第三章 函数的概念及性质章末总结及测试（解析版）

第三章函数的概念及性质章末总结及测试考点一函数的定义域1.（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数，令，等价于，解得或，所以函数的定义域为.故选：D2．（23-24黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题可知的定义域为，则为使有意义必须且只需，解得，所以的定义域为.故选：D3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意可得函数的定义域为，可知，即的定义域为，所以需满足，解得，即的定义域为.故选：D4．（23-24江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是.【答案】【解析】的定义域为，是使在实数集上恒成立.若时,要使恒成立,则有且,即,解得.若时，化为，恒成立，所以满足题意，所以故答案为：.考点二函数的解析式1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函数，且，求；(4)定义在区间上的函数满足，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)或(4)【解析】（1）因为，所以．（2）解法一（换元法）：令，，则，所以，所以．解法二（配凑法）：，因为，所以．（3）设，则，所以，解得或，所以或．（4）对任意的有，由，①得，②联立①②解得，．2．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函数，且，求；(4)已知为二次函数，且，求；(5)定义在区间上的函数满足，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)或(4)(5)【解析】（1）因为，所以.（2）解法一（换元法）：令，，则，所以，所以.解法二（配凑法）：，因为，所以.（3）设，则，所以，解得或，所以或.（4）设，则，所以，解得，所以.（5）对任意的有，由，①得，②联立①②解得，.考点三函数的值域或最值1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为，所以的值域为，即，故选：A.2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以．故选：C.3．（22-23河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（

）A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【解析】设，，，时，，时，因为，所以，解得，即且，综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B．4．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（）A．1 B． C． D．-【答案】A【解析】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，，当时，，又时，，存在最小值，满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得：，；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，不等式无解；综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.故选：A.5．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，值域为当时，由，得，由，得，解得或，作出的图象如下图所示，由图象可得：，即实数的取值范围是.故选：C.6．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知当时，，故要使函数的值域为，需满足，解得，故的取值范围是，选：D考点四函数的单调性1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误；对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误；对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误；对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确.故选：D.2．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，当，即时，需满足，解得，所以；当，即时，需满足，即，解得，又，所以,综上，实数的取值范围为.故选：B3．（23-24黑龙江牡丹江·期末）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数，则，解得．故选：A．4．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线，其对称轴左侧的图象是下降的，∴，故，因此，实数的取值范围是.故选：A.5．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】开口向下的二次函数的对称轴是，因为函数在区间上为严格增函数，所以，解得.故答案为：.6．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的单调增区间是．【答案】【解析】的对称轴为，因为，所以的图象开口向上，所以的单调递增区间为.故答案为：7．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【解析】】当时，，作出函数的图象，如图（1）所示，可得函数在上单调递增，满足题意；当时，，由二次函数的性质，可得函数在上单调递增，满足题意；当时，，作出函数的图象，如图（2）所示，要使得在上单调递增，则满足或，解得或，综上所述，的取值范围是.故答案为：.考点五函数的奇偶性1．（22-23高一上·广东湛江·期中）（多选）下列函数是奇函数的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】A.因为的定义域为，且，A正确；B.因为的定义域为R，且，B正确C.因为的定义域为，设，则，所以，则，同理当时，，所以函数是奇函数，C正确；D.由，即，解得,所以函数的定义域是，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故D错误；故选：ABC2．（23-24高二下·广西北海·期末）若函数是定义在上的奇函数，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】设，则，即，即所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，故选：A.3．（23-24山东济宁·期末）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对于任意不等实数都满足，即当时，；时，故在区间上单调递增.因为是定义在上的偶函数，则，所以不等式，又，由在区间上单调递增.则，即，解得，或，故选：D.4．（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由，可得：，或，或，解得或，所以满足的x的取值范围是，故选：C.5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为．【答案】或【解析】由题设，函数的定义域关于原点对称，即，解得或，故答案为：或.6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为的图象的对称轴为，且开口向上，所以在上严格增，且在R上是偶函数，所以，两边平方得，所以.故答案为：7．（24-25高一上·上海·随堂练习）设是定义在R上的奇函数．当时，，则时，．【答案】【解析】因为是奇函数，时．所以，所以．所以时，故答案为：．考点六幂函数1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为偶函数B．函数的定义域为C．函数的值域为D．在其定义域上单调递增【答案】BCD【解析】设，由的图象经过点，得，解得，所以.选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误；选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确；选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确；选项D，由在上是增函数，D正确.故选：BCD.2．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）（多选）若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的定义域是 D．为偶函数【答案】BC【解析】由幂函数，则，即，且，解得，，则A错误，B正确；的定义域为，故C正确，D错误.故选：BC.3．（23-24高一上·湖南娄底·期末）（多选）关于幂函数的性质下列说法中正确的是（

）A．当时，在是单调递减B．当时，在是单调递减C．当时，是偶函数D．当时，是偶函数【答案】AD【解析】对于A，当时，在单调递增，且注意到，且定义域关于原点对称，即是偶函数，所以在是单调递减，故A正确；对于B，当时，在单调递增，且注意到，且定义域关于原点对称，即是奇函数，所以在是单调递增，故B错误；对于C，当时，定义域为，它为非奇非偶函数，故C错误；对于D，当时，定义域为，且，所以此时是偶函数，故D正确.故选：AD.4．（23-24高一上·山东滨州·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（

