第六章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

第六章平面向量、复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.平面向量基本定理的应用该讲命题热点为平面向量的坐标运算、共线的坐标表示等，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，备考时要关注坐标法在求解向量问题中的应用.平面向量的

坐标运算2023新高考卷ⅠT3；2022北京T10；2021全国卷甲T14；2021新高考卷ⅠT10；2019全国卷ⅡT3向量共线的

坐标表示2021全国卷乙T13

1.平面向量基本定理(1)定理：如果

e

1，

e

2是同一平面内的两个①

⁠向量，那么对于这一平面内

的任一向量

a

，②

一对实数λ1，λ2，使

a

＝λ1

e

1＋λ2

e

2.(2)基底：若

e

1，

e

2③

，我们把{

e

1，

e

2}叫做表示这一平面内所有向量

的一个基底.注意

(1)基底向量

e

1，

e

2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作

为基底向量；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的坐标表示(1)把一个向量分解为两个④

的向量，叫做把向量作正交分解.不共线

有且只有

不共线

互相垂直

(2)平面向量运算的坐标表示坐标表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝⑤

，a－

b＝⑥

⁠.数乘已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数.任一向量的

坐标说明

(1)相等向量的坐标相同；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无

关，只与其相对位置有关.(x1＋x2，y1＋y2)

(x1－x2，y1－y2)

(x2－x1，y2－y1)

(3)平面向量共线的坐标表示如果

a

＝(

x

1，

y

1)，

b

＝(

x

2，

y

2)，那么

a

∥

b

的充要条件为⑧

⁠.

x

1

y

2－

x

2

y

1＝0

1.下列说法正确的是(

B

)A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底B.设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，

则λ1＝λ2，μ1＝μ2D.平面向量经过平移后其坐标改变

B123

A.(2，4)B.(－14，16)C.(6，1)D.(2，－11)

A1233.已知

e

1，

e

2不共线，

a

＝

e

1＋2

e

2，

b

＝2

e

1＋λ

e

2，要使{

a

，

b

}能作为平面内所

有向量的一个基底，则实数λ的取值范围是

⁠.(－∞，4)∪(4，＋∞)

123

A例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4A.1B.2C.3D.4

C例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧1.应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行

向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将相

关向量表示出来，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4训练1

(1)[2024昆明市模拟]在平行四边形

ABCD

中，点

T

为

CD

的中点，则(

A

)

A例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

D例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)

A例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4(2)已知向量

a

，

b

，

c

在正方形网格中的位置如图所示，以

a

，

b

为基底，则

(

C

)A.c＝－2a＋3bB.c＝－3a＋2bC.c＝3a－2bD.c＝2a－3bC例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，根据“两个

向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问

题的解答转化为我们熟知的数量运算.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

C.2B例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4(2)已知平面上的三个点

A

(－2，1)，

B

(－1，3)，

C

(3，4)，若

A

，

B

，

C

，

D

四点

能构成平行四边形，则点

D

的坐标为

⁠.

(2，2)或(4，6)或(－6，0)

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4命题点3

向量共线的坐标表示例3

(1)[2021全国卷乙]已知向量

a

＝(2，5)，

b

＝(λ，4)，若

a

∥

b

，则λ＝

⁠.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧平面向量共线问题的解题策略(1)若

a

＝(

x

1，

y

1)，

b

＝(

x

2，

y

2)，则

a

∥

b

⇔

x

1

y

2－

x

2

y

1＝0.(2)若

a

∥

b

(

b

≠0)，则

a

＝λ

b

.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

A.y＝8，λ＝2

D例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

思维帮·提升思维

快速解题

4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4证明过程如下.延长

AP

交边

BC

于点

Q

，如图所示.用

S

表示△

ABC

的面积，则

S

＝

SA

＋

SB

＋

SC

，用

h

1表示△

BPC

的边

BC

上的高，用

h

表示△

ABC

的边

BC

上的高.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4用

h

2表示△

CPA

的边

AP

上的高，用

h

3表示△

APB

的边

AP

上的高.

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

A.2B.3C.4D.5

C例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

D.1B1234

12342.[命题点2/多选]已知向量

e

1＝(－1，2)，

e

2＝(2，1)，若向量

a

＝λ1

e

1＋λ2

e

2，则

使λ1λ2＜0成立的

a

可能是(

AC

)A.(1，0)B.(0，1)C.(－1，0)D.(0，－1)[解析]因为

e

1＝(－1，2)，

e

2＝(2，1)，所以向量

a

＝λ1

e

1＋λ2

e

2＝(－λ1，2λ1)＋

(2λ2，λ2)＝(2λ2－λ1，2λ1＋λ2).当

a

＝(1，0)时，2λ1＋λ2＝0，满足题意；当

a

＝(0，

1)时，2λ2－λ1＝0，不满足题意；当

a

＝(－1，0)时，2λ1＋λ2＝0，满足题意；当

a

＝

(0，－1)时，2λ2－λ1＝0，不满足题意.AC1234

A.1C.2B1234

1234

B.1D.2

A1234

1.[2024山东菏泽模拟]设{

e

1，

e

2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作

为基底的是(

C

)A.e1＋e2和e1－e2B.4e1＋2e2和2e2－4e1D.e1－2e2和4e2＋2e1

C12345678910111213142.[2024河南商丘期末]已知点

A

(8，－1)，

B

(1，－3)，若点

C

(2

m

－1，

m

＋2)与

A

，

B

共线，则实数

m

＝(

C

)A.－12B.13C.－13D.12

C12345678910111213143.[2023山东省实验中学开学考试]已知向量

a

＝(2，－3)，

b

＝(

m

，1)，若｜

a

＋2

b

｜＝｜

a

－2

b

｜，则

m

＝(

A

)

A1234567891011121314

A1234567891011121314[解析]如图，因为点

M

是

BC

的中点，

1234567891011121314

D1234567891011121314

AC1234567891011121314

A.－2B.3C.1D.－1

ACD1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

D1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011