第十章 第6讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量及其分布列、数字特征

课标要求命题点五年考情命题分析预测了解离散型随机

变量的概念，理

解离散型随机变

量分布列及其数

字特征(均值、

方差).离散型随机变

量分布列的性

质本讲是高考的命题热点，常以实际

问题为情境，与计数原理、古典概

型等知识综合命题，考查离散型随

机变量的分布列、均值与方差，以

解答题为主，有时也以选择题、填

空题的形式进行考查，难度中等.课标要求命题点五年考情命题分析预测了解离散型随机变

量的概念，理解离

散型随机变量分布

列及其数字特征

(均值、方差).离散型随机变量

的分布列及数字

特征2022全国卷甲T19；

2021新高考卷ⅠT18；

2021新高考卷ⅡT21；

2019全国卷ⅠT21预计2025年高考会

着重考查本讲知识

的实际应用.利用均值与方差

进行决策2021新高考卷ⅠT18

学生用书P2391.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有①

⁠

与之对应，我们称

X

为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称

为离散型随机变量.随机变量一般用大写英文字母表示，例如

X

，

Y

，

Z

.

随机变量的取值一般用小写英

文字母表示，例如

x

，

y

，

z

.唯一的实数

X

(ω)

2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量

X

的可能取值为

x

1，

x

2，…，

xn

，我们称

X

取每一个值

xi

的概率

P

(

X

＝

xi

)＝

pi

，

i

＝1，2，…，

n

为

X

的概率分布列，简称分布列.离散型

随机变量的分布列可以用表格或图形表示.3.离散型随机变量分布列的性质(1)

pi

②

0，

i

＝1，2，…，

n

；(2)

p

1＋

p

2＋…＋

pn

＝③

⁠.≥

1

4.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量

X

的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn

x

1

p

1＋

x

2

p

2＋…＋

xnpn

标准差

偏离程度

5.均值与方差的性质若

Y

＝

aX

＋

b

，其中

a

，

b

是常数，

X

，

X

1，

X

2是随机变量，则(1)

E

(

aX

＋

b

)＝⑧

，

D

(

aX

＋

b

)＝⑨

⁠；(2)

E

(

X

1＋

X

2)＝

E

(

X

1)＋

E

(

X

2)，

D

(

X

)＝

E

(

X

2)－[

E

(

X

)]2.aE

(

X

)＋

b

a

2

D

(

X

)

1.下列说法错误的是

(

B

)A.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量B.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1C.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的D.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标

准差越小，则偏离变量的平均程度越小B123452.设

X

是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P1－qq－q2则

q

等于(

D

)A.1

D123453.一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品

可获利30元，生产一件次品要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品

的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(

B

)A.36元B.37元C.38元D.39元[解析]设这台机器每生产一件产品可获利

X

元，则

X

可能取的数值为50，30，－

20，所以

P

(

X

＝50)＝0.6，

P

(

X

＝30)＝0.3，

P

(

X

＝－20)＝0.1，所以这台机器每生

产一件产品平均预期可获利为

E

(

X

)＝50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)，故选B.B123454.[多选]设离散型随机变量

X

的分布列为X01234P

q0.40.10.20.2若离散型随机变量

Y

满足

Y

＝2

X

＋1，则下列结果正确的有(

ACD

)A.q＝0.1B.E(X)＝2，D(X)＝1.4C.E(X)＝2，D(X)＝1.8D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.2ACD12345[解析]因为

q

＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以

q

＝0.1，故A正确；又

E

(

X

)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，

D

(

X

)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为

Y

＝2

X

＋1，所以

E

(

Y

)＝2

E

(

X

)＋1＝5，

D

(

Y

)＝4

D

(

X

)＝7.2，故D正确.故选ACD.123455.若随机变量

X

满足

P

(

X

＝

c

)＝1，其中

c

为常数，则

D

(

X

)的值为

⁠.[解析]

