70-2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1．下列各组数中，互为相反数的是（）A．|﹣2024|和﹣2024 B．2024和 C．|﹣2024|和2024 D．﹣2024和2．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（）A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5 C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣73．垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物4．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（）A． B． C． D．5．“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（）A． B． C． D．6．下列说法正确的是（）A．若＞2，则b＞2a B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形7．如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（）A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与y＝的大致图象为（）A． B． C． D．9．小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（）A．小庆选出四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出四个数字的极差等于410．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（）A．15 B．5+5 C．10+5 D．18二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11．＝．12．若a+＝，则a2+＝．13．如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，记球的体枳为V1，图柱形盒子的容积为V2，则＝（球体体积公式：V＝．其中r为球体半径）．14．写出一个过点（1，1）且y的值随着x值增大而减小的函数表达式．15．不等式组的整数解有个．16．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是．17．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为．18．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为．①函数y＝2x+4是“倍值函数”；②函数y＝的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）；③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m＜；④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为．三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。19．（4分）求值：|﹣2|﹣（2024+π）0+tan60°．20．（4分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣2．21．（5分）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．22．（6分）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）23．（7分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：平均数中位数众数第1小组3.94a第2小组b3.55第3小组3.25c3请根据以上信息，完成下列问题：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为度；②请补全第1小组得分条形统计图；（2）a＝，b＝，c＝；（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．25．（7分）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价为y（元/千克），当1≤x≤20时，y＝kx+b；当20＜x≤30时，y＝15．销量z（千克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M（元）．（1）k＝，b＝；（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？26．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y＝的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为（，）．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y＝图象上，求平行四边形OABC的面积；（3）如图3，将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y＝（x＞0）图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和的值．27．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．（1）求证：AG∥CD；（2）求证：PA2＝PG•PB；（3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值．28．（9分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．（1）求二次函数的表达式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1．下列各组数中，互为相反数的是（）A．|﹣2024|和﹣2024 B．2024和 C．|﹣2024|和2024 D．﹣2024和【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．化简各个数，然后结合相反数的定义进行判断．【解答】解：A、|﹣2024|＝2024，2024和﹣2024符号相反，互为相反数．B、2024和互为倒数．C、|﹣2024|＝2024，两个数相等．D、﹣2024和的符号相反，但绝对值不相等；故选：A．【点评】主要考查相反数概念．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（）A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5 C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：0.00000156＝1.56×10﹣6，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．3．垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转180°，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可．【解答】解：A是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则A不符合题意；B既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意；C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则C不符合题意；D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．4．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（）A． B． C． D．【分析】分别画出各个选项中的几何体的主视图、左视图即可．【解答】解：各个选项中的几何体的主视图，左视图如下：选项B的几何体的主视图、左视图的形状不同，故选：B．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键．5．“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（）A． B． C． D．【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【解答】解：令四个景点：“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”，分别为A、B、C、D，列表得：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的有6种结果，所以这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为＝，故选：D．