济南市济南十二中九年级数学下册第二单元《相似》测试(有答案解析)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则的值为（）．A． B． C． D．2．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A． B．C． D．3．下列各组线段能成比例的是（）A．1.5cm，2.5cm，3.5cm，4.5cm B．1cm，2cm，3cm，4cmC．3cm，6cm，4cm，8cm D．cm，cm，cm，cm4．下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个正方形5．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DBC＝30°，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若CD＝2，则BF的长为（）A． B． C． D．6．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（）A． B． C． D．7．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（）A．90 B．180 C．270 D．36008．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（）A． B．C． D．9．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（）A．-4 B．12- C．12+ D．+410．已知如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE、AF交于点O．现有以下结论：①DE∥BC；②OD＝BC；③AO＝FO；④＝．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知是线段的黄金分割点，且，则的长为（）．A．2 B． C．2或 D．12．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则（）A． B． C． D．二、填空题13．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为．14．已知，则的值为________．15．如图，在中，，，，是斜边上方一点，连接，点是的中点，垂直平分，交于点，连接，交于点，当为直角三角形时，线段的长为________．16．如图，直线，直线m，n分别与a，b，c相交于点A，B，C，D，E，F，若，，，则_______．17．如图，AB是⊙O的直径，AB＝20cm，弦BC＝12cm，F是弦BC的中点．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t≤10），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_______．18．如图，在中，分别是边的中点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有__________．19．如图，，，，在边上取点P，使得，与两两相似，则长为___________．（结果用含的代数式表示）20．如图，已知△ABC中，若BC＝6，△ABC的面积为12，四边形DEFG是△ABC的内接的正方形，则正方形DEFG的边长是__．三、解答题21．如图，在四边形ABCD中，，DE，BF分别平分，，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合），在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N，记，，已知，当Q为BF中点时，．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由：（2）求DE，BF的长；（3）若①当时，通过计算比较BE与BQ的大小关系；②连接PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个项点时，求所有满足条件的x的值．22．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______．（2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长．（3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长．23．已知，如图1在矩形中，，，点是线段上的动点，连接，作，交的延长线于点，连接交于，设．（1）求证：．（2）若是等腰三角形，求的值．（3）取的中点，连接，若，求的面积．（4）如图2作的外接圆，点关于的对称点落在圆上，当恰好落在内部（不包括边界），直接写出的取值范围______．24．如图所示，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处，已知折叠，且．（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求点的坐标（3）求直线与轴交点的坐标．25．如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与的切线AF交于点F．（1）求证：；（2）若，，求AF的长．26．如图，直线EF与⊙O相切于点C，点A为⊙O上异于点C的一动点，⊙O的半径为4，AB⊥EF于点B，设∠ACF＝α（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若α＝45°，求证：四边形OCBA为正方形；（2）当AC＝4时，求α的度数．（3）若AC－AB＝1，求AC的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】证明≌△，推出，由，设，，推出，，由，可得的值．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，，∴≌△，∴，∵，设，，∴，，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，2，，所以三边之比为1：2：．A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为：：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．3．C解析：C【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【详解】解：A、1.5×4.5≠2.5×3.5，故本选项错误；B、1×4≠2×3，故本选项错误；C、3×8＝4×6，故本选项正确；D、，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．4．D解析：D【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．5．C解析：C【分析】连接DE，根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出BD，再求出AB，根据DE∥AB，得到，把已知数据代入计算，得到答案．【详解】解：连接DE，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，CD＝2，∴BC＝2CD＝4，由勾股定理得，BD＝＝＝，∵E是BC的中点，∴DE＝BC＝BE＝2，∴∠BDE＝∠CBD＝30°，∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDE，∴DE∥AB，∴，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，∴AD＝BD＝，∴AB＝＝3，∴，即，解得，BF＝故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．6．D解析：D【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是相似形的定义，是基础题．7．A解析：A【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x，x，则9x－x=80，解得：x=10，故较大三角形的面积为：9x=90．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．8．A解析：A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．