∵

P

(

X

＝

c

)＝1，∴

E

(

X

)＝

c

×1＝

c

，∴

D

(

X

)＝(

c

－

c

)2×1＝0.0

12345

学生用书P241

ξ78910Px0.10.3y

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2[解析]由题中表格可知

x

＋0.1＋0.3＋

y

＝1，7

x

＋8×0.1＋9×0.3＋10

y

＝8.9，解

得

y

＝0.4.故选C.C例1训练1例2训练2例3训练3

AB

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧离散型随机变量分布列的性质的应用1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的值及检验分布列是否正确；2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之

和”求某些特定事件的概率.例1训练1例2训练2例3训练3训练1(1)若随机变量

X

的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当

P

(

X

＜

a

)＝0.8时，实数

a

的取值范围是(

C

)A.(－∞，2]B.[1，2]C.(1，2]D.(1，2)[解析]由随机变量

X

的分布列知，

P

(

X

＜1)＝0.5，

P

(

X

＜2)＝0.8，故当

P

(

X

＜

a

)＝0.8时，实数

a

的取值范围是(1，2].C例1训练1例2训练2例3训练3(2)随机变量

X

的分布列如下：X－101Pabc其中

a

，

b

，

c

成等差数列，则

P

(｜

X

｜＝1)＝

，公差

d

的取值范围是

⁠

⁠.

例1训练1例2训练2例3训练3

B.E(3ξ＋1)＝7C.D(ξ)＝2D.D(3ξ＋1)＝6ABC例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)[2022全国卷甲]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜

方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.

已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互

独立.①求甲学校获得冠军的概率；[解析]

①设甲学校获得冠军的事件为

A

，则甲学校必须获胜2场或者3场.

P

(

A

)＝

0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.6.故甲学校获得冠军的概率为0.6.②用

X

表示乙学校的总得分，求

X

的分布列与期望.例1训练1例2训练2例3训练3②

X

的取值可以为0，10，20，30.

P

(

X

＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，

P

(

X

＝10)＝(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.44，

P

(

X

＝20)＝(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.4×(1－

0.8)＝0.34，

P

(

X

＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06.所以

X

的分布列为X0102030P0.160.440.340.06所以

E

(

X

)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧求离散型随机变量

X

的均值与方差的步骤(1)理解

X

的含义，写出

X

的全部可能取值；(2)求

X

取每个值的概率；(3)写出

X

的分布列；(4)由均值、方差的定义求

E

(

X

)，

D

(

X

).例1训练1例2训练2例3训练3训练2[多选]甲、乙两人进行纸牌游戏(纸牌除了颜色不同，没有其他任何区别)，他

们手里各持有4张纸牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张

红牌，现在两人都各自随机取出1张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌张数分

别为

X

，

Y

，则(

AD

)C.E(X)＝E(Y)D.D(X)＝D(Y)AD例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3命题点3

利用均值与方差进行决策例3[2021新高考卷Ⅰ]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加

比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则

该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回

答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0

分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能

正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记

X

为小明的累计得分，求

X

的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.例1训练1例2训练2例3训练3[解析]

(1)由题意得，

X

的所有可能取值为0，20，100，

P

(

X

＝0)＝1－0.8＝0.2，

P

(

X

＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，

P

(

X

＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以

X

的分布列为X020100P0.20.320.48例1训练1例2训练2例3训练3(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得

E

(

X

)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记

Y

为小明的累计得分，则

Y

的所有可能取值为0，80，100，

P

(

Y

＝0)＝1－0.6＝0.4，

P

(

Y

＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，

P

(

Y

＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以

Y

的分布列为Y080100P0.40.120.48

E

(

Y

)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6＞54.4，即

E

(

Y

)＞

E

(

X

)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先

回答B类问题.例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧在利用均值和方差的意义去分析、解决实际问题时，一般先比较均值，若均值相

同，再用方差来决定.需要注意的是，实际应用中是方差大了好还是方差小了好，要

看这组数据反映的实际问题.例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

300－150P

5000－300P例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金

继续用作投资)，大约在哪一年年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)例1训练1例2训练2例3训练3

1.[命题点1]设

X

是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数

a

的值为(

A

)

A12342.[命题点2]已知ξ的分布列如表所示.012P？！？

A.0B.1C.2D.3C1234

[解析]

设“？”＝

a

，“！”＝

b

，则

a

，

b

∈[0，1]，2

a

＋

b

＝1.

