上，，故点的轨迹方程为，故选：C．10．已知是方程的解，是方程的解，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】在中，令，则有，则由题可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，由反函数的性质可得，从而可得【详解】在中，令，则有，因为与互为反函数，图象关于对称.依题意可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，所以，所以，即.故选：C.11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，，，.则在阳马中，鳖臑的个数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用底面证得，然后利用线面垂直判定定理证得平面，同理平面，从而证得，又，证得平面，平面，平面，从而得出结论.【详解】因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以平面，同理平面，故四面体和都是鳖臑.而平面，所以.又因为，点是的中点，所以.而，所以平面.而平面，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面体､和的四个面都是直角三角形，即四面体､和都是鳖臑.综上有个鳖臑.故选：B.12．已知的内角，，所对的边分别为，，，且.若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】代数法：由，利用正弦定理结合两角和的正弦公式，化简得到，求得角B，再利用正弦定理，将问题转化为，利用基本不等式求解；几何解法：由，，作线段，过点画射线，使得，是射线上的动点，与都是变量,让长度等于的线段的一个端点与线段的一个端点重合，再从点向“外”引线段，使其长度等于，然后利用含有的直角三角形性质求解.【详解】代数法：，由正弦定理得，即，因为，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以.由正弦定理可得，，，(时取等)，故选：C.几何解法：在中，确定的量有两个：，.如图，作线段，过点画射线，使得.这样是射线上的动点，与都是变量.为了求的最小值，可考虑让长度等于的线段的一个端点与线段的一个端点重合(即“首尾相连”).考虑从点向“外”引线段，使其长度等于.联想到含有的直角三角形性质，作如下辅助线：如图，作射线，使，作，垂足为，则.所以原问题等价于：是射线上的动点，求的最小值，显然即是点到直线的距离为所求，所以的最小值为.故选：C二、填空题13．已知单位向量，互相垂直，且，，若，则___________.【答案】【分析】由题意不妨令，，由可得，求出，从而可求出的坐标，进而可求出其模【详解】不妨令，，则，，由得，解得，则，.故答案为：14．疫苗不良反应与受种者个体差异有关.疫苗不良反应指因疫苗本身特性引起的与预防接种目的无关或者意外的反应.与其他任何疫苗一样，接种新冠疫苗可能会出现一些常见的不良反应，如接种部位局部的红肿､硬结､疼痛等；极少数人因个体差异可能会出现发热､乏力､恶心､头痛､肌肉酸痛等，一般不需处理，注意多喝水､多休息，通常天后可自行恢复.接种某种新冠疫苗后，出现发热反应的概率为，现有人接种了该疫苗，至少有人出现发热反应的概率为___________.【答案】【分析】依题意，符合二项分布的类型，利用二项分布求解即可.【详解】根据题意，记至少有人出现发热反应为事件，分析可得“至少有人出现发热反应”包括“有人出现人未出现发热反应”和“人全部出现发热反应”两个互斥的事件，则.故答案为：.15．已知正四棱锥的底面边长为，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为___________.【答案】或【分析】现根据条件求得外接球的半径和底面正方形的外接圆的半径，设正四棱锥的高为，根据勾股定理可求得，再根据椎体的体积公式即可求出答案．【详解】解：∵正四棱锥的外接球的表面积为，∴其外接球的半径为，∵底面正方形正方形的边长为，∴底面正方形的外接圆的半径，设正四棱锥的高为，则，解得或，∴正四棱锥的体积或，故答案为：或．16．人均可支配收入是反映一个地区居民收入水平和城市经济发展水平的重要指标，并且对人均消费水平有重大影响.如图是根据国家统计局发布的《年上半年居民收入和消费支出情况》绘制的，是我国个省(区､市)年上半年人均可支配收入(单位：元)与人均消费支出(单位：元)的散点图.用线性回归模型拟合人均消费支出与人均可支配收入的关系，规定半年人均盈余(人均可支配收入人均消费支出)不低于元的省(区､市)达到阶段小康的标准，根据线性回归方程(回归方程的斜率精确到)，估计达到阶段小康标准的省(区､市)的半年人均可支配收入至少为___________元.参考公式与参考数据：，【答案】【分析】由题目中所给条件求出回归方程，再计算人均盈余方程，最后根据条件计算达到小康标准的支配收入，令，得.【详解】，，所以.半年人均盈余为，令，得，故估计达到阶段小康标准的省(区､市)的半年人均可支配收入至少为元.故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）依题意可得，即可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，根据等比数列的通项公式计算可得；（2）首先由对数的运算及等差数列求和公式求出，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：（1）解：，，.