9．D解析：D【分析】根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP=8代入后可求出AB的长．【详解】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP=AB，∴AB=（cm），故选：D．【点睛】本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB．并且线段AB的黄金分割点有两个．10．C解析：C【分析】①根据三角形中位线定理进行判断；②根据三角形中位线定理进行判断；③根据三角形中位线定理进行判断；④由相似三角形△ADO∽△ABF的面积之比等于相似比的平方进行判断．【详解】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，故①正确；∴DE=BC，∴OD=BF，∵AF是BC边上的中线，∴BF=BC，∴OD=BF=BC，故②正确；∵DE是△ABC的中位线，∴AD=DB，DE∥BC，∴AO＝FO，故③正确；④∵DE∥BC，即DO∥BF，∴△ADO∽△ABF，∴，又∵AF是BC边上的中线，∴，∴，故④错误．综上所述，正确的结论是①②③，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质．本题利用了“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的性质．正确的识别图形是解题的关键．11．C解析：C【分析】若点是靠近点B的黄金分割点，则，然后代入数据计算即可；若点是靠近点A的黄金分割点，先求出BP，再利用线段的和差即可求出AP．【详解】解：若是靠近点B的黄金分割点，则；若是靠近点A的黄金分割点，则，∴；故选：C．【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割比为是解题的关键．12．B解析：B【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出答案即可．【详解】解：∵DE∥BC，∴．故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答此题的关键．二、填空题13．【分析】根据平行线分线段成比例定理由AB∥GH得出由GH∥CD得出将两个式子相加即可求出GH的长【详解】解：即①即②①②得解得故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理熟练运用等式的性质进行解析：【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出，由GH∥CD，得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．【详解】解：，，即①，，，即②，①②，得，，，解得．故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．14．2【分析】根据可设代入原式即可求解【详解】∵∴设∴故答案为：2【点睛】本题考查了比例的性质利用设k法表示出xyz求解更简便解析：2【分析】根据，可设，，，代入原式，即可求解．【详解】∵，∴设，，，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．15．或【分析】（1）分别在中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得再根据垂直平分线的性质等边三角形的判定和性质等腰三角形的判定求得最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质全等三角形的判定解析：或【分析】（1）分别在、、中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，再根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定求得，最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、分线段成比例定理可证得，然后根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质列出方程，解方程即可求得，最后利用线段的和差即可求得答案．【详解】解：①当时，如图1:∵在中，，，∴∴∵，∴∵∴∴在中，设，则∵∴∴∴，∵垂直平分线段∴∵∴是等边三角形∴∴∴；②当时，连接、交于点，过点作于，如图2：设，则，∵垂直平分线段，点是的中点∴∵∴∵∵∴垂直平分线段∴∵，∴∴∵∴，∴∴∴∴∴∴∴．∴综上所述，满足条件的的值为6或．故答案是：6或【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等，渗透了逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想．16．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到然后根据比例的性质求EF的长【详解】解：∵直线a∥b∥c∴即∴EF=故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例解析：【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求EF的长．【详解】解：∵直线a∥b∥c，∴，即，∴EF=．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．17．5或82【分析】求出BF和AO的长分为两种情况①∠EFB=90°②∠FEB=90°分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE的长再求出t即可【详解】∵AB是⊙O的直径∴∠C=90°解析：5或8.2【分析】求出BF和AO的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE的长，再求出t即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵AB=20cm，弦BC=12cm，F是弦BC的中点，∴BF=BC=6cm，有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠EFB=90°，∴AC∥EF，∵F为BC的中点，∴E为AB的中点，即E和O重合，∵AB=20cm，∴AE=AO=AB=10cm，∴；②当∠FEB=90°时，如图：∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，∴△FEB∽△ACB，∴，∴，解得：BE=3.6（cm），∵AB=20cm，∴AE=AB-BE=16.4cm，∴；故答案为：5或8.2．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，分类讨论是解此题的关键．18．②④【分析】由点DE分别是边ACAB的中点知DE是△ABC的中位线据此知DE∥BC且从而得△ODE∽△OBC根据相似三角形的性质逐一判断可得【详解】解：∵点DE分别是边ACAB的中点∴DE是△ABC解析：②④【分析】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得．【详解】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC且，②正确；∴∠ODE＝∠OBC、∠OED＝∠OCB，∴△ODE∽△OBC，∴，①错误；，③错误；∵，∴，④正确；故答案为：②④【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的判定与性质．19．或【分析】根据△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC两两相似∴△PDC是直角三解析：或【分析】根据△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC两两相似，∴△PDC是直角三角形，当时，∴，∵，∴，∵，∴，当时，∴，此时CD∥AB，，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，与题意矛盾，故不存在这种情况；当时，∴，，∴，过点P作于M，∴，，在△PAD和△PMD中，，∴，∴PA=PM，在△PBC和△PMC中，，∴，∴PB=PM，∴，∵，∴；当时，当时，，∴，∴，在△DPC和△BPC中，，∴，∴PD=PB，∴，∴；∴AP的长为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键．