【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．下列说法正确的是（）A．若＞2，则b＞2a B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形【分析】选项A根据不等式的性质判断即可；选项B根据百分数的意义解答即可；选项C根据直角三角形全等的判定方法判断即可；选项D根据多边形的内角和公式以及多边形的外角和等于360°判断即可．【解答】解：A．＞2，当a＞0时，b＞2a；当a＜0时，b＜2a，原说法错误，故本选项不符合题意；B．设衣服原价为a元，则降价20%后为0.8a元，又提价20%后为0.96a元，所以这件衣服的价格变便宜了，原说法错误，故本选项不符合题意；C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误，故本选项不符合题意；D．设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝2×360°，解得n＝6，即这个多边形是六边形，原说法正确，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及直角三角形全等的判定，掌握多边形的内角和公式以及直角三角形全等的判定方法是解答本题的关键．7．如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（）A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行【分析】对于纸带①，根据∠1＝∠2＝59°可求出∠DBA＝62°，再由翻折的性质可得∠ABC＝∠DBA＝62°，据此可求出∠DEB＝56°，据此可判断纸带①的边线不平行；对于纸带②，由翻折的性质得∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG，再根据C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上可得∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，据此可判定纸带②的边线平行．由此可得出此题的答案．【解答】解：对于纸带①，∵∠1＝∠2＝59°，∴∠1＝∠ADB＝59°，∴∠DBA＝180°﹣∠ADB﹣∠2＝62°，由翻折的性质得：∠ABC＝∠DBA＝62°，∴∠DEB＝180°﹣∠ABC﹣∠DBA＝56°，∴∠1≠∠DEB，∴AD与EB不平行．对于纸带②中，由翻折的性质得：∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG，又∵C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上∴∠CGH+∠DGH＝180°，∠EHG+∠FHG＝180°，∴∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，∴∠CGH+∠EHG＝180°，∴CD∥EF．综上所述：纸带①边线不平行，纸带②的边线平行．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质、折叠的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与y＝的大致图象为（）A． B． C． D．【分析】根据所给函数解析式，对k的正负进行分类讨论即可解决问题．【解答】解：将x＝1代入y＝kx﹣k得，y＝k﹣k＝0，所以函数y＝kx﹣k过定点（1，0）．故B选项不符合题意．当k＞0时，函数y＝kx﹣k中y随x的增大而增大．因为当k＞0时，y＝＞0，所以此函数的图象都在x轴的上方，所以AD不符合题意，C符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．9．小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（）A．小庆选出四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出四个数字的极差等于4【分析】根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可．【解答】解：A、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大，此时＝（2+3+5+6）÷4＝4，方差为s2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2.5，当数据为1，2，5，6时，＝（1+2+5+6）÷4＝3.5，s2＝[（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2]＝4.25，故该选项符合题意；B、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，＝（2+3+5+6）÷4＝4，s2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2.5，故该选项不符合题意；C、当该同学选出的四个数字为2，3，4，5时，＝（2+3+4+5）÷4＝3.5，故该选项不符合题意；D、当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，极差也是4，故该选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了方差，算术平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（）A．15 B．5+5 C．10+5 D．18【分析】因为BM＝3，要求△MBN′周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N'运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可．【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF垂足为G，∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∴ABEF∥CD，∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，∴∠A＝∠MGN＝90°，由旋转的性质得∠NMN'＝90°，MN＝MN，∴∠AMN＝90°﹣∠NMG＝∠GMN，∴△AMN≌△GMN（AAS），∴MG＝AM＝5，∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，作点M关于直线EF的对称点M，连接MB交直线EF于点N，此时△MBN周长取得最小值，最小值为BM+BM′，∵BM＝3AB＝5，MM＝5+5＝10，∴，故选：B．【点评】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、轴对称最短路径问题等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11．＝﹣2．【分析】根据立方根的定义进行计算即可．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．12．若a+＝，则a2+＝3．【分析】利用完全平方公式将a2+变形为（a+）2﹣2，再将a+＝代入计算即可．【解答】解：∵a+＝，∴a2+＝（a+）2﹣2＝（）2﹣2＝3．故答案为3．【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握完全平方公式是解题的关键．13．如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，记球的体枳为V1，图柱形盒子的容积为V2，则＝（球体体积公式：V＝．其中r为球体半径）．【分析】设球的半径为r，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，圆柱的高和底面圆的半径也为r，用公式求解即可．【解答】解：设球的半径为r，则V1＝，∵一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，∴圆柱的高和底面圆的半径也为r，∴V2＝π×r2×r＝πr3，∴，故答案为：．【点评】本题考查了球和圆柱的体积，解题关键在于正确认识立体图形以及球以及掌握圆柱的体积公式．14．写出一个过点（1，1）且y的值随着x值增大而减小的函数表达式y＝﹣x+2（答案不唯一）．【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中k＜0时，y的值随着x值增大而减小，写出符合要求的k值，再确定b值即可．【解答】解：由题知，令这个函数的表达式为y＝﹣x+b，将点（1，1）代入函数表达式得，b＝2，所以函数表达式为y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．15．不等式组的整数解有4个．