第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结及测试（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式章末总结及测试考点一不等式的性质1．（23-24高一江苏无锡·期末）（多选）下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】A.若，此时，故A错误；B.若，则，则，故B正确；C.，，所以，即，故C错误；D.若，则，则，故D正确；故选：BD2．（23-24高一河北衡水·期末）（多选）对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】对于A选项，因为，，但是，所以选项A不正确；对于B选项，因为成立，即，又，则，所以选项B正确；对于C选项，因为，但是，所以C不正确；对于D选项，若，则，即，故选项D正确.故选：BD.3．（23-24高一上·江苏无锡·期末）（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（

）A．如果，，那么B．如果，那么C．若，，则D．如果，，，那么【答案】AD【解析】对A，如果，，则，那么，故A正确；对B，如果，那么，则，故B错误；对C，若，，则，故C错误；对D，如果，，，则，故，则，，故D正确；故选：AD4．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】A选项，因为，所以，故两边同除以得，，A正确；B选项，因为，所以，故两边同除以得，，B错误；C选项，因为，所以，故，同理可得，C错误；D选项，因为，所以，故，故，，故，所以，D正确.故选：AD考点二基本不等式1．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．4 B．9 C．10 D．20【答案】B【解析】为正实数，方程两边同时除以得，，当且仅当即时等号成立，故的最小值为.故选：.2．（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，对于任意正实数x，y，，当且仅当时取等号，即此时不等式对于任意正实数x，y恒成立；当不等式对于任意正实数x，y恒成立时，，当且仅当时取等号，此时需满足，解得，此时a不一定等于9，故“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件，故选：A4．（23-24高一下·重庆·期末）（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】设，代入得，化简得，所以，解得，，选项A正确；当时，由，得，,解得，当且仅当时成立，选项B正确；由，得时，，，解得，选项C错误；由，得，,解得，当且仅当时取等号，选项D正确；故选：ABD.5．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为元．【答案】【解析】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m，所以房屋的总造价为，因为，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：.考点三二次函数与一元二次方程、不等式1．（23-24高二下·浙江·期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式可化为，等价于解得，所以不等式的解集为．故选：A．2．（23-24高一·江苏扬州·期末）命题“”是假命题，则实数的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】因为“”是假命题，所以“”是真命题，则，解得，故选：C．3．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（

）A．不等式的解集是B．C．不等式的解集为D．设x的不等式的解集为N，则【答案】ABD【解析】关于的不等式的解集为则,且关于的方程的根为，，则，解之得，则不等式为，所以解集为，，所以A、B都正确；不等式可化为，即，所以解集为，或，故C错误；设，，则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，

所以不等式的解集为N，则，D正确.故选：ABD4．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知，①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；②如果对，恒成立，求实数的取值范围.（2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）①；②；（2）【解析】（1）①由题意可得，解得，②为开口向上的二次函数，对称轴如果对，恒成立，则或或解得（2）①若；此时不等式为，满足题意，②若，综上可得5．（24-25高一上·全国·假期作业）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．①求出与之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元(2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大【解析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，所以两边同乘得：，解得：，经检验：为该分式方程的解，且符合题意．所以甲种灯笼元，乙种灯笼元；（2）①由题意，故与的函数解析式为②由①知，函数开口向下函数在对称轴处有最大值．因为销售部门规定其销售单价不高于每对元所以，所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大．6．（2024山东）解关于x的不等式．(1)（）；(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】（1）①当，即时，原不等式无解．②当，即或时，方程的两根为，，则原不等式的解集为综上所述，当时，原不等式无解；当或时，原不等式的解集为；（2）若，原不等式等价于，解得．若，原不等式等价于，解得或．若，原不等式等价于，①当时，，无解；②当时，，解得，③当时，，解得，综上所述，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.一、单选题1．（23-24山东青岛·阶段练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】不等式，即，，即，故或.故选：D2．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】由，则，故，当且仅当时，等号成立.故选：D.3．（23-24高一下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（

）A．若，，则一定有B．若，则C．若，，则D．若，则【答案】D【解析】对于A，若，，，，则，故A错误.对于B，若，则，故B错误.对于C，，若，，则，即，所以C错误.对于D，由，可知，即，所以，故D正确.故选：D.4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意可知，，，则，，所求的不等式可化为：，即，解得：或.故选：C5．（23-24高一·湖北武汉·期末）已知，且满足，则（

）A．的最小值为48 B．的最小值为C．的最大值为48 D．的最大值为【答案】A【解析】由题意得，所以，所以，当且仅当时取等，此时，故A正确.故选：A6．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【答案】A【解析】由，则，当且仅当，即，时，等号成立.故选：A.7．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式对任意实数恒成立，即恒成立，故判别式，解得，故选：A.8．（23-24江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，等号成立当且仅当，从而，令，设，显然，则，因为关于的一元二次方程有实数根，所以，整理得，即，解得，注意到，从而，等号成立当且仅当，即，所以经检验的最大值，即的最大值为.故选：D.二、多选题9．（2024广东深圳）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【答案】ABD【解析】A选项，∵关于x的不等式的解集为，∴，A选项正确；BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，由根与系数的关系得，则，不等式，即，解得，B正确；且，C错误；D选项，不等式，即，即，解得或，D正确．故选：ABD10．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列选项中，正确的是（

）A．不等式的解集为或B．不等式的解集为C．不等式的解集为D．设，则“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】A选项，或，A正确；B选项，，B正确；C选项，或，即或，C错误；D选项，，，而，D正确．故选：ABD．11．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【解析】对于A：∵，，.∴，.当且仅当，即，，取“”，∴A正确；对于B：，由（1）知，∴.∴.∴B正确；对于C：.∴，∴C错误；对于D：，当且仅当，即，取“”，∴D正确.故选：ABD.三、填空题12．（2024高三下·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为．【答案】【解析】因为，所以又,两式相加可得故答案为：13．（23-24青海西宁·阶段练习）某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为元.【答案】【解析】因为水池的容积为，深为，所以底面积为，设水池池底的一边长为，则另一边长为，则总造价（元）.当且仅当，即时，取最小值为.所以水池的最低造价为元.故答案为：.14．（2024·江西宜春）已知，，且满足，则的最大值为．【答案】【解析】解法1、由，可得，由基本不等式得，可得，所以，当且仅当时取等号，联立方程组，解得，，故的最大值为2．解法2、由，可得，因为，由权方和不等式得，即，所以，当且仅当，即时取等号，联立方程组，解得，，故的最大值为2．故答案为：.四、解答题15．（2024安徽合肥）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】（1）由题意，得，整理得，解得，又，所以，故x的取值范围为.（2）由题意知网店销售的利润为万元，技术指导后，养羊的利润为万元，则恒成立.又，则恒成立.又，当且仅当时，等号成立，，即的最大值为6.5.16．（2025甘肃）求解下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).(6)；(7)；(8)；(9).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)【解析】（1）由可得，解得或，故原不等式的解集为.（2）由可得，解得，故原不等式的解集为.（3）由可得，即，解得，故原不等式的解集为.（4）等价于，解得，故原不等式的解集为.（5）由可得，等价于，解得，故原不等式的解集为.（6）由，得，解得，故不等式的解集为.（7）由，得，即，解得或，故不等式的解集为.（8）由，得，即，解得，故不等式的解集为.（9）由，得，解得或，故不等式的解集为.17．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；(2)若f(1)=2，①a＞0，b＞0，求的最小值；②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)①9；②【解析】（1）由题意的两根是和1且，所以，解得．（2）①，，又，所以，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是9．②由①得，，即，的解集为R，时，不合题意，