12343.[命题点2/2023南昌市一模]某班准备购买班服，确定从

A

，

B

两种款式中选出一种

统一购买.现在全班50位同学赞成购买

A

，

B

款式的人数分别为20，30，为了尽量统

一意见，准备在全班进行3轮宣传，每轮宣传从全班同学中随机选出一位，介绍他

赞成所选款式的理由.假设每轮宣传后，赞成该同学所选款式的不会改变意见，不赞

成该同学所选款式的同学会有5位改变意见，改成赞成该同学所选款式.(1)计算第2轮宣传选到的同学赞成

A

款式的概率.1234

1234

(2)设经过3轮宣传后赞成

A

款式的人数为

X

，求随机变量

X

的数学期望.1234所以

X

的分布列为X5152535P

1234

1234(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大.

X123P

1234

Y0123P1234

1234

学生用书·作业帮P390

C123456789101112

X－201PabB123456789101112

1234567891011123.设0＜

a

≤

b

，随机变量

X

的分布列是X012Paba＋b则

E

(

X

)的取值范围是(

D

)

D1234567891011124.[浙江高考]设0＜

a

＜1.随机变量

X

的分布列是X0a1P则当

a

在(0，1)内增大时，(

D

)A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大D123456789101112

123456789101112

X012Pp－p21－pp2A.P(X＝2)的值最大B.P(X＝0)＜P(X＝1)C.E(X)随p的增大而减小D.E(X)随p的增大而增大BD123456789101112

1234567891011126.[多选]已知

A

＝

B

＝{1，2，3}，分别从集合

A

，

B

中各随机取一个数

a

，

b

，得到

平面上一个点

P

(

a

，

b

)，设事件“点

P

恰好落在直线

x

＋

y

＝

n

上”对应的随机变

量为

X

，

P

(

X

＝

n

)＝

Pn

，

X

的数学期望和方差分别为

E

(

X

)，

D

(

X

)，则(

BCD

)A.P4＝2P2C.E(X)＝4BCD123456789101112

1234567891011127.若

n

是一个三位正整数，且

n

的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数

字，则称

n

为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位

参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如

下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被

5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.若甲参加活动，则甲得

分

X

的均值

E

(

X

)＝

⁠.

123456789101112

X0－11P

1234567891011128.[2024惠州市一调]学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多

轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10

分，负者得－5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师

甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目比赛结果相互独立.甲、

乙获得冠军的概率分别记为

p

1，

p

2.123456789101112[解析]

(1)根据题意知，

X

的所有可能取值为－15，0，15，30.可得

P

(

X

＝－15)＝0.4×0.5×0.75＝0.15，

P

(

X

＝0)＝0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.425，

P

(

X

＝15)＝0.4×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.75＝0.35，

P

(

X

＝30)＝0.6×0.5×0.25＝0.075.∴

X

的分布列为X－1501530P0.150.4250.350.075∴

E

(

X

)＝－15×0.15＋0×0.425＋15×0.35＋30×0.075＝5.25.(1)用

X

表示教师乙的总得分，求

X

的分布列与期望.123456789101112

123456789101112

1234567891011129.[2023重庆市三检]在“五一”节日期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购

买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均

分成

n

(

n

∈N*，

n

≥3)个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，

顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色(若指针

指在分界线处，本次转动无效，需重转一次)，若三次颜色都一样，则获得一等奖；

若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖.123456789101112

123456789101112

1086018P(2)规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在

n

取(1)中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望.

123456789101112

10.[2024南昌市模拟]党建知识竞赛有两关，