华师大九年级数学下册第27章圆电子课件

27.1.1圆的基本元素引言s＝x+y+z，s代表成功，x代表艰辛的劳动，y代表正确的方法，z代表少说空话.

——爱因斯坦

问题引入一石激起千层浪奥运五环大家见过这些吗？知道它是什么图形吗？回顾思考据统计，某个学校的同学上学方式是，有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式.我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，如右图28.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。圆是如何形成的？请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的.如图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形.OACB1.如图,半径有:____________OA、OB、OC若∠AOB=60°，则△AOB是_____三角形.2.如图,弦有:______________AB、BC、AC在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦.●OBCA1.如图,弧有:______________⌒AB⌒BC⌒ABC⌒ACB⌒BCA它们一样么？⌒AB⌒BC2.劣弧有：优弧有：⌒ACB⌒BAC你知道优弧与劣弧的区别么？判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.()探索与实践

如图，在⊙O中，AC=BD，

,求∠2的度数。你会做吗？解：∵AC=BD（已知）∴∴AB=CD∴AC-BC=BD-BC（等式的性质）∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）

课堂练习1、直径是弦吗？弦是直径吗？2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？4、比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确.5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧.6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？

●CBADO思考:在⊙O中,AB、CD是直径.AD与BC平行吗?说说你的理由.四边形ACBD是矩形么?为什么?温馨提示：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.思考小结

今天你学到了什么？1.在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等.（或等圆）（或等圆）2.在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____、所对的弦______，所对的弦的弦心距_____.相等3.在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角_____、所对的弧______,所对的弦的弦心距_____.相等（或等圆）相等相等相等相等27.1.2圆的对称性情境导入

同学们自己动手画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合.由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。实践与探索

1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等.实验1、将图形27.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图27.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现，，

。实质上，确定了扇形AOB的大小，所以，

在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等.实践与探索

问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？例1如图28.1.5，在⊙O中，弧AC=弧BD，求的度数.解：因为弧AC=弧BD，所以弧AC-弧BC=弧BD-弧BC.所以弧AB=弧CD.所以（在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等）探索新知

我们知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，由此我们可以如图27.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.试一试如图如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB、与，你能发现什么结论？你的结论是：_________________________________________这就是我们这节课要研究的问题.

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.探索新知类似上面的证明，我们还可以得到平分弦（不是直径）的直径垂直于这条线，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.

(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;(4)平分弧的直径垂直于平分这条弧所对的弦.推论尝试运用例1、如图已知以点O为公共圆心的两个同心圆,

大圆的弦AB交小圆于点C、D

（1）试说明线段AC与BD的大小关系;

（2）若AB=8，CD=4，求圆环的面积.尝试运用练一练例2、在直径为10的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图示，如果油面宽AB=8，那么油的最大深度是

垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心;(2)直线MN垂直AB;(3)直线MN平分AB;(4)直线MN平分弧AMB;(5)直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作进一步的推导,同学们课下不妨试一试.回味引伸小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等.（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等.（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等.27.1.3圆周角问题情境如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角.实践与探索1：圆周角究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角.2：圆周角的度数探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径?数学理论如图27.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°.数学运用即:

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径3：同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系(1)分别量一量图27.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下.再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.你发现其中有什么规律吗？数学运用

(2)分别量出图27.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？我们可以发现，圆周角的度数没有变化.并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。为了验证这个猜想，如下图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：

a折痕是圆周角的一条边，

b折痕在圆周角的内部，

c折痕在圆周角的外部.1.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小.2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?●O●OCABDBACDE●OABC(1)(2)(3)课堂练习（3）圆心在外部（略）由此我们可以得到：圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.

由圆周角定理，我们可以得到以下推论推论190度的圆周角所对的弦是直径

（如图27.1.12）如果一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.对于圆内接四边形，有另一个推论：推论2圆内接四边形的对角互补（如图27.1.13）思考图27.1.14是一个圆形零件，你能找到它的圆心值吗？你有什么简捷的办法？27.2.1点与圆的位置关系情境导入

同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算.(击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环)

这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？这就是本节课研究的课题。实践与探索

1：点与圆的位置关系

我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径.如图27.2.1，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那OA＜r，OB＝r，OC＞r．反过来也成立，即若点A在⊙O内若点A在⊙O上若点A在⊙O外思考与练习1、⊙O的半径，圆心O到直线的AB距离。在直线AB上有P、Q、R三点，，，.P、Q、且有R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？2、中，，，，，对C点为圆心，A、B、D的位置关系是怎样的？为半径的圆与点2：不在一条直线上的三点确定一个圆实践与探索

问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？

从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上.经过A、B、C三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径.如图27.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．

实践与探索

思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？实践与探索

即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等.思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明.判断题：1、过三点一定可以作圆 （）2、三角形有且只有一个外接圆 （）3、任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形 （）4、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点 （）5、三角形的外心到三边的距离相等 （）错对错对错课堂练习经过四个点是不是一定能作圆？分类1、ABCD2、ABCD所以经过四点不一定能作圆.D4、ABCABCD3、BACD思考题：课堂小结1、这堂课你学到了什么？2、给你留下印象最深的是什么？3、你还有什么疑惑？课本P45.1.2.作业再见！27.2.2直线与圆的位置关系点和圆的位置关系有几种？

知识回顾⑴点在圆内⑵点在圆上⑶点在圆外d<rd=rd>r···用数量关系如何来判断？(地平线)(地平线)●O●O●O1.观察三幅太阳升起的照片,太阳与地平线会有几种位置关系?

