第1讲-整数裂项

数学教研组编写第一讲五年级寒假C版课件整数裂项知识要点：整数裂项概念裂项思想实质是将相加的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到简化求和的目的。整数裂项基本公式口诀目的形式前后相消，简便运算前后相连，每项等差公式（尾的尾－头的头）÷每项尾头差小热身1． 计算：50＋49－48－47＋46＋45－44－43＋……－4－3＋2＋12． 计算：(1＋3＋5＋7＋……＋199＋201)－(2＋4＋6＋8＋……＋198＋200)3． 计算：1＋2＋3＋4＋……＋48＋49＋50＋49＋48＋……＋4＋3＋2＋1【答案】

原式＝(50＋49－48－47)＋(46＋45－44－43)＋……＋(6＋5－4－3)＋2＋1

＝4×12＋2＋1＝51【答案】

原式＝1＋(3－2)＋(5－4)＋……＋(199－198)＋(201－200)

＝1＋1＋1＋……＋1＋1

＝101【答案】

原式＝502＝2500小热身4． 观察下列规律，在括号里填入适当的数。

1×2＝[1×2×()－()×1×2]÷3 2×3＝[2×3×()－()×2×3]÷() 3×4＝[3×4×()－()×3×4]÷() 49×50＝[49×50×()－()×49×50]÷() 2×4＝[2×4×()－()×2×4]÷()3

04135

2

351

48

36

0

6例题1

1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋98×99＋99×100【答案】

设S＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋98×99＋99×100 1×2＝(1×2×3－0×1×2)÷3 2×3＝(2×3×4－1×2×3)÷3

…… 99×100＝(99×100×101－98×99×100)÷3

将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。S＝(99×100×101)÷3＝333300练习1

1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋48×49＋49×50【答案】

设S＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋48×49＋49×50

1×2＝(1×2×3－0×1×2)÷3

2×3＝(2×3×4－1×2×3)÷3

……

49×50＝(49×50×51－48×49×50)÷3

将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。S＝(49×50×51)÷3＝41650例题2

1×4＋4×7＋7×10＋……＋46×49＋49×52【答案】

设S＝1×4＋4×7＋7×10＋……＋46×49＋49×52 4×7＝(4×7×10－1×4×7)÷9 7×10＝(7×10×13－4×7×10)÷9

…… 49×52＝(49×52×55－46×49×52)÷9

将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。S＝1×4＋(49×52×55－1×4×7)÷9＝15572练习2

3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101【答案】

设S＝3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101

3×5＝(3×5×7-1×3×5)÷6

5×7＝(5×7×9-3×5×7)÷6

7×9＝(7×9×11-5×7×9)÷6

……

97×99＝(97×99×101-95×97×99)÷6

99×101＝(99×101×103-97×99×101)÷6

将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。则S＝(99×101×103－1×3×5)÷6＝1716473例题3 （1）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋16×17×18＋17×18×19

【答案】 1×2×3＝(1×2×3×4-0×1×2×3)÷4 2×3×4＝(2×3×4×5-1×2×3×4)÷4 3×4×5＝(3×4×5×6-2×3×4×5)÷4 …… 17×18×19＝(17×18×19×20－16×17×18×19)÷4

右边累加，括号内相互抵消，整个结果为 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋16×17×18＋17×18×19

＝(17×18×19×20-0×1×2×3)÷4＝29070例题3

（2）1×3×5＋3×5×7＋……＋17×19×21【答案】 3×5×7＝(3×5×7×9－1×3×5×7)÷8 5×7×9＝(5×7×9×11－3×5×7×9)÷8 …… 17×19×21＝(17×19×21×23－15×17×19×21)÷8

右边累加，括号内相互抵消，整个结果为 1×3×5＋3×5×7＋……＋17×19×21

＝1×3×5＋(17×19×21×23－1×3×5×7)÷8＝19503练习3

1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋9×10×11【答案】

1×2×3＝(1×2×3×4-0×1×2×3)÷(4－0)

2×3×4＝(2×3×4×5-1×2×3×4)÷(5－1)

3×4×5＝(3×4×5×6-2×3×4×5)÷(6－2) ……

9×10×11＝(9×10×11×12－8×9×10×11)÷(12－8)

右边累加，括号内相互抵消，整个结果为

1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋9×10×11

＝(9×10×11×12－0×1×2×3)÷4＝2970例题4 （1）2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋……＋2×1

（2）1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋97×98＋99×100【答案】 2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋……＋2×1

＝2003×2＋2001×2＋……＋3×2＋1×2

＝2×(1＋2003)×1002÷2

＝2008008【答案】

1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋97×98＋99×100

＝2＋(2×4＋4)＋(4×6＋6)＋(6×8＋8)＋……＋(96×98＋98)＋(98×100＋100)

＝(2×4＋4×6＋6×8＋……＋96×98＋98×100)＋(2＋4＋6＋8＋……＋98＋100)

＝98×100×102÷6＋(2＋100)×50÷2

＝169150练习4 （1）250×249－249×248＋248×247－247×246＋……＋2×1

（2）1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋47×48＋49×50【答案】

250×249－249×248＋248×247－247×246＋……＋2×1

＝249×2＋247×2＋……＋3×2＋1×2

＝2×(1＋249)×125÷2

＝31250【答案】

1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋47×48＋49×50

＝2＋(2×4＋4)＋(4×6＋6)＋(6×8＋8)＋……＋(48×50＋50)

＝(2×4＋4×6＋6×8＋……＋48×50)＋(2＋4＋6＋8＋……＋＋50)

＝48×50×52÷6＋(2＋50)×25÷2

＝20800＋650

＝21450例题5

1×1！＋2×2！＋3×3！＋4×4！＋……＋2020×2020！（结果用阶乘表示）【答案】

观察发现2×2!＝2×2×1＝(3－1)×2×1＝3!－2!

3×3!＝3×3×2×1＝(4－1)×3×2×1＝4!－3!，

……

2020×2020！

＝2020×2020×2019×……×2×1

＝(2021－1)×2020×2019×……×2×1

＝2021！－2020！

可见，1×1！＋2×2！＋3×3！＋4×4！＋……＋2020×2020！

＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4!－3!)＋……＋(2021！－2020！)

＝2021！－1！例题6

1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋……＋99×99×99＋100×100×100【答案】

方法一

1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋……＋99×99×99＋100×100×100

＝1＋(1×2×3＋2)＋(2×3×4＋3)＋……＋(98×99×100＋99)＋(99×100×101＋100)

＝(1×2×3＋2×3×4＋……98×99×100＋99×100×101)＋(1＋2＋3＋……＋99＋100)

＝99×100×101×102÷4＋(1＋100)×100÷2

＝25502500

方法二

1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋……＋99×99×99＋100×100×100

＝13＋23＋33＋43＋……＋993＋1003

＝(1＋2＋3＋4＋……＋99＋100)2

＝25502500选讲题※ 1×100＋2×99＋3×9