）A．为偶函数 B．为增函数C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】设幂函数，由于图象经过点，所以，即，所以，故在定义域,上单调递增，B正确；为非奇非偶函数，A不符合题意；当，解得，故C正确；当时，，故，即成立，D正确．故选：BD5．（23-24高一上·四川绵阳·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．不等式的解集为 D．函数是偶函数【答案】BCD【解析】由题意知，，即，得，所以.A：，所以函数的定义域为，故A错误；B：由，知函数的值域为，故B正确；C：由，得且，即，故C正确；D：易知函数的定义域为，关于原点对称，由，知函数为偶函数，故D正确.故选：BCD6．（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的定义域为C．函数为偶函数 D．函数的值域为【答案】ACD【解析】将代入函数中，可得，解得，故，即A正确，易知，故的定义域为，故B错误，对于，故函数为偶函数，即C正确，任取，，使，必有，故在单调递减，由偶函数性质得在单调递增，故当时，，当时，，故函数的值域为，故D正确，故选：ACD考点七函数的应用1．（22-23高一上·全国·课后作业）（多选）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（

）

A．甲车出发2h时，两车相遇B．乙车出发1.5h时，两车相距170kmC．乙车出发2h时，两车相遇D．甲车到达C地时，两车相距40km【答案】BCD【解析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；甲车的速度为240÷4＝60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；∵，∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确；∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；故选：BCD2．（22-23山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.【解析】（1）当时，，当时,，所以.（2）当时，,∴当时，，当时,,当且仅当，即时，，因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.3．（22-23高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本）(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)(2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．【解析】（1）由题可知，，所以；（2）当时，，由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，所以当时，取得最大值为；当时，，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．4．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1);(2)100（百辆），2300万元.【解析】（1）由题意知利润收入-总成本，所以利润,故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为.（2）当时，，故当时，；当时，,当且仅当，即时取得等号；综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．5．（22-23高一上·重庆璧山·阶段练习）某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t（单位：万件）与月促销费用x（单位：万元）满足关系式（k为常数，），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）(1)将y表示为x的函数；(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)，(2)月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元．【解析】（1）由题知，当时，，代入得．．将代入得．所以，所求函数为．（2）由（1）知，．因为，所以，因为，当且仅当，即时取等号．所以．故月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元．考点八抽象函数1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.(1)求(2)判断的奇偶性并证明(3)证明在上单调递减【答案】(1)(2)奇函数，证明见解析(3)证明见解析【解析】（1）由对任意，总有，令，则，则，又由，得，则，（2）令，则，则有，故，则是奇函数（3）设任意，，则，又，则，则，则在上单调递减.2．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：．(1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求；(3)若，判断并证明的单调性．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)(3)在上单调递增，证明见解析【解析】（1）是奇函数，证明如下：因为，令，得到，令，得到，即，所以是奇函数.（2）令，得到，由（1）知是奇函数，所以.（3）在上单调递增，证明如下：在上任取，令，则，又因为，而，所以，即，得到，所以在上单调递增.3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令．(1)求的定义域；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为的定义域为，所以有，即，解得：，所以的定义域为．（2）令，可得，即，令，得，即是奇函数，令，则，且为奇函数，，即，在上单调递增，由题意可知，，，解得，即不等式的解集为．4．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)为奇函数；(2)在上的单调递减，证明见解析；(3).【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且，取，则，即，取，则，所以，所以为奇函数.（2）在R上的单调递减，证明如下：任取，且，则，令，则，因为为奇函数，所以，因为当时，，所以，即，所以在上的单调递减.（3）由，得，因为，所以，因为在上的单调递减，所以，即时，恒成立，等价于对任意时，恒成立，令，则，所以，所以，故实数的取值范围为.一、单选题1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（

）A． B．或2 C．或2 D．或【答案】C【解析】①当时，由，解得，其中不满足题意，故；②当时，由，解得，满足，故；综上所述，则的值为或.故选：C.2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得且，解得且，故的定义域为.故选：B3．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】A【解析】由函数是奇函数，得，则，解得，函数定义域为，是奇函数，所以.故选：A4．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据幂函数的性质可知：为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数，故A正确，BD错误，且为偶函数，所以为非奇非偶函数，C错误；故选：A．5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B6．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，当时，有，解得或，即，或；当时，，解得，即；综上，不等式的解集是；故选：B．7．（23-24高二下·吉林长春·期末）二次函数在上最大值为1，则实数a值为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】，则图像开口向上，对称轴为直线.当时，即，时有最大值1,即，解得；当时，即，时有最大值1,即，得；故或.故选：D．8．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④【答案】D【解析】因为，对于①：令，可得，故①正确；对于②：令，可得，解得；③令，可得，解得，故③错误；对于④：令，可得，且的定义域为，所以是奇函数，故④正确.故选：D二、多选题9．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】选项A不具有奇偶性；选项B是奇函数，在上单调递增；选项C，记，则，函数在上不是单调递增函数；选项D，函数是奇函数，在上单调递增.故选：BD10．（23-24高一上·广东湛江·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（

）A．和B．和C．D．和【答案】AC【解析】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数；C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数.故选：AC11．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（）A．函数的定义域为，则函数的定义域为B．和表示同一个函数C．函数的值域为D．定义在上的函数满足，则【答案】ACD【解析】A选项，对于，令，则，则，所以，即的定义域为，A选项正确；对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确；对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确；对于D，由可得，所以由可得，D选项正确；故选：ACD.三、填空题12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．有四个函数解析式：①；②；③；④，其中能够被用来构造“同族函数”的是．【答案】①②④【解析】由①②图象关于y轴对称可知，“能够被用来构造同族”函数，③在定义域内任意一个x值都有唯一y值于之对应，故不可构造函数，④，与，的值域都为，是同族函数．故答案为：①②④.13．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是．【答案】或4【解析】因为函数，当时，，解得，当时，，解得．综上所述，a的值是或4．故答案为：或4.14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】因为，所以，所以在上严格增函数所以，．故答