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，进而可得出其整数解．【解答】解：解不等式x＞得，x＞﹣2，解不等式5x﹣3＜9+x得，x＜3，所以不等式组的解集为：﹣2＜x＜3．所以不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2，即不等式组有4个整数解．故答案为：4．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．16．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是﹣．【分析】根据莱洛三角形的周长，可求出等边△ABC的边长，进而可求出莱洛三角形的面积．【解答】解：由题知，莱洛三角形的周长可转化为半径长为AB的圆周长的一半．又因为莱洛三角形的周长为3π，所以•2π•AB＝3π，则AB＝3，所以等边△ABC的边长为3．过点A作BC的垂线，垂足为M，则BM＝BC＝．在Rt△ABM中，AM＝＝．所以莱洛三角形的面积为：•π•32﹣2××3×＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查等边三角形的性质，弧长计算，扇形面积的计算，能根据所给莱洛三角形的周长得出等边三角形的边长是解题的关键．17．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为48．【分析】根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和＝8+4，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和＝8+2×4，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+10×4．【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y．∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2．由题意得：正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边．∴正方形c的面积为4．根据勾股定理可得：x2+y2＝22＝4．∴正方形a的面积+正方形b的面积＝4；∴图1中所有正方形的面积和＝4+4＝8．同理可得：正方形e的面积+正方形f的面积＝正方形a的面积，正方形g的面积+正方形h的面积＝正方形b的面积，∴正方形e的面积+正方形f的面积+正方形g的面积+正方形h的面积＝正方形a的面积+正方形b的面积＝4．∴图2中所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+4＝12．即一次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+4＝12．同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．∴2次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+2×4＝8+8＝16．∴10次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+10×4＝8+40＝48．【点评】本题考查勾股定理的相关知识．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键；难点是得到n次操作后，所有正方形的面积的和＝图①中正方形的面积的和+n×最大正方形的面积这个知识点．18．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为①③④．①函数y＝2x+4是“倍值函数”；②函数y＝的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）；③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m＜；④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为．【分析】依据题意，根据“倍值函数”的定义，结合一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，逐个进行判断分析可以得解．【解答】解：由题意，对于①，∵y＝2x+4，又令y＝2x，∴2x＝2x+4，此时方程无解．∴y＝2x+4不是“倍值函数”，故①错误．对于②，∵y＝，又令y＝2x，∴2x＝．∴x＝2或x＝﹣2．∴y＝图象上的“倍值点”为（2，4），（﹣2，﹣4），故②正确．对于③∵y＝（m﹣1）x2+mx+m，又令y＝2x，∴2x＝（m﹣1）x2+mx+m，即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m＝0．∵函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，∴方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m＝0的Δ＝（m﹣2）2﹣4×m（m﹣1）＞0，且m﹣1≠0．∴m＜或m≠1，故③错误．对于④，∵y＝x2+（m﹣k+2）x+，又令y＝2x，∴2x＝x2+（m﹣k+2）x+，即x2+（m﹣k）x+＝0．∵y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，∴方程x2+（m﹣k）x+＝0的Δ＝（m﹣k）2﹣4（﹣）＝0．∴n＝（m﹣k）2+2k．∴n关于m的函数的对称轴是直线m＝k，此时最小值为2k．又∵y＝x2+（m﹣k+2）x+存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，∴①，∴k＝0；②，∴此时无解；③，∴k＝（舍去）或k＝．综上，k＝0或k＝，故④错误．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。19．（4分）求值：|﹣2|﹣（2024+π）0+tan60°．【分析】利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝2﹣﹣1+＝1．【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（4分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣2．【分析】根据分式乘除法的计算方法进行计算即可化简，再把x＝﹣2代入计算即可．【解答】解：原式＝÷＝×＝，当x＝﹣2时，原式＝＝﹣2．【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式乘除法的计算方法是正确解答的关键．21．（5分）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【分析】设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，利用用电量＝总价÷单价，结合峰时用电量与谷时用电量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，根据题意得：＝，解得：x＝0.3，经检验，x＝0.3是所列方程的解，且符合题意．答：该市谷时电价为0.3元/度．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（6分）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）【分析】分别过点C和点D作AB的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N，在Rt△CBM中，tan∠CBM＝，所以CM＝，在Rt△ACM中，tanA＝，所以，则BM＝750，所以CM＝（米），所以DN＝CM＝（米）．在Rt△DBN中，tan∠DBN＝，所以BN＝DN＝，所以MN＝BN﹣BM＝米，则CD＝MN＝≈548（米），故大桥CD的长为548米．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题及勾股定理的运用，过点C和点D作AB的垂线构造出直角三角形及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．23．（7分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：平均数中位数众数第1小组3.94a第2小组b3.55第3小组3.25c3请根据以上信息，完成下列问题：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为18度；②请补全第1小组得分条形统计图；（2）a＝5，b＝3.5，c＝3；（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？【分析】（1）①求出第2小组“得分为1分”的学生所占被调查20人的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；②求出样本中第一小组“得分为4分”的学生人数，即可补全条形统计图；（2）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；（3）求出三个小组60人中，“得分为5分”的学生所占的百分比，估计总体中“得分为5分”所占的百分比，根据频率＝进行计算即可．