20．【分析】过点作交于点证明（设为得到；证明列出比例式求出即可解决问题【详解】解：如图过点作交于点四边形是正方形（设为则；的面积为12；解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质作出辅助线解析：【分析】过点作，交于点，证明（设为，得到；证明，列出比例式，求出即可解决问题．【详解】解：如图，过点作，交于点，四边形是正方形，（设为，则；，的面积为12，，，；，，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．三、解答题21．（1）DE∥BF，见解析；（2）DE=10；BF=18；（3）①BQ＜BE；②x=6或x=或x=【分析】（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；（2）求出DE=10，MN=6，把代入，解得x=5，即NQ=5，得出QM=1，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=4，BM=8，即可得出结果；（3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=8，MH=4，EH=12，由勾股定理得HB=，BE=，当DP=DF时，求出BQ=，即可得出BQ＜BE；②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则，即可求出x=；（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则，求出AE=，AB=，即可得出x=，由图可知，PQ不可能过点B．【详解】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=∠ADC，∠ABF=∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=×180°=90°，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x=0，得y=10，∴DE=10，令y=0，得x=6，∴MN=6，把y=代入，解得：x=5，即NQ=5，∴QM=6-5=1，∵Q是BF中点，∴FQ=QB，∵BM=2FN，∴FN+5=1+2FN，解得：FN=4，∴BM=8，∴BF=FN+MN+MB=18；（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：∵FM=4+6=10=DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF=EM，EH∥CD，∴∠MHB=∠C=90°，∵∠A=90°，∠AED=30°∴AD==5，∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∴∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∴∠DFM=∠DEM=120°，∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，∴∠MEB=∠FBE=30°，∴DF=EM=BM=8，∴MH=BM=4，∴EH=8+4=12，由勾股定理得：HB=，∴BE=，当DP=DF时，，解得：x=，∴BQ=14-x=，∵＜，∴BQ＜BE；②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：∵BF=18，∠FCB=90°，∠CBF=30°，∴CF=BF=9，∴CD=9+8=17，∵FQ∥DP，∴△CFQ∽△CDP，∴，，解得：x=；（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：∵PE∥BQ，∴△APE∽△AQB，∴，由勾股定理得：AE=，∴AB=，∴，解得：x=，由图可知，PQ不可能过点B；综上所述，当x=6或x=或x=时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．22．（1）四边形ABCE；（2）13或10；（2）2【分析】（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断；（2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明；（3）AM⊥BC，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB表示出AM，根据三角形的面积公式得到BC×AB＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．【详解】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，∴＝＝＝，∴ABC∽EAC，∴四边形ABCE是“友爱四边形”，∵≠，∴ABC与ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友爱四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC，则＝＝，∵，，，∴＝＝，解得AD＝，CD＝，∴友爱四边形的周长为；当∠B=∠D时，ABC∽ADC，则＝＝＝1，∵，，，∴＝＝1，解得AD＝2，CD＝3，∴友爱四边形的周长为，综上所述，友爱四边形的周长为13或10；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，则∠AMB＝90°，∵，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝AB，∵ABC的面积为3，∴BC×AB＝3，∴BC×AB＝12，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，且AB≠BC，∴ABD∽DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝12，∴BD＝＝2．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键．23．（1）见解析；（2）；（3）30；（4）【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，易知为Rt△，由，得出∠FCD+∠DCD=90°，从而得出∠FCD=ECB，有两个角相等证明相似．（2）过点E作EH⊥CD，由等腰三角形易知CH=BE=m，AE=8-m，由（1）得，求出．再由找到对应边的比值列出等量关系，求出m即可．（3）由平行边形的判定得出四边AOCE为平行四边形，得出OA=CE，在Rt△△AEF中，由斜边的中线等于斜边的一半得出，由（2）中得出m=3，分别求出CE、CF的值即可求出的面积．（4）有A关于EF对称点为，得出，因为∠FAE=∠FCE=90°，所有由直径所对的圆周角为90°得出EF为圆的直径，要使恰好落在内部得出，解除关于m的不等式即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，∵∴∠FCD+∠DCD=90°∴∠FCD=ECB又∵∠FDC=∠B=90°∴（2）过点E作EH⊥CD交CD于点H，如图∵是等腰三角形，∴GH=HC∵GE=m∴HC=HG=m，AE=8-m∠AFE=∠GEH∠A=∠DHE∴∵∴∴∴∴∴整理的（舍去），∴的值为3．（3）∵OA//CE，OC//AE∴四边AOCE为平行四边形，OA=CE∵O为EF的中点，△AEF为直角三角形∴∴OE=CE，△OEC为等腰三角形由（2）问可知，m=3∴FD=4，∴（4）连接∵A关于EF对称点为，∴∵∠FAE=∠FCE=90°∴FE为圆的直径∴C始终在圆上，要使落在内部∴即，解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形性质和判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理以及圆的相关知识，熟悉相关知识并能灵活运用是解题关键．24．（1）与相似，理由见解析；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为．【分析】（1）结论△OCD与△ADE相似：根据同角的余角相等即可得出∠OCD＝∠EDA，由此可证得两三角形相似．（2）设，则，利用，得到，．在中，利用，解得，故可求解；（3）根据待定系数法求出CE的解析式，故可求解．【详解】（1）与相似．理由如下：由折叠知，，∴，∵，∴∠OCD＝∠EDA．又∵，∴．（2）∵，∴设，则，由勾股定理得，∴．由（1），得：∴∴．在中，∵，∴，解得．∴，，∴点的坐标