又，.当为奇数时，；当为偶数时，.综上，.（2）证明：由（1）可知，，所以.18．如图，在五面体中，平面，平面，.（1）求证：；（2）若，，且与平面所成角的大小为，设的中点为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再由线面平行的判定可得平面，再由线面平行的性质即可证明.（2）过作于点，在平面中，作，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由即可求解.【详解】（1）证明：平面，平面，.平面，平面，平面.平面平面，平面，.（2）解：平面，平面，平面平面，过作于点，则平面，，为边长等于的等边三角形.在平面中，作，如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建系，则，，，，.设平面的法向量为，平面的法向量为，，，，取，，，，取，记平面与平面所成的角为，所以.19．已知椭圆：（）过点，离心率，直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点，使得为定值.【分析】（1）由离心率得，再根据椭圆过点待定系数即可求得；（2）分别设，，，再直线与椭圆方程联立得，故有，，再计算并化简得，根据题意若为定值，则，代入可求得，.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率，所以，又因为，所以，又因为椭圆过点，所以有，解得，所以，故椭圆方程为：.（2）设，，，则联立方程得.显然，，，所以为定值.故.即，则，解得，.即存在点，使得为定值.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，椭圆中的定值定点问题，考查数学运算能力.20．已知函数.（1）设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（2）若函数的图象上有､两点，横坐标分别为，且满足.求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)求出点P坐标，切线方程，构造函数，求其最值即可作答；(2)探讨函数在(0，1)上的性质可得，构造函数并讨论函数值恒为负即可作答.【详解】（1）由可得，即，又，则，从而有曲线在点处的切线方程为，即，设，，时，时，即在上递减，在上递增，，于是有，所以对于任意的正实数，都有；（2）时，，由得，在上递减，在上递增，，因且，则，令，，令，，即在上递增，而，则，时，时，则在上递减，在上递增，因时，，又，，于是有，，从而得，即，所以.21．“”期间，某电商店铺的活动为：全场商品每满元返元的优惠券，可叠加使用(比如，买元的东西，可用两张优惠券，只需付(元)，其中是不大于的最大整数)；另一电商店铺的活动为：全场所有商品折销售，如果单品件数超过件，超出的每一件单品均享受元/件的会员价，其中为商品原价，为超出的单品件数优惠店，为常数，已知若购买某种商品件，则第件商品享受折优惠.此外，在店铺优惠后，扣除店铺优惠后余下的金额，电商平台全场还提供每满元减元的优惠，可叠加使用(比如，店铺原价元的一单，最终价格是(元)).（1）小明打算在店铺买一款元的耳机和一款元的音箱，是下两单(即耳机､音箱分两次购买)划算？还是下一单(即耳机､音箱一起购买)划算？（2）小明打算趁“”期间囤积某生活日用品至少件，且预算不超过元，该生活日用品两个店铺售价均为元/件，小明打算全部在店铺购买或者全部在店铺购买，试分别计算在两家店铺购买多少件该生活日用品平均价格最低，最低平均价格分别是多少.(结果保留到小数点后两位)【答案】（1）下一单划算；（2）在店铺购买，购买件或件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为元/件；在店铺购买，购买件时平均价格最低，最低平均价格大约为元/件.【分析】（1）分别计算下两单和下一单的实际付款金额，然后比较即可得到答案；（2）分别求出全部在店铺购买与全部在店铺购买生活日用品的每件的最低平均价格，再比较即可【详解】解：（1）若下两单，耳机优惠后实际付款为(元)；音响优惠后实际付款为(元)；耳机和音响优惠后一共实际付款(元).若下一单，耳机和音响优惠后一共实际付款(元)综上，下一单划算.（2）如果全部在店铺购买，假设购买件，由于不能超过元预算，最多能购买件，所以.当时，店铺优惠后价钱为，当时，店铺优惠后价钱为，，所以当时能享受一次满元减元的优惠.当时，购买件该生活日用品的平均价格为，其中，当时，，当即时，；当时，，当时，.综上，如果全部在店铺购买，购买件或件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为元/件.如果全部在店铺购买，因为若购买件，则第件可享受折优惠，所以，解得，现假设从店铺购买件，则.方法一：购买件该生活日用品的总价格为，为估算不超出元预算最多可购买多少件，令，化简得，由于，下面解不等式，即，得，所以时一定有，下面检验时满足不等式的最大整数解，经检验是不等式的最大整数解.所以如果全部在店铺购买，最多能购买件，.当时，购买件该生活日用品店铺优惠后的总价格为，不能享受满元减元的优惠，平均价格不可能最低；当时，可享受一次满元减元的优惠，前件折优惠，超出件的部分，超出的越多，超出的部分平均价格就越低，所以当时平均价格取得最小值，元/件.综上，如果全部在店铺购买，购买件时平均价格最低，最低平均价格大约为元/件.方法二：如果在店铺购买，假设购买的生活日用品全部按折计算，元最多可买件，由于超出件的部分价格低于元/件，所以元最多可购买的件数大于，而当购买的件数时，超