探测猜想

动手试一试●O

作一个圆,把直尺边缘看成一条直线，固定圆,平移直尺,你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？

●O●O.Ol.O直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离.l直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆相切.这时的直线叫切线，唯一的公共点叫切点。

.Ol直线和圆有两个公共点，叫直线和圆相交.这时的直线叫做圆的割线.一、直线和圆的位置关系有以下三种●

pA●●

B

知识归纳二、直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径的关系．Ｏl1、直线与圆相离┐┐drd>r．ｏl2、直线与圆相切drd=r．Ol3、直线与圆相交d<rd┐r01d>r无割线无d=r切点切线2d<r交点

探索规律直线与圆的

位置关系

相离

相切

相交

公共点的个数

圆心到直线的距离d与半径r的关系

公共点的名称

直线名称

练一练1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：①4厘米；②5厘米；③6厘米.请分别说出直线l与圆的位置关系及直线l和圆分别有几个公共点？2、已知圆的半径等于10厘米，直线l和圆只有一个公共点，求圆心到直线l的距离.3、如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O

与直线A­B有怎样的位置关系？

①相交，两个公共点；②相切，一个公共点；③相离，无公共点.（10厘米）（相离）3)若AB和⊙O相交,则d>5cmd=5cmd<5cm0cm≤

练一练4、已知：⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB

的距离为d,根据条件填写d的范围:1)若AB和⊙O相离,则

2)若AB和⊙O相切,则例题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．解：过C作CD⊥AB，垂足为D在△ABC中，AB=5根据三角形的面积公式有∴即圆心C到AB的距离d=2.4cm所以(1)当r=2cm时,有d>r,因此⊙C和AB相离.BCA43D

练一练（2）当r=2.4cm时,有d=r,因此⊙C和AB相切.（3）当r=3cm时，有d<r，因此，⊙C和AB相交.BCA43DBCA43D

练一练

判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由__________________的个数来判断；（2）根据性质，由_____________________

______________的关系来判断.在实际应用中，常采用第二种方法判定.两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r

课堂小结

中考专练如图所示，

是直角三角形，

以为直径的

交于点

，点

是边的中点，连结

（1）求证：

与

相切；

（2）若

半径为

，，求

BDCEAO．

课本P47练习1.2.3

作业27.2.3切线直线和圆的位置关系有几种？

知识回顾⑴相离；⑵相切；⑶相交；d<rd=rd>r用数量关系如何来判断？．Ｏl┐dr．Ｏl┐dr．Ｏl┐dr

观察与思考问题1：下雨天，当你转动的雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出，你仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的?

动手做一做●O

画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直线与圆有几个交点？

┐Al直线l一定是圆O的切线吗？由此，你知道如何画圆的切线吗？

思考：1、定义：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

条件：(1)经过圆上的一点；如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？∵直线l是⊙O的切线∴圆心O到直线l的距离等于半径∴OA是圆心O到直线l的距离∴l⊥OA

一、圆的切线：

探索新知(2)垂直于该点半径；●O┐Al思考：2、性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点∴直线l是⊙O的切线例2如右图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？解：直线AB是⊙O的切线

.理由如下：在圆O

中，又∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB

＝180°

例题解析∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°(已知)∴∠AOB＝∠OBA＝45°(等边对等角)∴∠OAB＝180°－∠OBA－∠AOB＝90°∴直线AB⊥OA又∵直线AB经过⊙O

上的A点∴直线AB是⊙O的切线ABO●

练一练1、判断题：2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是__________三角形

直角×垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线.

（）(2)过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线.

（）×3、如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB。

AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线。理由如下：又∵∠BAC＋∠B＋∠C

＝180°∵AC＝AB

，

∠B＝45°(已知)∴直线AC⊥AB又∵直线AC经过⊙O

上的A点∴直线AC是⊙O的切线∴∠C＝∠B＝45°(等边对等角)∴∠BAC＝

180°－∠B－∠C＝90°O●ABC

练一练4、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？解：BD是⊙O的切线

.连结OD.又∵∠B＋∠BOD＋∠BDO

＝180°∵OA＝OD

，

∠BAD＝30°(已知)∴直线AC⊥AB又∵直线BD经过⊙O上的D点∴直线BD是⊙O的切线∴∠ODA＝∠A＝30°(等边对等角)∴∠BOD＝∠A＋∠ODA＝60°O●ABCD∴∠BDO＝180°－∠B－∠BOD＝90°

练一练

探索新知问题

1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画.2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？

3、切线长的定义是什么？切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：三角形的内切圆

如图所示三角形纸片，请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片？

提示：画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切.

如图，在△ABC中，如果有一圆与AB、AC、BC都相切，那么该圆的圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心和半径呢？实践探索我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。因此，圆心就是△ABC的角平分线的交点，而半径是这个交点到边的距离.

根据上述所阐述的，同学们只要分别作、

的平分线，他们的交点I就是圆心，过I点作线段ID的长度就是所要画的圆的半径，因此以I点为圆心，ID长为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.

小结

1、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等.这一点与圆心连线平分两条切线的夹角.2、三角形的内切的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等.§27.3弧长和扇形的面积解:∵圆心角900∴铁轨长度是圆周长的则铁轨长是如图27.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?问题情景问题探究

上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？思考：请同学们计算半径为r，圆心角分别为1800、900、450、n0所对的弧长.1800900450n0圆心角占整个周角的所对弧长是结论如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长的计算公式为：练一练：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度.=cm答：此圆弧的长度为cm解：如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径是r，那么扇形面积计算公式为结论1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_________.3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________240°课堂练习例题讲解例1如图28.3.5，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）

≈52.33(平方厘米)扇形的周长为≈30.47（厘米）解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为小结一、弧长的计算公式二、扇形面积计算公式27.4正多边形和圆

图片欣赏正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正n边形：如果一个正多边形有n