2.1 等式性质与不等式性质（原卷版）

.1等式性质与不等式性质知识点一用不等式(组)表示不等关系【【解题思路】1.将不等关系表示成不等式(组)的解题思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量．（2）用适当的不等号连接．（3）多个不等关系用不等式组表示．2.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤【例1-1】（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（

）A． B．或C． D．【例1-2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（

）．A． B．C． D．【变式】1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（

）A．某人的月收入元不高于元可表示为“”B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C．变量不小于可表示为“”D．变量不超过可表示为“”2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（

）A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节知识点二作差法、作商法比较大小【【解题思路】作差法或作商法比较两个实数大小的解题思路作差或作商变形：采用配方、因式分解、通分、分子分母有理化等定号：作差法-判断差值与0的大小；作商法-判断商与1的大小结论：利用实数a、b大小比较的结果【例2-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．无法确定【例2-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则（填入“＞”或“＜”）．【变式】1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）;

（2）;（3）;

（4）,;（5）3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.知识点三不等式的性质【【解题思路】利用不等式性质判断命题真假解题思路(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．【例3-1】（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【例3-2】．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式】1．（2024高二上·福建·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．知识点四不等式的性质求取值范围【【解题思路】利用不等式的性质求取值范围的解题思路(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．【例4-1】（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式】1．（22-23高一上·河南·阶段练习）若，则下列各式恒成立的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）已知，则下列结果正确的有（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·上海·假期作业）如果，则（1）的取值范围是；（2）的取值范围是；（3）的取值范围是；（4）的取值范围是.单选题1．（2023广西）如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（

）A． B． C． D．不能确定3．（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023云南）若，下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．5．（2023·全国·高一假期作业）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则6．（2024·新疆克拉玛依）如果，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．（2023·内蒙古呼和浩特）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（

）A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱8．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则．多选题9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（）A． B．C． D．10．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（

）A． B． C． D．11．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（

）A． B．C． D．填空题12．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为．13．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知，则的取值范围是.14．（23-24高二下·天津河西·期末）给出下列命题：①若，则；②若，则；③若a，b是非零实数，且，则；④若，则解答题15．（23-24高一上·云南红河·期中）比较下列两式大小：(1)与(2)与（3）已知，试比较与的大小.（4）已知，试比较和的大小.16．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）（1）如果，，求，，的取值范围.（2）已知，满足，，求的取值范围.（3）实数a，b满足，.①求实数a，b的取值范围；②求的取值范围.17．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有，有几种？请加以证明.18．（22-23高一·全国·课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.19．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）对在