【解答】解：（1）①360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）＝360°×5%＝18°，故答案为：18；②第一小组中，得分为4分的人数为20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人），补全条形统计图如下：（2）第一小组学生得分出现次数最多的是5分，共出现8次，因此第一小组学生成绩的众数是5分，即a＝5，第二小组20名学生成绩的平均数为＝3.5（分），即b＝3.5，将第三小组20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝3（分），所以中位数是3分，即c＝3，故答案为：5，3.5，3；（3）4200×＝1260（名），答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数，平均数的计算方法，理解三个统计图中各个数量之间的关系是正确解答的关键．24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，则∠AEB＝∠DAE，再证明∠AEB＝∠BCF，得AE∥CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）过点C作CH⊥AD于点H，证明△CDF是等边三角形，得CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，进而由勾股定理得CH＝，∴S△CDF＝DF•CH＝×2×＝，再由平行四边形的性质得CE＝AF＝1，然后证明△DGF∽△EGC，得＝＝＝2，FG＝CF，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∴∠AEB＝∠DAE，∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，∴∠AEB＝∠BCF，∴AE∥CF，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，则∠CHD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵CF是∠BCD的平分线，∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，∴∠ADC＝∠DCF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH＝＝＝，∴S△CDF＝DF•CH＝×2×＝，由（1）得：四边形AECF是平行四边形，∴CE＝AF＝DF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴△DGF∽△EGC，∴＝＝，∴FG＝CF，∴S△GDF＝S△CDF＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．（7分）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价为y（元/千克），当1≤x≤20时，y＝kx+b；当20＜x≤30时，y＝15．销量z（千克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M（元）．（1）k＝﹣1，b＝30；（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？【分析】（1）依据题意得，，计算即可得解；（2）依据题意，当1≤x≤20时，由（1）得y＝﹣x+30，从而计算可得M＝（x+10）（﹣x+30）＝﹣x2+20x+300；再由当20≤x≤30时，M＝15（x+10）＝15x+150，进而可以得解；（3）依据题意，分1≤x≤20和20＜x≤30两种情况进行判断即可计算得解．【解答】解：（1）由题意得，，∴．故答案为：﹣1；30．（2）由题意，当1≤x≤20时，由（1）得y＝﹣x+30，∴M＝（x+10）（﹣x+30）＝﹣x2+20x+300．当20≤x≤30时，M＝15（x+10）＝15x+150．∴M＝．（3）由题意，当1≤x≤20时，M＝﹣x2+20x+300＝﹣（x﹣10）2+400．∵﹣1＜0，∴当x＝10时，M取最大值为400．∴此时销售额不超过500元．当20＜x≤30时，令M＝15x+150＞500，∴x＞23．∴共有7天销售额超过500元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能正确理解题意是关键．26．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y＝的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为（，）．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y＝图象上，求平行四边形OABC的面积；（3）如图3，将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y＝（x＞0）图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和的值．【分析】（1）根据题意先求出点C坐标，待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）设点A坐标为（m，0），根结点C坐标可得线段OC长，根据条件可得点D坐标，由中点坐标公式得到点B坐标为（8﹣m，3），由两点间距离公式列出方程（8﹣m﹣m）2+32＝13，求出m值，根据平行四边形面积公式求出面积即可；（3）设直线l2与y轴交于点E，与x轴交于点G，则E（0，6），作OF⊥l1交l2于点F，根据平移性质可得l2解析式y＝﹣+6，由解析式可计算出点E、G坐标，利用OE•OG＝OF•EG求出OF长，再联立方程组求出M1、M2坐标，由中点坐标公式求出点P坐标继而求出OP长，将OF和OP代入所求代数式计算即可．【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y＝的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．∴C（2，3），∵点C（2，3）在反比例函数y＝图象上，∴k＝6，∴反比例函数解析式为y＝；（2）设点A坐标为（m，0），∵C（2，3），∴OC＝＝，∵OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝，∵点D是AB边的中点，点A的纵坐标为3，∴点D的纵坐标为，∵点D在反比例函数y＝图象上，∴D（4，），由中点坐标公式可得点B坐标为（8﹣m，3）∴AB2＝（8﹣m﹣m）2+32＝13，解得m＝3或m＝5（舍去），∴S▱OABC＝3×3＝9．（3）∵将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，∴l2解析式为y＝﹣+6，设直线l2与y轴交于点E，则E（0，6），如图3，作OF⊥l1交l2于点F，∵M1N⊥l1，∴M1N＝OF，在函数y＝﹣+6中，当y＝0时，x＝8，∴G（8，0），∴OE＝6，OG＝8，在Rt△EOG中，由勾股定理得EG＝＝＝10，由三角形面积公式可得：OE•OG＝OF•EG，∴OF＝＝＝，∴M1N＝OF＝，列函数联立方程组得，解得，，∴M1（4﹣2，），M2（4+2，），∵点P为M1M2的中点，∴P（4，3），∴OP＝＝5，∴＝＝．【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握中点坐标公式和两点间距离公式是解答本题的关键．27．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．（1）求证：AG∥CD；（2）求证：PA2＝PG•PB；（3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值．【分析】（1）根据折叠可得AB⊥CD，根据切线定义可得AG⊥AB，即可求证；（2）根据题意证明△APG∽△BPA即可得证；（3）根据题意设AD＝a，则AP＝3a，根据折叠的性质可得AC＝AD＝a，可求出PC，进而求得BD，根据∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，即可求解．【解答】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，∴AB⊥CD，∵AB为⊙O的直径，AG是切线，∴AG⊥AB，∴AG∥CD；（2）证明：∵AG是切线，∴AG⊥AB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，∴∠CBD＝2∠ABD，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD，∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD，又∵∠APG＝∠BPA，∴△