3.1 函数的概念及表示（原卷版）

.1函数的概念及表示知识点一函数的概念【【解题思路】1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法（1）任取一条垂直于x轴的直线l；（2）在定义域内平行移动直线l；（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.2判断一个对应关系是否为函数的方法【例1-1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（

）A．B．C． D．【例1-2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（

）A． B．C． D．【例1-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（

）A． B．C． D．【变式】1．（24-25高一上·全国·假期作业）（多选）下列图象中，表示函数关系的有（

）A．B．C．D．2．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）（多选）对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（

）

A．① B．② C．③ D．④3．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，4．（23-24高一上·重庆·阶段练习）（多选）下列对应关系是从到的函数的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，知识点二区间的表示【【解题思路】用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开．(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．【例2-1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（

）A．用区间可表示为 B．用区间可表示为C．用集合可表示为 D．用集合可表示为【例2-2】（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为.【变式】1．（22-23高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．2．（2024湖北）已知区间[－2a，3a＋5]，则a的取值范围为．知识点三函数的定义域【【解题思路】1.具体函数的定义域（1）分式：分母不等于零（2）根式：根式是偶次根式。根号内的式子不小于零（3）0次方：一个数的0次方等于1，这个数不能为02.求抽象函数的定义域的策略（1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；（2）若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．口诀：对应法则不变，括号内等范围3.求函数定义域应注意的问题（1）不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；（2）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．【例3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．【例3-2】．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域：①；②.（2）函数的定义域是，求函数的定义域.【例3-3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（

）A．{且} B．{且}C． D．{且}2．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是．3．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为．4．（2024高一·全国·专题练习）已知的定义域为，则的定义域为（）A． B． C． D．5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．6．（23-24辽宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．知识点四相等函数【【解题思路】判断两个函数为同一函数（1）定义域、对应关系两者中都相同时，为同一个函数（2）在化简解析式时，必须是等价变形.【例4-1】（2024浙江·学业考试）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．和 B．和C．和 D．与【例4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A． B．C． D．【变式】1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与4．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与知识点五函数的表示方法【【解题思路】函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系【例5-1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的部分与的对应关系如下表：则（

）0123432100A． B． C． D．3【例5-2】（23-24高一上·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（

）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A．

B．

C．

D．

【变式】1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（

）123131321A．1 B．2 C．3 D．1和22．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（

）．123230

A．3 B．2 C．1 D．03．（23-24山东济南·阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（

）A．B．C．D．知识点六分段函数【例6-1】（23-24陕西西安·期中）设．(1)求的值；(2)若，求t值.【例6-2】（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数.(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；【变式】1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数(1)求；(2)若，求a的取值范围.2．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数.(1)求，的值；(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．

(1)写出函数的解析式、定义域和值域；(2)求，的值．重难点一函数的解析式【【解题思路】1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.3.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.【例7】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式；（2）已知，求的表达式；（3）已知，求的表达式；（4）已知，求的表达式．【变式】1．（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（

）A． B．（）C．（） D．（）2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则．3．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则．4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式；（2）已知，求的表达式；（3）已知，求的表达式．重难点二作函数图像【例8】（23-24广东深圳）作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)．(4)(5)，（6）【变式】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的草图．(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．（7）单选题1.（203·江苏扬州）下列对应是集合到集合的函数的是（

）A．，B．，，C．，D．，2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（

）A．2 B．3 C． D．53．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·山东·期中）已知函数，若，则（

）A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或5．（2023·山东）下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，6．（22-23高一上·浙江·期中）已知，则说法不正确的是（

）A． B．C． D．当，7．（2024·北京）函数的值域为（

）A． B．C． D．以上答案都不对8．（2023·高一课时练习）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5多选题9．（2023·云南）下列四个图象中，是函数图象的是（

）A．

B．

C．

D．

10．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（

）A． B．C． D．11．（2023-2024·高一课时练习）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（

）

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．当0≤x≤30时，y与x的关系式为D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为填空题12．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是（填序号）．①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．13．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数，则当函数值时，.14．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）已知函数和分别由下表给出，则，若，则实数的取值集合为.1234514916252345613245解答题15．（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数．(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；(2)解不等式．16．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函数，且，求；(4)定义在区间上的函数满足，求的解析式．17．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）分别根据下列两个实际背景(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象；(3)求函数的值域.背景1：在国内投递外埠平信，每封信不超过付邮资80分，超过不超过付邮资160分，超过不超过付邮资240，依此类推，每的信应付邮资（单位：分）.背景2：如图所示，在边长为2的正方形的边上有一个动点，从点出发沿折线.移动一周后，回到点.设点移动的路程为，的面积为.

18．（2023秋·高一单元测试）水培植物需要一种植物专用营